课前预习

|知识点|预习笔记|
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|平方差公式|(1)两个数的与两个数的的乘积,等于这两个数的。
(2)平方差公式:$(a+b)(a-b)=$。|
|困惑疑问:| |

1.(1)和 差 平方差 (2)$a^{2}-b^{2}$

【分析】
要解决这道题，我们需要回忆平方差公式的定义和代数表达形式：首先明确平方差公式的文字描述，是两个数的和与这两个数的差相乘，所得的结果是这两个数的平方差；再对应写出其代数形式的展开结果。我们可以先从公式的本质出发，理解“和”“差”“平方差”之间的关系，再完成填空。
【解析】
(1) 根据平方差公式的文字定义，两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，所以依次填入对应内容。
(2) 对$(a+b)(a-b)$进行整式乘法展开：$(a+b)(a-b)=a· a - a· b + b· a - b· b=a^2 - b^2$，得到公式的代数结果。
【答案】
(1) 和；差；平方差
(2) $a^{2}-b^{2}$
【知识点】
平方差公式、整式乘法
【点评】
本题考查平方差公式的基础概念，是整式乘法中的核心公式之一，理解其文字表述和代数形式是后续利用公式进行简便计算的前提，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

1.$(b+a)(a-b)=$,
$(3m+5n)(3m-5n)=$。

1.$a^{2}-b^{2}$ $9m^{2}-25n^{2}$

【分析】
这两道题均考查平方差公式的应用，解题思路是先判断式子是否符合平方差公式的结构：两个二项式相乘，其中一组项完全相同，另一组项互为相反数。第一题$(b+a)(a-b)$可变形为$(a+b)(a-b)$，完全匹配平方差公式形式；第二题$(3m+5n)(3m-5n)$中，$3m$是相同项，$5n$与$-5n$是互为相反数的项，同样符合公式，直接套用公式计算即可。
【解析】
1. 对于$(b+a)(a-b)$，先整理为$(a+b)(a-b)$，根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，令$x=a$，$y=b$，可得：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
2. 对于$(3m+5n)(3m-5n)$，根据平方差公式，令$x=3m$，$y=5n$，可得：
$(3m+5n)(3m-5n)=(3m)^2 - (5n)^2=9m^2 -25n^2$
【答案】
$a^{2}-b^{2}$；$9m^{2}-25n^{2}$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的基础应用，核心是准确识别公式的结构特征，找准相同项和互为相反数的项，计算时需注意系数的平方运算，避免出现系数漏平方的错误。
【难度系数】
0.9

2.$(a^{3}+b^{2})(a^{3}-b^{2})=$,
$(-a-b)(a-b)=$。

2.$a^{6}-b^{4}$ $b^{2}-a^{2}$

【分析】
这两道题均考查平方差公式的应用，解题思路如下：
1. 对于第一个式子$(a^{3}+b^{2})(a^{3}-b^{2})$，观察发现它符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，可将$a^3$看作公式中的$x$，$b^2$看作公式中的$y$，代入公式后再利用幂的乘方法则计算结果。
2. 对于第二个式子$(-a-b)(a-b)$，可先通过变形将其转化为平方差公式的形式：把式子整理为$(-b -a)(-b +a)$，此时$-b$相当于公式中的$x$，$a$相当于公式中的$y$；或者提取负号，将式子变为$-(a+b)(a-b)$，再利用平方差公式计算后去括号得到结果。
【解析】
1. 计算$(a^{3}+b^{2})(a^{3}-b^{2})$：
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，令$x=a^3$，$y=b^2$，则：
$\begin{aligned}(a^{3}+b^{2})(a^{3}-b^{2})&=(a^3)^2-(b^2)^2\\&=a^{3×2}-b^{2×2}\\&=a^6 - b^4\end{aligned}$
2. 计算$(-a-b)(a-b)$：
方法一：将式子变形为$(-b -a)(-b +a)$，根据平方差公式：
$\begin{aligned}(-a-b)(a-b)&=(-b)^2 -a^2\\&=b^2 -a^2\end{aligned}$
方法二：提取负号转化形式：
$\begin{aligned}(-a-b)(a-b)&=-(a+b)(a-b)\\&=-(a^2 -b^2)\\&=b^2 -a^2\end{aligned}$
【答案】
$a^{6}-b^{4}$；$b^{2}-a^{2}$
【知识点】
平方差公式；幂的乘方运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，重点在于对公式中“整体代换”思想的掌握，以及符号的正确处理。同时需注意幂的乘方法则的准确应用，即底数不变，指数相乘。题目属于基础题型，有助于巩固整式乘法的核心公式。
【难度系数】
0.8

3.$(m-n)(m+n)(m^{2}+n^{2})(m^{4}+n^{4})$
$=$。
知识点2 平方差公式的应用

3.$m^{8}-n^{8}$

【分析】
这道题需要连续运用平方差公式进行计算。首先观察式子结构，前两个因式$(m-n)(m+n)$符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，先计算这部分得到$m^2-n^2$；接着用这个结果与第三个因式$(m^2+n^2)$再次运用平方差公式，得到$m^4-n^4$；最后用这个结果与第四个因式$(m^4+n^4)$运用平方差公式，就能得到最终结果。解题关键是依次两两组合，反复应用平方差公式逐步化简式子。
【解析】
$\begin{aligned}&(m-n)(m+n)(m^{2}+n^{2})(m^{4}+n^{4})\\=&(m^2 - n^2)(m^{2}+n^{2})(m^{4}+n^{4}) \quad \mathrm{（利用平方差公式计算前两个因式）}\\=&(m^4 - n^4)(m^{4}+n^{4}) \quad \mathrm{（再次利用平方差公式计算）}\\=&m^8 - n^8 \quad \mathrm{（第三次利用平方差公式得到最终结果）}\end{aligned}$
【答案】
$m^{8}-n^{8}$
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题主要考查平方差公式的连续多次应用，需要准确识别平方差公式的结构特征，按从左到右的顺序逐步化简，熟练掌握公式形式就能顺利完成计算，可强化对平方差公式的理解与运用。
【难度系数】
0.7

4.用平方差公式计算:$1.01×0.99$。

4.$1.01×0.99=(1+0.01)(1-0.01)=1^{2}-0.01^{2}=$
$1-0.0001=0.9999$

【分析】
首先回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。观察题目中的1.01和0.99，发现它们都与整数1接近，其中1.01可写成$1+0.01$，0.99可写成$1-0.01$，这样原式就转化为符合平方差公式的形式，代入公式计算能简化运算，避免直接相乘的繁琐。
【解析】
$1.01×0.99$
$=(1+0.01)(1-0.01)$
$=1^{2}-0.01^{2}$
$=1-0.0001$
$=0.9999$
【答案】
0.9999
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，解题关键是通过观察数字特征，将接近整数的数拆成整数与小数的和差形式，转化为平方差公式的形式进行计算，提升运算的准确性和效率。
【难度系数】
0.8

5.用平方差公式计算:$2\ 024^{2}-2\ 023×2\ 025$。

5.$2024^{2}-2023×2025=2024^{2}-(2024-1)×(2024+$
$1)=2024^{2}-(2024^{2}-1)=2024^{2}-2024^{2}+1=1$。

【分析】
首先观察题目中的数字，2023和2025分别与2024相差1，即2023=2024-1，2025=2024+1。我们可以利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$来简化$2023×2025$的计算，避免直接计算大数相乘的繁琐。先将原式中的$2023×2025$转化为$(2024-1)(2024+1)$，再代入原式展开计算，即可快速得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}2024^{2}-2023×2025&=2024^{2}-(2024-1)×(2024+1)\\&=2024^{2}-(2024^{2}-1)\\&=2024^{2}-2024^{2}+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式、整式简便运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，解题关键在于观察数字间的关系，将2023和2025转化为与2024相关的形式，借助平方差公式简化计算，有效降低计算难度，提升运算效率，锻炼学生的数感与简便运算能力。
【难度系数】
0.8

1.计算$(3x-1)(3x+1)$的结果是()。

A.$3x^{2}-1$
B.$3x^{2}+1$
C.$9x^{2}+1$
D.$9x^{2}-1$

1.D

【分析】
这道题考查整式乘法中的平方差公式应用。首先回忆平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。观察题目中的式子$(3x-1)(3x+1)$，可以发现它符合平方差公式的形式，其中$a=3x$，$b=1$。接下来只需要将对应的值代入公式进行计算即可，注意计算$a^2$时，要把$3x$整体平方，不要忽略系数的平方。
【解析】
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，将$a=3x$，$b=1$代入可得：
$(3x-1)(3x+1)=(3x)^2-1^2=9x^2-1$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，属于基础题型。解题关键是准确识别公式形式，牢记平方差公式的结构，避免出现将$(3x)^2$错误计算为$3x^2$的情况。
【难度系数】
0.9

2.下列各式不能用平方差公式计算的是()。

A.$(a-1)(a+1)$
B.$(3+a)(a-3)$
C.$(-2a+b)(2a-b)$
D.$(-2a+b)(-2a-b)$

2.C

【分析】
要判断式子能否用平方差公式计算，需明确平方差公式的核心结构：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数（符号相反、绝对值相等）。我们可逐个分析选项：
1. 选项A：$(a-1)(a+1)$中，相同项是$a$，互为相反数的项是$-1$和$1$，符合平方差公式结构，能用其计算。
2. 选项B：$(3+a)(a-3)$可变形为$(a+3)(a-3)$，相同项是$a$，互为相反数的项是$3$和$-3$，符合结构，能用其计算。
3. 选项C：$(-2a+b)(2a-b)$，将第二个因式提取负号后为$-(2a-b)(2a-b)$，两项均互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用其计算。
4. 选项D：$(-2a+b)(-2a-b)$中，相同项是$-2a$，互为相反数的项是$b$和$-b$，符合结构，能用其计算。
【解析】
平方差公式的标准形式为：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，关键是两个因式需包含一组相同项和一组互为相反数的项。
选项A：$(a-1)(a+1)$，满足结构，可计算为$a^2-1^2=a^2-1$。
选项B：$(3+a)(a-3)=(a+3)(a-3)$，满足结构，可计算为$a^2-3^2=a^2-9$。
选项C：$(-2a+b)(2a-b)=-(2a-b)(2a-b)=-(2a-b)^2$，无相同项，不满足平方差公式结构，不能用其计算。
选项D：$(-2a+b)(-2a-b)$，满足结构，可计算为$(-2a)^2-b^2=4a^2-b^2$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式结构特征
【点评】
本题重点考查对平方差公式结构的理解与识别，解题核心是准确区分“相同项”和“互为相反数的项”，需注意避免与完全平方公式的适用条件混淆。
【难度系数】
0.7

3.若$a^{2}-b^{2}=\frac{1}{6}$,$a-b=\frac{1}{2}$,则$a+b$的值为()。

A.$-\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$3$

3.B

【分析】
首先观察题目给出的条件，已知$a^2 - b^2$和$a - b$的值，要求$a + b$。我们可以回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，这个公式把平方差转化为两个因式的乘积，已知其中一个因式和乘积，求另一个因式，只需用乘积除以已知的因式即可，这就是解题的核心思路。
【解析】
根据平方差公式：
$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$
将$a^2 - b^2=\frac{1}{6}$，$a - b=\frac{1}{2}$代入公式可得：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}(a + b)$
两边同时乘以2，解得：
$a + b=\frac{1}{6}×2=\frac{1}{3}$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的形式及变形，通过公式变形将未知量与已知量建立联系，从而快速求解。
【难度系数】
0.8