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17. 如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使顶点D恰好落在边AB上的点M处，折痕为AN。
(1) 求证：四边形ADNM为菱形。
(2) 连结DM，BN，若BC = 6，NC = 2，AN = BN，求DM的长。
(1) 求证：四边形ADNM为菱形。
(2) 连结DM，BN，若BC = 6，NC = 2，AN = BN，求DM的长。
答案
(1) 由折叠性质得：$AD=AM$，$∠ DAN=∠ MAN$，$DN=MN$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$DC// AB$，则$∠ DNA=∠ NAM$，故$∠ DAN=∠ DNA$，得$AD=DN$。
因此$AD=AM=DN=MN$，四边形$ADNM$是平行四边形，又$AD=AM$，所以四边形$ADNM$为菱形。
(2) 过点$N$作$NE⊥ AB$于点$E$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD=BC=6$，$AB=DC$。
由(1)知四边形$ADNM$是菱形，故$DN=AD=6$，结合$NC=2$，得$AB=DC=DN+NC=8$。
因为$AN=BN$，$NE⊥ AB$，所以$AE=EB=\frac{1}{2}AB=4$。
又$AM=AD=6$，则$ME=AM-AE=2$。
在$Rt△ NME$中，由勾股定理得$NE=\sqrt{MN^2-ME^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
在$Rt△ ANE$中，由勾股定理得$AN=\sqrt{AE^2+NE^2}=\sqrt{4^2+(4\sqrt{2})^2}=4\sqrt{3}$。
根据菱形面积公式，$S_{ADNM}=AM· NE=\frac{1}{2}AN· DM$，代入得$6×4\sqrt{2}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}× DM$，解得$DM=4\sqrt{6}$。
18. 如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点(不与点B，C重合)，点B关于直线AP的对称点为E，连结AE，DE，并延长DE交射线AP于点F，连结BF，CF。
(1) 若∠BAP = 20°，求∠ADF的度数。
(2) 求证：BF ⊥ DF。
(3) 猜想线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明。
(1) 若∠BAP = 20°，求∠ADF的度数。
(2) 求证：BF ⊥ DF。
(3) 猜想线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明。
答案
(1) 因为四边形ABCD是正方形，所以$∠ BAD=90°$，$AB=AD$。
点B关于直线AP的对称点为E，故$AE=AB$，$∠ EAP=∠ BAP=20°$，则$∠ BAE=40°$，
所以$∠ DAE=∠ BAD - ∠ BAE=90°-40°=50°$。
又$AE=AD$，所以$△ ADE$为等腰三角形，
因此$∠ ADF=\frac{180°-∠ DAE}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
(2) 证明：由轴对称性质可知，$AB=AE$，$∠ ABF=∠ AEF$。
因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=AD$，故$AE=AD$，从而$∠ AEF=∠ ADF$，
所以$∠ ABF=∠ ADF$。
因为$∠ AEF+∠ AED=180°$，所以$∠ ABF+∠ ADF=180°$。
在四边形ABFD中，$∠ BAD+∠ ABF+∠ BFD+∠ ADF=360°$，
代入$∠ BAD=90°$，$∠ ABF+∠ ADF=180°$，得$90°+180°+∠ BFD=360°$，
解得$∠ BFD=90°$，即$BF⊥ DF$。
(3) 猜想：$\boldsymbol{AF = \sqrt{2}BF + CF}$。
证明：过点B作$BM⊥ BF$交AF于点M，
因为$BF⊥ DF$，$∠ MBF=90°$，所以$∠ MFB=∠ MBF=45°$，
故$△ MBF$为等腰直角三角形，因此$FM = \sqrt{2}BF$。
因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
则$∠ ABM+∠ MBC=90°$，$∠ CBF+∠ MBC=90°$，所以$∠ ABM=∠ CBF$。
由轴对称及正方形性质可得$∠ BAM=∠ BCF$。
在$△ AMB$和$△ CFB$中，
$\begin{cases}∠ BAM=∠ BCF \\AB=BC \\∠ ABM=∠ CBF\end{cases}$
所以$△ AMB≌△ CFB$（ASA），故$AM=CF$。
因为$AF=FM+AM$，所以$AF = \sqrt{2}BF + CF$。
