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一、填空。
1. 如果$a×7 = b×2$（$a$，$b$均不为$0$），那么$a:b = ( )$$$) : ( )______$)$。
1. 如果$a×7 = b×2$（$a$，$b$均不为$0$），那么$a:b = ( )$$$) : ( )______$)$。
答案
2
7
7
解析
【分析】
这道题考查比例基本性质的逆运用。首先回忆比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。题目给出等式$a×7 = b×2$（$a$、$b$均不为0），要转化为$a:b$的形式，我们可以把$a$和7看作比例的外项，$b$和2看作比例的内项，根据外项积等于内项积的性质，就能确定$a$对应的后项是2，$b$对应的前项是7，从而得到比例式。
【解析】
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积。
已知$a×7 = b×2$，将$a$、7作为比例外项，$b$、2作为比例内项，可得：
$a:b = 2:7$
【答案】
2；7
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题核心是对比例基本性质的逆用，只要明确等式中因数与比例外项、内项的对应关系，就能轻松推导得出结果，是比例性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
这道题考查比例基本性质的逆运用。首先回忆比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。题目给出等式$a×7 = b×2$（$a$、$b$均不为0），要转化为$a:b$的形式，我们可以把$a$和7看作比例的外项，$b$和2看作比例的内项，根据外项积等于内项积的性质，就能确定$a$对应的后项是2，$b$对应的前项是7，从而得到比例式。
【解析】
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积。
已知$a×7 = b×2$，将$a$、7作为比例外项，$b$、2作为比例内项，可得：
$a:b = 2:7$
【答案】
2；7
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题核心是对比例基本性质的逆用，只要明确等式中因数与比例外项、内项的对应关系，就能轻松推导得出结果，是比例性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
2. 两个正方体棱长的比是$2:3$，则它们的底面积的比是()$)$，表面积的比是()$)$，体积的比是()$)$。
答案
4:9
4:9
8:27
4:9
8:27
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从正方体的底面积、表面积、体积的计算公式入手，结合比的性质来推导比值。首先明确：正方体底面积=棱长×棱长，表面积=6×棱长×棱长，体积=棱长×棱长×棱长。已知两个正方体棱长比为2:3，我们可以将两个正方体的棱长分别看作2和3（或设为2a、3a，a≠0），通过计算对应量的比值，或者利用规律：正方体的底面积比、表面积比等于棱长比的平方，体积比等于棱长比的立方，来快速求解。
【解析】
1. 求底面积的比：
正方体底面积公式为$S_{底}=棱长^2$，设两个正方体的棱长分别为$2a$和$3a$（$a≠0$），则它们的底面积分别为：
$(2a)^2=4a^2$，$(3a)^2=9a^2$
底面积的比为$4a^2:9a^2=4:9$。
2. 求表面积的比：
正方体表面积公式为$S_{表}=6×棱长^2$，两个正方体的表面积分别为：
$6×(2a)^2=6×4a^2=24a^2$，$6×(3a)^2=6×9a^2=54a^2$
表面积的比为$24a^2:54a^2=4:9$（约分后）。
3. 求体积的比：
正方体体积公式为$V=棱长^3$，两个正方体的体积分别为：
$(2a)^3=8a^3$，$(3a)^3=27a^3$
体积的比为$8a^3:27a^3=8:27$。
【答案】
4:9；4:9；8:27
【知识点】
正方体的表面积与体积计算；比的应用
【点评】
本题重点考查正方体底面积、表面积、体积与棱长的关系，以及比的性质的应用。解题时既可以通过设未知数计算具体数值再求比，也可以利用“相似立体图形，面积比等于棱长比的平方，体积比等于棱长比的立方”这一规律快速解题，后者能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以从正方体的底面积、表面积、体积的计算公式入手，结合比的性质来推导比值。首先明确：正方体底面积=棱长×棱长，表面积=6×棱长×棱长，体积=棱长×棱长×棱长。已知两个正方体棱长比为2:3，我们可以将两个正方体的棱长分别看作2和3（或设为2a、3a，a≠0），通过计算对应量的比值，或者利用规律：正方体的底面积比、表面积比等于棱长比的平方，体积比等于棱长比的立方，来快速求解。
【解析】
1. 求底面积的比：
正方体底面积公式为$S_{底}=棱长^2$，设两个正方体的棱长分别为$2a$和$3a$（$a≠0$），则它们的底面积分别为：
$(2a)^2=4a^2$，$(3a)^2=9a^2$
底面积的比为$4a^2:9a^2=4:9$。
2. 求表面积的比：
正方体表面积公式为$S_{表}=6×棱长^2$，两个正方体的表面积分别为：
$6×(2a)^2=6×4a^2=24a^2$，$6×(3a)^2=6×9a^2=54a^2$
表面积的比为$24a^2:54a^2=4:9$（约分后）。
3. 求体积的比：
正方体体积公式为$V=棱长^3$，两个正方体的体积分别为：
$(2a)^3=8a^3$，$(3a)^3=27a^3$
体积的比为$8a^3:27a^3=8:27$。
【答案】
4:9；4:9；8:27
【知识点】
正方体的表面积与体积计算；比的应用
【点评】
本题重点考查正方体底面积、表面积、体积与棱长的关系，以及比的性质的应用。解题时既可以通过设未知数计算具体数值再求比，也可以利用“相似立体图形，面积比等于棱长比的平方，体积比等于棱长比的立方”这一规律快速解题，后者能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
3. 平行四边形的高一定，平行四边形的面积和底成()$)$关系。
答案
正比例
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的面积公式：面积=底×高。题目中说明高一定，我们可以将公式变形为“面积÷底=高”，此时面积和底是两种相关联的量，底变化时面积也会随之变化，并且它们的比值（高）是固定不变的。根据正比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。由此可以判断面积和底成正比例关系。
【解析】
平行四边形的面积公式为：$ S = ah $（其中$ S $表示面积，$ a $表示底，$ h $表示高）。
当高$ h $一定时，变形可得：$ \frac{S}{a} = h $（定值）。
根据正比例关系的定义，两种相关联的量，相对应的两个数的比值一定，则这两种量成正比例关系。因此平行四边形的面积和底成正比例关系。
【答案】
正比例
【知识点】
正比例关系判断、平行四边形面积公式
【点评】
本题主要考查正比例关系的判断方法以及平行四边形面积公式的应用，解题关键是明确正比例关系的核心是两种相关联量的比值一定，需要熟练掌握正比例的定义和常见图形的面积公式。
【难度系数】
0.8
首先回忆平行四边形的面积公式：面积=底×高。题目中说明高一定，我们可以将公式变形为“面积÷底=高”，此时面积和底是两种相关联的量，底变化时面积也会随之变化，并且它们的比值（高）是固定不变的。根据正比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。由此可以判断面积和底成正比例关系。
【解析】
平行四边形的面积公式为：$ S = ah $（其中$ S $表示面积，$ a $表示底，$ h $表示高）。
当高$ h $一定时，变形可得：$ \frac{S}{a} = h $（定值）。
根据正比例关系的定义，两种相关联的量，相对应的两个数的比值一定，则这两种量成正比例关系。因此平行四边形的面积和底成正比例关系。
【答案】
正比例
【知识点】
正比例关系判断、平行四边形面积公式
【点评】
本题主要考查正比例关系的判断方法以及平行四边形面积公式的应用，解题关键是明确正比例关系的核心是两种相关联量的比值一定，需要熟练掌握正比例的定义和常见图形的面积公式。
【难度系数】
0.8
4. 一幅图的比例尺是1:7000000，用线段比例尺可表示为$\begin{array}{|c|}\hline 0\quad($ $)$ ______ $)\mathrm{km} \\ \hline \end{array}$。
答案
70
解析
【分析】
首先明确数值比例尺的含义：比例尺1:7000000表示图上1厘米对应实际距离7000000厘米。接下来需要将实际距离的单位从厘米转换为千米（线段比例尺通常用千米作单位），根据长度单位换算进率1千米=100000厘米，用实际距离的厘米数除以进率，即可得到对应的千米数，也就是线段比例尺上要填的数值。
【解析】
1. 明确数值比例尺意义：比例尺1:7000000表示图上1cm对应实际距离7000000cm。
2. 单位换算：因为1km=100000cm，所以$7000000÷100000=70$（km）。
因此线段比例尺中0后面的括号应填70。
【答案】
70
【知识点】
1. 比例尺的转换
2. 长度单位换算
【点评】
本题考查数值比例尺与线段比例尺的转换，核心是掌握比例尺的意义以及厘米和千米的单位换算进率，属于基础题型，牢记换算关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
首先明确数值比例尺的含义：比例尺1:7000000表示图上1厘米对应实际距离7000000厘米。接下来需要将实际距离的单位从厘米转换为千米（线段比例尺通常用千米作单位），根据长度单位换算进率1千米=100000厘米，用实际距离的厘米数除以进率，即可得到对应的千米数，也就是线段比例尺上要填的数值。
【解析】
1. 明确数值比例尺意义：比例尺1:7000000表示图上1cm对应实际距离7000000cm。
2. 单位换算：因为1km=100000cm，所以$7000000÷100000=70$（km）。
因此线段比例尺中0后面的括号应填70。
【答案】
70
【知识点】
1. 比例尺的转换
2. 长度单位换算
【点评】
本题考查数值比例尺与线段比例尺的转换，核心是掌握比例尺的意义以及厘米和千米的单位换算进率，属于基础题型，牢记换算关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
5. 如果$\frac{3}{a}=b(a≠0)$，那么$a$和$b$成()$)$关系。
答案
反比例
解析
【分析】
要判断a和b的关系，首先回忆正反比例的定义：两种相关联的量，若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。先对题目给出的等式$\frac{3}{a}=b(a≠0)$进行变形，通过等式两边同乘a，得到a和b的乘积为定值，再结合反比例的定义即可判断它们的关系。
【解析】
已知$\frac{3}{a}=b(a≠0)$，等式两边同时乘以$a$（$a≠0$，等式仍成立），可得：
$ab=3$
因为$a$和$b$是相关联的量，且它们的乘积为定值3，根据反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。所以$a$和$b$成反比例关系。
【答案】
反比例
【知识点】
反比例关系判断
【点评】
本题主要考查反比例关系的判定，解题关键是通过等式变形得到两个量的乘积为定值，熟练掌握正反比例的定义是解题的核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断a和b的关系，首先回忆正反比例的定义：两种相关联的量，若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。先对题目给出的等式$\frac{3}{a}=b(a≠0)$进行变形，通过等式两边同乘a，得到a和b的乘积为定值，再结合反比例的定义即可判断它们的关系。
【解析】
已知$\frac{3}{a}=b(a≠0)$，等式两边同时乘以$a$（$a≠0$，等式仍成立），可得：
$ab=3$
因为$a$和$b$是相关联的量，且它们的乘积为定值3，根据反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。所以$a$和$b$成反比例关系。
【答案】
反比例
【知识点】
反比例关系判断
【点评】
本题主要考查反比例关系的判定，解题关键是通过等式变形得到两个量的乘积为定值，熟练掌握正反比例的定义是解题的核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 在比例尺是$\frac{1}{1000000}$的地图上，量得$A$、$B$两地的图上距离是$3.5$cm。$A$、$B$两地的实际距离是()$)\mathrm{km}$。
答案
35
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆比例尺的核心公式：比例尺=图上距离÷实际距离，由此可推导出实际距离=图上距离÷比例尺。首先我们已知图上距离和比例尺，先代入公式算出实际距离的厘米数，再根据长度单位的进率将厘米换算成千米，注意1千米=100000厘米，避免单位换算错误。
【解析】
1. 根据比例尺公式推导实际距离的计算方法：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺
2. 代入已知数值计算实际距离（单位：厘米）：
$3.5÷\frac{1}{1000000}=3.5×1000000=3500000$（厘米）
3. 单位换算（厘米转换为千米）：
因为1千米=100000厘米，所以$3500000÷100000=35$（千米）
【答案】
35
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题考查比例尺的基本公式应用以及长度单位的换算，解题关键是牢记比例尺公式，准确掌握厘米与千米之间的进率，避免单位换算失误。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆比例尺的核心公式：比例尺=图上距离÷实际距离，由此可推导出实际距离=图上距离÷比例尺。首先我们已知图上距离和比例尺，先代入公式算出实际距离的厘米数，再根据长度单位的进率将厘米换算成千米，注意1千米=100000厘米，避免单位换算错误。
【解析】
1. 根据比例尺公式推导实际距离的计算方法：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺
2. 代入已知数值计算实际距离（单位：厘米）：
$3.5÷\frac{1}{1000000}=3.5×1000000=3500000$（厘米）
3. 单位换算（厘米转换为千米）：
因为1千米=100000厘米，所以$3500000÷100000=35$（千米）
【答案】
35
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题考查比例尺的基本公式应用以及长度单位的换算，解题关键是牢记比例尺公式，准确掌握厘米与千米之间的进率，避免单位换算失误。
【难度系数】
0.9
二、用比例知识解决问题。
1. 人在正常情况下每分钟眨眼约$24$次，与玩电脑游戏时每分钟眨眼次数的比是$12:5$。玩电脑游戏时每分钟眨眼约多少次？
正常的眨眼可以消除眼睛的疲劳，如果眨眼次数过少，对眼睛的健康不利，要少玩电脑游戏哟！
1. 人在正常情况下每分钟眨眼约$24$次，与玩电脑游戏时每分钟眨眼次数的比是$12:5$。玩电脑游戏时每分钟眨眼约多少次？
正常的眨眼可以消除眼睛的疲劳，如果眨眼次数过少，对眼睛的健康不利，要少玩电脑游戏哟！
答案
解：设玩电脑游戏时每分钟眨眼约x次。
由题意得24:x = 12:5，根据比例性质12x = 24×5，12x = 120，解得x = 10。
答：玩电脑游戏时每分钟眨眼约10次。
由题意得24:x = 12:5，根据比例性质12x = 24×5，12x = 120，解得x = 10。
答：玩电脑游戏时每分钟眨眼约10次。
解析
【分析】
首先明确题目中的比例关系：正常情况下每分钟眨眼次数与玩电脑游戏时每分钟眨眼次数的比是12:5，已知正常眨眼次数为24次，要求玩电脑游戏时的眨眼次数。我们可以通过设未知数，根据比例的基本性质来建立方程求解。首先设玩电脑游戏时每分钟眨眼约$ x $次，将已知的正常眨眼次数和未知数代入比例式，再利用“比例的两内项之积等于两外项之积”的性质转化为普通方程，最后解方程得到结果。
【解析】
解：设玩电脑游戏时每分钟眨眼约$ x $次。
根据题意列出比例：$ 24:x = 12:5 $
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
$ 12x = 24×5 $
计算右边：$ 12x = 120 $
两边同时除以12：$ x = 120÷12 $
解得：$ x = 10 $
答：玩电脑游戏时每分钟眨眼约10次。
【答案】
10次
【知识点】
比例的基本性质，比例的实际应用
【点评】
本题考查比例知识在实际问题中的应用，解题关键是准确找出对应量的比例关系，利用比例基本性质将比例式转化为方程求解。同时题目也传递了用眼健康的理念，提醒大家减少电脑游戏时长，保护眼睛。
【难度系数】
0.8
首先明确题目中的比例关系：正常情况下每分钟眨眼次数与玩电脑游戏时每分钟眨眼次数的比是12:5，已知正常眨眼次数为24次，要求玩电脑游戏时的眨眼次数。我们可以通过设未知数，根据比例的基本性质来建立方程求解。首先设玩电脑游戏时每分钟眨眼约$ x $次，将已知的正常眨眼次数和未知数代入比例式，再利用“比例的两内项之积等于两外项之积”的性质转化为普通方程，最后解方程得到结果。
【解析】
解：设玩电脑游戏时每分钟眨眼约$ x $次。
根据题意列出比例：$ 24:x = 12:5 $
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
$ 12x = 24×5 $
计算右边：$ 12x = 120 $
两边同时除以12：$ x = 120÷12 $
解得：$ x = 10 $
答：玩电脑游戏时每分钟眨眼约10次。
【答案】
10次
【知识点】
比例的基本性质，比例的实际应用
【点评】
本题考查比例知识在实际问题中的应用，解题关键是准确找出对应量的比例关系，利用比例基本性质将比例式转化为方程求解。同时题目也传递了用眼健康的理念，提醒大家减少电脑游戏时长，保护眼睛。
【难度系数】
0.8
2. 用边长为$30$cm的方砖给一个房间铺地，需要$800$块。如果改用边长为$50$cm的方砖铺地，需要多少块？（两种方砖都恰好铺满房间地面，没有剩余）
答案
解：设需要x块边长为50cm的方砖。
房间面积一定，方砖面积与块数成反比例。
(30×30)×800=(50×50)×x，即900×800 = 2500x，720000 = 2500x，解得x = 288。
答：需要288块。
房间面积一定，方砖面积与块数成反比例。
(30×30)×800=(50×50)×x，即900×800 = 2500x，720000 = 2500x，解得x = 288。
答：需要288块。
解析
【分析】
首先明确房间的地面总面积是固定不变的。根据“总面积=每块方砖的面积×所需方砖的块数”，当总面积一定时，每块方砖的面积与所需块数成反比例关系。接下来我们可以设需要边长为50cm的方砖x块，根据反比例关系列出等式，进而求解出x的值。
【解析】
设需要x块边长为50cm的方砖。
因为房间地面面积是固定的，所以方砖的面积与所需块数成反比例关系。
根据题意可列方程：
$(30×30)×800=(50×50)×x$
计算得：$900×800=2500x$
$720000=2500x$
解得：$x=288$
答：需要288块。
【答案】
288块
【知识点】
1. 反比例的应用
2. 正方形面积计算
【点评】
本题考查反比例关系在实际问题中的应用，解题关键是抓住“房间地面面积不变”这一核心条件，准确判断方砖面积与所需块数的反比例关系，通过列方程求解，有助于提升学生运用比例知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确房间的地面总面积是固定不变的。根据“总面积=每块方砖的面积×所需方砖的块数”，当总面积一定时，每块方砖的面积与所需块数成反比例关系。接下来我们可以设需要边长为50cm的方砖x块，根据反比例关系列出等式，进而求解出x的值。
【解析】
设需要x块边长为50cm的方砖。
因为房间地面面积是固定的，所以方砖的面积与所需块数成反比例关系。
根据题意可列方程：
$(30×30)×800=(50×50)×x$
计算得：$900×800=2500x$
$720000=2500x$
解得：$x=288$
答：需要288块。
【答案】
288块
【知识点】
1. 反比例的应用
2. 正方形面积计算
【点评】
本题考查反比例关系在实际问题中的应用，解题关键是抓住“房间地面面积不变”这一核心条件，准确判断方砖面积与所需块数的反比例关系，通过列方程求解，有助于提升学生运用比例知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
三、一个圆形花园，用$\frac{1}{500}$的比例尺画在图纸上，这个花园在图纸上的周长是$6.28$cm。这个花园的实际面积是多少平方米？
答案
解：图纸上圆的周长$C = 6.28\ \text{cm}$，根据$C = 2\pi r$，图上半径$r = 6.28÷(2×3.14)=1\ \text{cm}$。
实际半径$R = 1÷\frac{1}{500}=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$。
实际面积$S=\pi R^2=3.14×5^2 = 78.5\ \text{平方米}$。
答：这个花园的实际面积是78.5平方米。
实际半径$R = 1÷\frac{1}{500}=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$。
实际面积$S=\pi R^2=3.14×5^2 = 78.5\ \text{平方米}$。
答：这个花园的实际面积是78.5平方米。
解析
【分析】
要解决这个问题，需按以下思路推导：首先，已知图纸上圆的周长，根据圆的周长公式$C=2π r$求出图上圆的半径；接着，利用“图上距离÷比例尺=实际距离”，将图上半径转化为实际半径，注意单位换算为米；最后，根据圆的面积公式$S=π R^2$计算实际面积，每一步都要保证公式运用正确和单位统一。
【解析】
1. 求图上圆的半径：
已知图纸上圆的周长$C = 6.28\ \mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得图上半径：
$r = 6.28÷(2×3.14)=1\ \mathrm{cm}$
2. 求实际半径：
根据比例尺$\frac{1}{500}$，实际距离=图上距离÷比例尺，因此实际半径：
$R = 1÷\frac{1}{500}=500\ \mathrm{cm}$
换算单位：$500\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{m}$
3. 求实际面积：
根据圆的面积公式$S=π R^2$，代入数据计算：
$S=3.14×5^2 = 3.14×25=78.5\ \mathrm{平方米}$
答：这个花园的实际面积是78.5平方米。
【答案】
78.5平方米
【知识点】
圆的周长公式、圆的面积公式、比例尺的应用
【点评】
本题综合考查圆的周长、面积公式与比例尺的实际应用，解题关键是注意单位换算，需将厘米转换为米后再计算面积，属于基础综合类题目，要求学生熟练掌握相关公式并灵活运用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需按以下思路推导：首先，已知图纸上圆的周长，根据圆的周长公式$C=2π r$求出图上圆的半径；接着，利用“图上距离÷比例尺=实际距离”，将图上半径转化为实际半径，注意单位换算为米；最后，根据圆的面积公式$S=π R^2$计算实际面积，每一步都要保证公式运用正确和单位统一。
【解析】
1. 求图上圆的半径：
已知图纸上圆的周长$C = 6.28\ \mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得图上半径：
$r = 6.28÷(2×3.14)=1\ \mathrm{cm}$
2. 求实际半径：
根据比例尺$\frac{1}{500}$，实际距离=图上距离÷比例尺，因此实际半径：
$R = 1÷\frac{1}{500}=500\ \mathrm{cm}$
换算单位：$500\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{m}$
3. 求实际面积：
根据圆的面积公式$S=π R^2$，代入数据计算：
$S=3.14×5^2 = 3.14×25=78.5\ \mathrm{平方米}$
答：这个花园的实际面积是78.5平方米。
【答案】
78.5平方米
【知识点】
圆的周长公式、圆的面积公式、比例尺的应用
【点评】
本题综合考查圆的周长、面积公式与比例尺的实际应用，解题关键是注意单位换算，需将厘米转换为米后再计算面积，属于基础综合类题目，要求学生熟练掌握相关公式并灵活运用。
【难度系数】
0.6
