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1. (南通如东)右图是用若干个棱长1dm的小正方体拼成的大正方体。
(1)将拼成的大正方体表面全部涂色后,再将其分成棱长1dm的小正方体,其中两面涂色的小正方体有(
(2)把这些小正方体排成一排,共长(
(1)将拼成的大正方体表面全部涂色后,再将其分成棱长1dm的小正方体,其中两面涂色的小正方体有(
36
)个,所有面没有涂色的小正方体有(27
)个。(2)把这些小正方体排成一排,共长(
12.5
)m。答案
1. (1) 36 27 (2) 12.5
2. 根据图形合理推断。
如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数,用a、b、c、d分别表示3面涂色、2面涂色、1面涂色和6面都没有涂色的小正方体的个数,那么a=(
如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数,用a、b、c、d分别表示3面涂色、2面涂色、1面涂色和6面都没有涂色的小正方体的个数,那么a=(
8
),b=(12(n - 2)
),c=(6(n - 2)²
),d=((n - 2)³
)。答案
2. 8 12(n - 2) 6(n - 2)² (n - 2)³
3. 某蛋糕店的店员把一个沾满椰蓉的正方体蛋糕切成若干个同样大的小正方体,2面沾椰蓉的有36个,这个正方体蛋糕被切成了(
125
)个小正方体,1面沾椰蓉的小正方体有(54
)个。答案
3. 125 54
4. 有一个表面涂色的大正方体(包括底面),用激光把它全部切割成棱长为1厘米的小正方体,已知6面都没有涂色的小正方体有27个,则这个涂色的大正方体的体积是多少立方厘米?
答案
解：
1. 首先，设大正方体棱长为$x$厘米：
因为$6$面都没有涂色的小正方体组成的正方体棱长为$(x - 2)$厘米（大正方体每条棱上两边的小正方体是涂色的）。
根据正方体体积公式$V=a^{3}$（$a$为棱长），已知$6$面都没有涂色的小正方体体积（个数）为$27$个，即$(x - 2)^{3}=27$。
2. 然后，求解$x$的值：
因为$27 = 3^{3}$，所以$x−2 = 3$。
解得$x=3 + 2=5$（厘米）。
3. 最后，求大正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=x^{3}$，把$x = 5$代入公式，可得$V = 5^{3}=125$（立方厘米）。
答：这个涂色的大正方体的体积是$125$立方厘米。
1. 首先，设大正方体棱长为$x$厘米：
因为$6$面都没有涂色的小正方体组成的正方体棱长为$(x - 2)$厘米（大正方体每条棱上两边的小正方体是涂色的）。
根据正方体体积公式$V=a^{3}$（$a$为棱长），已知$6$面都没有涂色的小正方体体积（个数）为$27$个，即$(x - 2)^{3}=27$。
2. 然后，求解$x$的值：
因为$27 = 3^{3}$，所以$x−2 = 3$。
解得$x=3 + 2=5$（厘米）。
3. 最后，求大正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=x^{3}$，把$x = 5$代入公式，可得$V = 5^{3}=125$（立方厘米）。
答：这个涂色的大正方体的体积是$125$立方厘米。
5. (模型意识)用若干个棱长a厘米的小正方体堆成如图所示的物体,然后在其表面涂上红色(不包括底面),其中3面涂色的小正方体和4面涂色的小正方体各有几个?
答案
5. 3 个 2 个 解析:一层一层地观察,分层标出每个小正方体涂色的面数。最上层:
;中间一层:
;最下层: 然后数出 3 面涂色和 4 面涂色的小正方体各有几个即可。6. (探索规律)把一个表面涂色的大正方体分成若干个相同的小正方体,在所有小正方体中,3面涂色的有a个,2面涂色的有b个,1面涂色的有c个,6面都不涂色的有d个。
(1)在a、b、c、d中,(
A. a
B. b
C. c
D. d
(2)(
A. a + b
B. b + c
C. c + d
D. a + c
(3)当将大正方体的棱平均分成(
A. 2
B. 4
C. 6
D. 以上答案都不对
(1)在a、b、c、d中,(
A
)是固定不变的,(B
)一定是12的倍数。A. a
B. b
C. c
D. d
(2)(
B
)一定是6的倍数。A. a + b
B. b + c
C. c + d
D. a + c
(3)当将大正方体的棱平均分成(
A
)份时,b、c、d相等;当将大正方体的棱平均分成(C
)份时,b ＜ c能成立;当将大正方体的棱平均分成(C
)份时,b ＜ d能成立。A. 2
B. 4
C. 6
D. 以上答案都不对
答案
6. (1) A B (2) B (3) A C C 解析:用 n 表示把大正方体的棱平均分的份数,则 b = 12(n - 2),c = 6(n - 2)²,d = (n - 2)³。若要使 b = c = d,即 12(n - 2) = 6(n - 2)² = (n - 2)³,则当 n = 2 时,12×(2 - 2) = 6×(2 - 2)² = (2 - 2)³ = 0,符合题意。若要使 b ＜ c,即 12(n - 2) ＜ 6(n - 2)²,当 n = 6 时,48 ＜ 96,符合题意。若要使 b ＜ d,即 12(n - 2) ＜ (n - 2)³,当 n = 6 时,48 ＜ 64,符合题意。
7. *数学课上,洪老师先把一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体的6面都涂上黄色,再把它全部切成棱长1厘米的小正方体。3面、2面、1面涂黄色的小正方体分别有多少个?
答案
7. 3 面涂黄色的小正方体:8 个 2 面涂黄色的小正方体:[(6 - 2) + (5 - 2) + (4 - 2)]×4 = 36(个) 1 面涂黄色的小正方体:[(6 - 2)×(5 - 2) + (5 - 2)×(4 - 2) + (6 - 2)×(4 - 2)]×2 = 52(个) 解析:长方体上 3 面涂黄色的小正方体在长方体的 8 个顶点处,一共有 8 个。2 面涂黄色的小正方体,在长的棱上有(6 - 2)×4 = 16(个),在宽的棱上有(5 - 2)×4 = 12(个),在高的棱上有(4 - 2)×4 = 8(个),一共有 16 + 12 + 8 = 36(个)。1 面涂黄色的小正方体,上、下面有(6 - 2)×(5 - 2)×2 = 24(个),左、右面有(5 - 2)×(4 - 2)×2 = 12(个),前、后面有(6 - 2)×(4 - 2)×2 = 16(个),一共有 24 + 12 + 16 = 52(个)。
8. 将一个长方体的表面涂上蓝色,然后把它切成若干个相同的小正方体。如果6面都没有涂色的小正方体有4个,那么2面涂色的小正方体有(
20
)个或(24
)个。答案
8. 20 24 解析:要想满足“6 面都没有涂色的小正方体有 4 个”:一种是将长方体切成(3×4×4)个小正方体,2 面涂色的小正方体有(3 - 2)×4 + (4 - 2)×4 + (4 - 2)×4 = 20(个);另一种是将长方体切成(3×6×3)个小正方体,2 面涂色的小正方体有(3 - 2)×4 + (6 - 2)×4 + (3 - 2)×4 = 24(个)。
