10. 关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2cx + a^2 + b^2 = 0 $ 有两个相等的实数根，若 $ a, b, c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长，则这个三角形一定是 （ ）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 锐角三角形

B

11. (2023·上海)已知关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 + 6x + 1 = 0 $无实数根，则$ a $的取值范围是______．

$a＞9$

12. (2023·海门期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不相等的实数根.
(1) 求$k$的取值范围；
(2) 若$m$是已知方程的一个根，且满足$m^2+2km+m-k+3=0$，求$k$的值.

（1）解：$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore\Delta = (2k + 1)^2 - 4(k^2 + 1)＞0，$即$4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4＞0，$$4k - 3＞0，$解得$k＞\frac{3}{4}。$$\therefore k$的取值范围是$k＞\frac{3}{4}$ （2）解：由题知，将$x = m$代入一元二次方程，得$m^2 + (2k + 1)m + k^2 + 1 = 0，$即$m^2 + 2km + m = -k^2 - 1。$$\because m^2 + 2km + m - k + 3 = 0，$$\therefore -k^2 - 1 - k + 3 = 0，$即$k^2 + k - 2 = 0，$因式分解得$(k + 2)(k - 1) = 0，$解得$k_1 = 1，$$k_2 = -2。$$\because k＞\frac{3}{4}，$$\therefore k = 1$

13. (新视角·新定义题)(2024·宿迁)规定:对于任意实数$a,b,c$,有$【a,b】★c=ac+b$,其中等式右边是通常的乘法和加法运算,如$【2,3】★1=2×1+3=5$.若关于$x$的方程$【x,x+1】★(mx)=0$有两个不等的实数根,则$m$的取值范围是 （ ）
A. $m＜\dfrac{1}{4}$
B. $m＞\dfrac{1}{4}$
C. $m≤\dfrac{1}{4}$且$m≠0$
D. $m＜\dfrac{1}{4}$且$m≠0$

D

14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k+1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0 $。
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰三角形 $ ABC $ 的一边 $ a $ 的长为 4，另两边 $ b,c $ 的长恰好是这个方程的两个实数根，求等腰三角形 $ ABC $ 的周长。

（1）证明：$\because\Delta = [-(2k + 1)]^2 - 4\times1\times4(k - \frac{1}{2}) = 4k^2 + 4k + 1 - 16k + 8 = 4k^2 - 12k + 9 = (2k - 3)^2\geq0，$$\therefore$这个方程总有两个实数根 （2）解：分两种情况讨论：
①若$b，$$c$为腰，则方程$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$有两个相等的实数根。$\therefore\Delta = 0，$即$(2k - 3)^2 = 0，$解得$k_1 = k_2 = \frac{3}{2}。$$\therefore$原方程为$x^2 - 4x + 4 = 0，$解得$x_1 = x_2 = 2，$即$b = c = 2。$$\because b + c = a，$$\therefore$这种情况不合题意，舍去。 ②若$a$为腰，则$b，$$c$中有一边为腰。$\therefore x = 4$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$的一个根。把$x = 4$代入原方程，得$4^2 - 4(2k + 1) + 4(k - \frac{1}{2}) = 0，$即$16 - 8k - 4 + 4k - 2 = 0，$$10 - 4k = 0，$解得$k = \frac{5}{2}。$$\therefore$原方程为$x^2 - 6x + 8 = 0，$因式分解得$(x - 2)(x - 4) = 0，$解得$x_1 = 2，$$x_2 = 4。$$\because 4 + 2＞4，$$\therefore$等腰三角形$ABC$的周长为$2 + 4 + 4 = 10$