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知识点一 完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的
例1 计算：（1）$(-8a+11b)^2$；
（2）$(-2x-3y)^2$.
解（1）原式$=(11b-8a)^2=121b^2-176ab+64a^2$.
（2）原式$=(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$.
例2 已知$x^2+y^2=24$，$xy=-6$，求$(x-y)^2$与$(x+y)^2$的值.
解 因为$x^2+y^2=24$，$xy=-6$，
所以$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
$=x^2+y^2-2xy$
$=24-2×(-6)$
$=36$，
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
$=x^2+y^2+2xy$
$=24+2×(-6)$
$=12$.
两个数的和（或差）的平方，等于它们的
平方和
，加上（或减去）它们的积的2倍
.即$(a+b)^2=$$a^2+2ab+b^2$
，$(a-b)^2=$$a^2-2ab+b^2$
.这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.$(a+b)^2=$$a^2+2ab+b^2$
是多项式乘法$(a+b) · (p+q)$中$p=a$，$q=b$的特殊情形.例1 计算：（1）$(-8a+11b)^2$；
（2）$(-2x-3y)^2$.
解（1）原式$=(11b-8a)^2=121b^2-176ab+64a^2$.
（2）原式$=(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$.
例2 已知$x^2+y^2=24$，$xy=-6$，求$(x-y)^2$与$(x+y)^2$的值.
解 因为$x^2+y^2=24$，$xy=-6$，
所以$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
$=x^2+y^2-2xy$
$=24-2×(-6)$
$=36$，
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
$=x^2+y^2+2xy$
$=24+2×(-6)$
$=12$.
答案
平方和 2倍 $a^2+2ab+b^2$ $a^2-2ab+b^2$ $a^2+2ab+b^2$
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的基础概念，解题时首先回忆完全平方公式的文字表述，再对应匹配代数展开形式，最后结合多项式乘多项式的一般规则，明确完全平方公式是多项式乘多项式的特殊情形，依次对应完成填空即可。
【解析】
根据完全平方公式的定义：
1. 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍；
2. 对应的代数表达式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；
3. 完全平方公式是多项式乘法$(a+b)·(p+q)$中$p=a$、$q=b$的特殊情形，因此此处对应填$(a+b)^2$的展开式$a^2+2ab+b^2$。
【答案】
平方和 2倍 $a^2+2ab+b^2$ $a^2-2ab+b^2$ $a^2+2ab+b^2$
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础概念类题型，侧重考查对完全平方公式核心内容的记忆，熟练掌握公式的文字表述和代数形式，是后续利用公式完成整式化简、求值等运算的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查完全平方公式的基础概念，解题时首先回忆完全平方公式的文字表述，再对应匹配代数展开形式，最后结合多项式乘多项式的一般规则，明确完全平方公式是多项式乘多项式的特殊情形，依次对应完成填空即可。
【解析】
根据完全平方公式的定义：
1. 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍；
2. 对应的代数表达式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；
3. 完全平方公式是多项式乘法$(a+b)·(p+q)$中$p=a$、$q=b$的特殊情形，因此此处对应填$(a+b)^2$的展开式$a^2+2ab+b^2$。
【答案】
平方和 2倍 $a^2+2ab+b^2$ $a^2-2ab+b^2$ $a^2+2ab+b^2$
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础概念类题型，侧重考查对完全平方公式核心内容的记忆，熟练掌握公式的文字表述和代数形式，是后续利用公式完成整式化简、求值等运算的基础。
【难度系数】
0.9
例3 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.
例如，根据图甲，我们可以得到两数和的完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. 根据图乙能得到的数学公式是（）
—特别提醒
1. 完全平方公式有以下几个特征：
（1）左边是两个数的和（或差）的平方；
（2）右边是一个三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同.
2. 应用完全平方公式时，要注意：
（1）公式中的$a$，$b$可以是单项式，也可以是多项式；
（2）对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用完全平方公式；
（3）对于三项的，可以把其中的两项看作一项后，再用完全平方公式.
A. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
B. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C. $a(a+b)=a^2+ab$
D. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析 图乙中阴影正方形的面积为$(a-b)^2$，还可以表示为$a^2-2(a-b)b-b^2$，
所以 $(a-b)^2=a^2-2(a-b)b-b^2=a^2-2ab+b^2$.
答案 B
例如，根据图甲，我们可以得到两数和的完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. 根据图乙能得到的数学公式是（）
—特别提醒
1. 完全平方公式有以下几个特征：
（1）左边是两个数的和（或差）的平方；
（2）右边是一个三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同.
2. 应用完全平方公式时，要注意：
（1）公式中的$a$，$b$可以是单项式，也可以是多项式；
（2）对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用完全平方公式；
（3）对于三项的，可以把其中的两项看作一项后，再用完全平方公式.
A. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
B. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C. $a(a+b)=a^2+ab$
D. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析 图乙中阴影正方形的面积为$(a-b)^2$，还可以表示为$a^2-2(a-b)b-b^2$，
所以 $(a-b)^2=a^2-2(a-b)b-b^2=a^2-2ab+b^2$.
答案 B
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察图乙的结构：阴影部分是正方形，我们可以从两种角度计算它的面积，一是直接用边长计算，二是用大正方形面积减去空白部分的面积，两种方法得到的面积相等，据此推导对应的数学公式，再匹配选项即可。第一步先确定阴影正方形的边长，得到第一种面积表达式；第二步计算大正方形和空白部分的面积，得到第二种阴影面积的表达式；第三步令两个表达式相等，化简后得到对应公式。
【解析】
1. 计算阴影面积的第一种方法：观察图乙可知，阴影部分为正方形，其边长为$a-b$，因此面积为$(a-b)^2$。
2. 计算阴影面积的第二种方法：边长为$a$的大正方形面积为$a^2$；空白部分包含2个长为$a$、宽为$b$的长方形，二者重叠了1个边长为$b$的小正方形，因此空白部分总面积为$2ab - b^2$。则阴影部分面积 = 大正方形面积 - 空白部分面积，即：
$a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$
3. 由于两种方式表示的是同一阴影部分的面积，因此可得等式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方差公式，面积法推导公式，整式运算
【点评】
本题借助几何图形的面积推导代数公式，渗透了数形结合的数学思想，能够帮助学生直观理解完全平方差公式的几何意义，解题的核心是掌握同一图形面积的不同表示方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图乙的结构：阴影部分是正方形，我们可以从两种角度计算它的面积，一是直接用边长计算，二是用大正方形面积减去空白部分的面积，两种方法得到的面积相等，据此推导对应的数学公式，再匹配选项即可。第一步先确定阴影正方形的边长，得到第一种面积表达式；第二步计算大正方形和空白部分的面积，得到第二种阴影面积的表达式；第三步令两个表达式相等，化简后得到对应公式。
【解析】
1. 计算阴影面积的第一种方法：观察图乙可知，阴影部分为正方形，其边长为$a-b$，因此面积为$(a-b)^2$。
2. 计算阴影面积的第二种方法：边长为$a$的大正方形面积为$a^2$；空白部分包含2个长为$a$、宽为$b$的长方形，二者重叠了1个边长为$b$的小正方形，因此空白部分总面积为$2ab - b^2$。则阴影部分面积 = 大正方形面积 - 空白部分面积，即：
$a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$
3. 由于两种方式表示的是同一阴影部分的面积，因此可得等式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方差公式，面积法推导公式，整式运算
【点评】
本题借助几何图形的面积推导代数公式，渗透了数形结合的数学思想，能够帮助学生直观理解完全平方差公式的几何意义，解题的核心是掌握同一图形面积的不同表示方法。
【难度系数】
0.7
