7. 在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是\triangle ABC的AB$,$AC$边上的点,$AD = 4$,$AB = 12$,$AC = 18且\triangle ADE与\triangle ABC$相似,则$AE = $.

$6$或$\frac{8}{3}$（按照题目要求若为填空题直接填写数值即可）

本题可根据相似三角形的性质，分两种情况讨论$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的对应关系，进而求出$AE$的长度。
已知$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似，因为$\angle A$是这两个三角形的公共角，所以分两种情况：
情况一：当$\triangle ADE\sim\triangle ABC$时，根据相似三角形的性质可知，对应边成比例，即$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
已知$AD = 4$，$AB = 12$，$AC = 18$，将其代入$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$可得：
$\frac{AE}{18}=\frac{4}{12}$
$\frac{AE}{18}=\frac{1}{3}$
$AE = 6$
情况二：当$\triangle AED\sim\triangle ABC$时，根据相似三角形的性质可知，对应边成比例，即$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
已知$AD = 4$，$AB = 12$，$AC = 18$，将其代入$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$可得：
$\frac{AE}{12}=\frac{4}{18}$
$\frac{AE}{12}=\frac{2}{9}$
$AE=\frac{8}{3}$
综上，$AE$的长为$6$或$\frac{8}{3}$。

8. 如图,在边长为$9的正三角形ABC$中,$BD = 3$,$\angle ADE = 60^{\circ}$,则$AE$的长为.

7

∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=AC=9，∠B=∠C=60°。
∵BD=3，∴DC=BC-BD=6。设AE=x，则EC=9-x。
在△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°。
∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=120°，∴∠BAD=∠EDC。
∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE。
∴AB/DC=BD/CE，即9/6=3/(9-x)。
解得9-x=2，∴x=7，即AE=7。

9. 将三角形纸片$(\triangle ABC)$按如图所示的方式折叠,使点$B落在边AC$上,记为点$B'$,折痕为$EF$.已知$AB = AC = 3$,$BC = 4$,若以点$B'$,$F$,$C为顶点的三角形与\triangle ABC$相似,那么$BF$的长度是.

$\frac{12}{7}$或$2$

设$BF=x$，由折叠性质得$B'F=BF=x$，$FC=4-x$。
$\triangle B'FC$与$\triangle ABC$相似，$\angle C$为公共角，分两种情况：
情况1： $\angle B'FC=\angle B$，则$\triangle B'FC\backsim\triangle ABC$。
$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{BC}$，即$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}$，解得$x=\frac{12}{7}$。
情况2： $\angle B'FC=\angle A$，则$\triangle B'FC\backsim\triangle BAC$。
$\frac{B'F}{BA}=\frac{FC}{AC}$，即$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{3}$，解得$x=2$。
综上，$BF$的长度为$\frac{12}{7}$或$2$。

10. 如图,$D是AC$上一点,$BE// AC$,$BE = AD$,$AE分别交BD$,$BC于点F$,$G$,$\angle 1= \angle 2$,探索线段$BF$,$FG$,$EF$之间的关系,并说明理由.

BF²=FG·EF。理由如下：
∵BE//AC，D在AC上，∴BE//AD。又BE=AD，∴四边形ADBE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。∴AE与BD互相平分，即AF=EF，BF=FD。
∵BE//AC，∴∠BEA=∠CAD（内错角相等）。设∠1=∠BGF，∠2=∠EBF，∵∠1=∠2，∴∠BGF=∠EBF。
在△BFG和△EFB中，∠BFG=∠EFB（公共角），∠BGF=∠EBF，∴△BFG∽△EFB（AA相似）。
∴BF/EF=FG/BF，即BF²=FG·EF。

11. 如图,在$5×5$的方格纸中,我们把像$\triangle ABC$这样的顶点在小正方形的顶点的三角形叫做格点三角形.(1)在另外四个$5×5的方格纸中各画出一个与\triangle ABC$相似且互不全等的格点三角形.(2)直接写出在一个$6×6的方格纸中可以画出与\triangle ABC$相似的不同格点三角形的个数.

$(1)$ 绘制与$\triangle ABC$相似且互不全等的格点三角形
设小正方形的边长为$1$，根据勾股定理可算出$\triangle ABC$三边的长度：
$AB = 1$，$BC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
- 第一个$5×5$方格纸：相似比为$\sqrt{2}$，三边分别为$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$（画法：取横向相邻两个小正方形组成的线段长为$\sqrt{2}$等，合理即可）。
- 第二个$5×5$方格纸：相似比为$2$，三边分别为$2$，$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{5}$（画法：取横向两个小正方形组成的线段长为$2$等，合理即可）。
- 第三个$5×5$方格纸：相似比为$\sqrt{5}$，三边分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$5$（画法：取横向五个小正方形组成的线段长为$5$等，合理即可）。
- 第四个$5×5$方格纸：相似比为$3$，三边分别为$3$，$3\sqrt{2}$，$3\sqrt{5}$（画法：取横向三个小正方形组成的线段长为$3$等，合理即可）。
$(2)$ 计算$6×6$方格纸中与$\triangle ABC$相似的不同格点三角形的个数
设小正方形边长为$1$。
根据相似三角形的性质，相似比$k$为正实数。
- 当相似比$k = 1$时，有$4$个（不同位置）。
当相似比$k=\sqrt{2}$时，有$4$个（不同位置）。
当相似比$k = 2$时，有$4$个（不同位置）。
当相似比$k=\sqrt{5}$时，有$4$个（不同位置）。
当相似比$k = 3$时，有$4$个（不同位置）。
所以个数为$4×5 = 20$。
综上，答案依次为：$(1)$按照上述思路画出图形（答案不唯一）；$(2)$$\boldsymbol{20}$。

（1）（此处需根据△ABC的具体形状在四个方格纸中画出相似且不全等的格点三角形，因未提供△ABC边长信息，无法准确绘制图形）
（2）10