12. (★★)(2023·河北)如图 26.1 - 5,已知点 $ A(3, 3) $, $ B(3, 1) $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 图象的一支与线段 $ AB $ 有交点,写出一个符合条件的 $ k $ 的整数值:.

3（在3到9之间的任意整数）

1. 点 $ A(3, 3) $ 和点 $ B(3, 1) $ 的横坐标相同，均为 $ x = 3 $。
2. 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 在 $ x = 3 $ 时的函数值为 $ y = \frac{k}{3} $。
3. 为了使反比例函数与线段 $ AB $ 有交点，函数值 $ y $ 应在 $ 1 \leq y \leq 3 $ 之间。
4. 因此，$ 1 \leq \frac{k}{3} \leq 3 $，即 $ 3 \leq k \leq 9 $。
5. 选择一个符合条件的整数值，例如 $ k = 3 $。

13. (★★)已知 $ A(x_1, y_1) $, $ B(x_2, y_2) $ 都在反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象上,若 $ x_1x_2 = -3 $,则 $ y_1y_2 $ 的值为.

-12

由题意，点$A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$都在反比例函数$y = \frac{6}{x}$的图象上，所以有：
$y_1 = \frac{6}{x_1}$，
$y_2 = \frac{6}{x_2}$，
将两式相乘，得到：
$y_1y_2 = \frac{6}{x_1} × \frac{6}{x_2} = \frac{36}{x_1x_2}$，
由题意知$x_1x_2 = -3$，代入上式得：
$y_1y_2 = \frac{36}{-3} = -12$。

14. (★★)阅读材料:反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的本质特征是两个变量 $ x $ 与 $ y $ 的积是一个常数 $ k $,即 $ xy = k(k \neq 0) $.由此,不难得出比例系数 $ k $ 的几何意义:如图 26.1 - 6①,过双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 上任意一点 $ P(x, y) $ 作 $ PM \perp x $ 轴于点 $ M $、$ PN \perp y $ 轴于点 $ N $,则有 $ PM = |y| $, $ PN = |x| $,所以 $ S_{矩形PMON} = |xy| = |k| $, $ S_{\triangle POM} = S_{\triangle PON} = \frac{1}{2}|k| $.利用材料中的信息,可以解决许多与图形面积有关的问题.
比如:如图 26.1 - 6②,点 $ A $ 在双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 上, $ AB \perp x $ 轴于点 $ B $,且 $ \triangle AOB $ 的面积为 2,求 $ k $ 的值.

设点$A$的坐标为$(x, y)$，由于点$A$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上，所以有$xy = k$，
由于$AB \perp x$轴于点$B$，所以$OB$的长度为$|x|$，$AB$的长度为$|y|$，
根据三角形面积公式，$\triangle AOB$的面积为$\frac{1}{2} × |x| × |y| = 2$，
代入$xy = k$，得到$\frac{1}{2}|k| = 2$，
解得$k = \pm 4$，

15. (★★)(2022·龙东)如图 26.1 - 7,在平面直角坐标系中,点 $ O $ 为坐标原点,平行四边形 $ OBAD $ 的顶点 $ B $ 在反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象上,顶点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,顶点 $ D $ 在 $ x $ 轴的负半轴上.若平行四边形 $ OBAD $ 的面积是 5,则 $ k $ 的值是【】

A.2
B.1
C.-1

D.-2

D

设点B坐标为$(m,\frac{3}{m})$（$m＞0$），则B的纵坐标为$\frac{3}{m}$。因四边形OBAD是平行四边形，AD平行且等于OB，设点A坐标为$(n,\frac{3}{m})$，则A在$y=\frac{k}{x}$上，故$n=\frac{k}{\frac{3}{m}}=\frac{km}{3}$。点D在x轴负半轴，坐标为$(d,0)$，由AD=OB得$n - d = m$，即$d = n - m=\frac{km}{3}-m$。平行四边形面积为底×高，以AD为底，高为B的纵坐标$\frac{3}{m}$，面积$=|m|\cdot\frac{3}{m}=3 - k=5$（$m＞0$，$\frac{3}{m}＞0$），解得$k=-2$。

16. (★★)(2022·锦州)如图 26.1 - 8,在平面直角坐标系中, $ \triangle AOB $ 的边 $ OB $ 在 $ y $ 轴上,边 $ AB $ 与 $ x $ 轴交于点 $ D $,且 $ BD = AD $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ A $,若 $ S_{\triangle OAB} = 1 $,则 $ k $ 的值为.

2

设点$ A(a,\frac{k}{a}) $（$ a＞0 $，$ k＞0 $），点$ B(0,-b) $（$ b＞0 $，因$ OB $在$ y $轴，设$ B $在负半轴使$ D $在$ x $轴）。
$ D $为$ AB $中点且在$ x $轴上，由中点坐标公式得$ D(\frac{a}{2},\frac{\frac{k}{a}-b}{2}) $，其纵坐标为$ 0 $，即$ \frac{k}{a}-b=0 $，故$ b=\frac{k}{a} $。
$ S_{\triangle OAB}=1 $，以$ OB $为底（长$ b $），高为$ A $到$ y $轴距离$ a $，则$ \frac{1}{2}× b× a=1 $，即$ ab=2 $。
将$ b=\frac{k}{a} $代入$ ab=2 $，得$ a×\frac{k}{a}=k=2 $。