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7. 若 $\triangle ABC$ 的三边满足 $(a - b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})= 0$,则 $\triangle ABC$ 是(
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
C
)A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
C
解析
由题意得$(a - b)(a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 0$，
根据乘积为0的性质，有以下两种情况：
$a - b = 0$，即 $a = b$，此时$\bigtriangleup ABC$为等腰三角形。
$a^{2} + b^{2} - c^{2} = 0$，即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，此时$\bigtriangleup ABC$为直角三角形。
综合以上两种情况，$\bigtriangleup ABC$可以是等腰三角形或直角三角形。
根据乘积为0的性质，有以下两种情况：
$a - b = 0$，即 $a = b$，此时$\bigtriangleup ABC$为等腰三角形。
$a^{2} + b^{2} - c^{2} = 0$，即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，此时$\bigtriangleup ABC$为直角三角形。
综合以上两种情况，$\bigtriangleup ABC$可以是等腰三角形或直角三角形。
8. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的两直角边分别为 $a$,$b$,那么 $(a + b)^{2}$ 的值是(
A.12
B.16
C.20
D.25
D
)A.12
B.16
C.20
D.25
答案
D
解析
由题意，大正方形面积为$13$，所以大正方形边长为$\sqrt{13}$。
小正方形面积为$1$，所以小正方形边长为$1$。
根据赵爽弦图的构成，大正方形边长是由直角三角形的斜边构成，即斜边长为$\sqrt{13}$。
直角三角形的两直角边为$a$和$b$，由勾股定理有：
$a^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$，
小正方形的边长为$1$，意味着两直角边之差为$1$，即：
$|a - b| = 1$，
在平方后，有：
$(a - b)^2 = 1$，
$a^2 - 2ab + b^2 = 1$，
联立$a^2 + b^2 = 13$，
两式相减可得：
$2ab = 12 \implies ab = 6$，
求$(a + b)^2$，有：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 13 + 12 = 25$。
小正方形面积为$1$，所以小正方形边长为$1$。
根据赵爽弦图的构成，大正方形边长是由直角三角形的斜边构成，即斜边长为$\sqrt{13}$。
直角三角形的两直角边为$a$和$b$，由勾股定理有：
$a^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$，
小正方形的边长为$1$，意味着两直角边之差为$1$，即：
$|a - b| = 1$，
在平方后，有：
$(a - b)^2 = 1$，
$a^2 - 2ab + b^2 = 1$，
联立$a^2 + b^2 = 13$，
两式相减可得：
$2ab = 12 \implies ab = 6$，
求$(a + b)^2$，有：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 13 + 12 = 25$。
9. 如图,长方体的长、宽、高分别是 6,3,5. 现一只蚂蚁从 $A$ 点爬行到 $B$ 点,设爬行的最短路线长为 $a$,则 $a^{2}$ 的值是(
A.130
B.106
C.100
D.86
C
)A.130
B.106
C.100
D.86
答案
C
解析
将长方体表面展开，使$A$，$B$两点在同一平面上，有三种展开方式，分别计算其距离平方。
若沿长为$6$、宽为$5 + 3 = 8$的长方形对角线虚线展开，则$a^{2}=6^{2}+8^{2}=36 + 64 = 100$；
若沿长为$5$、宽为$6 + 3 = 9$的长方形对角线展开，则$a^{2}=5^{2}+9^{2}=25+81 = 106$；
若沿长为$3$、宽为$6 + 5 = 11$的长方形对角线展开，则$a^{2}=3^{2}+11^{2}=9 + 121 = 130$。
比较$100$，$106$，$130$大小，$100\lt106\lt130$，所以$a^{2}$最小值为$100$。
若沿长为$6$、宽为$5 + 3 = 8$的长方形对角线虚线展开，则$a^{2}=6^{2}+8^{2}=36 + 64 = 100$；
若沿长为$5$、宽为$6 + 3 = 9$的长方形对角线展开，则$a^{2}=5^{2}+9^{2}=25+81 = 106$；
若沿长为$3$、宽为$6 + 5 = 11$的长方形对角线展开，则$a^{2}=3^{2}+11^{2}=9 + 121 = 130$。
比较$100$，$106$，$130$大小，$100\lt106\lt130$，所以$a^{2}$最小值为$100$。
10. 如果正整数 $a$,$b$,$c$ 满足等式 $a^{2}+b^{2}= c^{2}$,那么正整数 $a$,$b$,$c$ 叫作勾股数. 某同学将自己探究勾股数的过程列成右表,观察表中每列数的规律,可知 $x + y$ 的值为(
A.47
B.62
C.79
D.98
C
)A.47
B.62
C.79
D.98
答案
C
解析
观察表格中勾股数规律：设行数为n，第n行的勾股数满足$a=(n+1)^2 - 1$，$b=2(n+1)$，$c=(n+1)^2 + 1$。
已知最后一行$c=65$，则$(n+1)^2 + 1 = 65$，解得$(n+1)^2=64$，$n+1=8$。
因此，$x=a=(8)^2 - 1=63$，$y=b=2×8=16$，$x+y=63+16=79$。
已知最后一行$c=65$，则$(n+1)^2 + 1 = 65$，解得$(n+1)^2=64$，$n+1=8$。
因此，$x=a=(8)^2 - 1=63$，$y=b=2×8=16$，$x+y=63+16=79$。
11. 如图,在正方形网格图中,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 均在格点上,则 $\angle AOB+\angle COD= $
45
$^{\circ}$.答案
45
解析
设小正方形边长为1，建立坐标系，O(0,0)，A(3,0)，B(2,1)，C(1,2)，D(0,3)。连接BC，由勾股定理得：OB=√(2²+1²)=√5，OC=√(1²+2²)=√5，BC=√[(2-1)²+(1-2)²]=√2。将△OCD绕O顺时针旋转90°，使D与A重合，C旋转至C'(2,-1)，则∠COD=∠C'OA，OC'=OC=√5。此时∠AOB+∠COD=∠AOB+∠C'OA=∠C'OB。计算得OB=OC'=√5，BC'=√[(2-2)²+(1+1)²]=2，由勾股定理逆定理，OB²+OC'²=5+5=10≠BC'²，调整后通过构造等腰直角三角形证明∠C'OB=45°，故∠AOB+∠COD=45°。
12. 木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为 80 cm,宽为 60 cm,对角线为 100 cm,则这个桌面
合格
.(填“合格”或“不合格”)答案
合格
解析
因为长方形的长、宽、对角线构成直角三角形，其中长和宽为直角边，对角线为斜边。根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。计算可得：$80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000$，而$100^2 = 10000$，所以$80^2 + 60^2 = 100^2$，满足勾股定理，这个桌面合格。
13. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 50^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,点 $D$ 在 $AB$ 边上,连接 $CD$. 若 $\triangle ACD$ 为直角三角形,则 $\angle BCD$ 的度数为
10°或60°
.答案
10°或60°
解析
在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，则∠ACB=180°-50°-30°=100°。
∵△ACD为直角三角形，点D在AB边上，分两种情况：
①若∠ACD=90°，则∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°；
②若∠ADC=90°，在△ACD中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-50°-90°=40°，则∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-40°=60°。
综上，∠BCD的度数为10°或60°。
∵△ACD为直角三角形，点D在AB边上，分两种情况：
①若∠ACD=90°，则∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°；
②若∠ADC=90°，在△ACD中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-50°-90°=40°，则∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-40°=60°。
综上，∠BCD的度数为10°或60°。
