6. 如图,矩形 $ ABCD $ 的对角线交于点 $ O $,已知 $ CD = a $,$ \angle DCA = \angle \beta $,则下列结论错误的是()

A.$ \angle BDC = \angle \beta $
B.$ AO = \frac{a}{2 \sin \beta} $
C.$ BC = a \tan \beta $
D.$ BD = \frac{a}{\cos \beta} $

B

∵四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$，$AC=BD$，$O$为$AC$中点（矩形对角线相等且互相平分）。
选项A：$\because OC=OD$（矩形对角线互相平分且相等），$\therefore \triangle OCD$为等腰三角形，$\angle ODC=\angle OCD$。又$\angle OCD=\angle DCA=\beta$，$\angle ODC=\angle BDC$，$\therefore \angle BDC=\beta$，A正确。
选项B：在$Rt\triangle ADC$中，$\cos\beta=\frac{CD}{AC}$，$CD=a$，$\therefore AC=\frac{a}{\cos\beta}$。$\because AO=\frac{1}{2}AC$，$\therefore AO=\frac{a}{2\cos\beta}\neq\frac{a}{2\sin\beta}$，B错误。
选项C：在$Rt\triangle ADC$中，$\tan\beta=\frac{AD}{CD}$，$CD=a$，$\therefore AD=a\tan\beta$。$\because BC=AD$（矩形对边相等），$\therefore BC=a\tan\beta$，C正确。
选项D：$\because AC=BD$（矩形对角线相等），$AC=\frac{a}{\cos\beta}$，$\therefore BD=\frac{a}{\cos\beta}$，D正确。

7. 已知二次函数 $ y = 2x^2 + bx + 1 $,当 $ b $ 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图中的实线抛物线分别是 $ b $ 取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上(图中虚线抛物线),则这条虚线抛物线的表达式是()

A.$ y = -x^2 + 1 $
B.$ y = -2x^2 + 1 $
C.$ y = -\frac{1}{2}x^2 + 1 $
D.$ y = -4x^2 + 1 $

B

对于二次函数$y = 2x^2 + bx + 1$，其顶点坐标为$(h,k)$。
由顶点横坐标公式得$h=-\frac{b}{2×2}=-\frac{b}{4}$，则$b=-4h$。
由顶点纵坐标公式得$k=\frac{4×2×1 - b^2}{4×2}=\frac{8 - b^2}{8}$。
将$b=-4h$代入$k$的表达式：$k=\frac{8 - (-4h)^2}{8}=\frac{8 - 16h^2}{8}=-2h^2 + 1$。
故顶点所在抛物线表达式为$y=-2x^2 + 1$。

8. 把抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得图象的表达式为 $ y = x^2 - 3x + 5 $,则()
A.$ b = 3 $,$ c = 7 $
B.$ b = 6 $,$ c = 3 $
C.$ b = -9 $,$ c = -5 $
D.$ b = -9 $,$ c = 21 $

A

将平移后抛物线$ y = x^2 - 3x + 5 $逆向平移：先向左平移3个单位，得$ y=(x+3)^2 - 3(x+3) + 5 $；再向上平移2个单位，得$ y=(x+3)^2 - 3(x+3) + 5 + 2 $。展开计算：$ (x+3)^2 - 3(x+3) + 7 = x^2 + 6x + 9 - 3x - 9 + 7 = x^2 + 3x + 7 $。对比原抛物线$ y = x^2 + bx + c $，得$ b=3 $，$ c=7 $。

9. 如图,点 $ A $ 在反比例函数 $ y = -\frac{2}{x} $ 的图象上,点 $ B $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,$ AB // x $ 轴,连接 $ OB $,过点 $ A $ 作 $ AC \perp x $ 轴于点 $ C $,交 $ OB $ 于点 $ D $.若 $ AC = 3DC $,则 $ k $ 的值为()

A.$ -4 $
B.$ -6 $
C.$ -8 $
D.$ -9 $

B

设点A坐标为$(a,b)$，点B坐标为$(c,b)$（∵AB//x轴，纵坐标相同）。
∵点A在$y=-\frac{2}{x}$上，∴$ab=-2$。
AC⊥x轴于点C，∴点C坐标为$(a,0)$，AC长度为$|b|$。
直线OB：过点O(0,0)和B(c,b)，解析式为$y=\frac{b}{c}x$。
AC方程为$x=a$，与OB交于点D，∴D坐标为$(a,\frac{ab}{c})$。
DC长度为$|\frac{ab}{c}|$，由AC=3DC得$|b|=3|\frac{ab}{c}|$。
∵A在$y=-\frac{2}{x}$上，假设A在第四象限（a＞0,b＜0），则$b＜0$，$\frac{ab}{c}＜0$，
∴$-b=3(-\frac{ab}{c})$，化简得$c=3a$。
点B在$y=\frac{k}{x}$上，∴$k=bc=3a\cdot b=3(ab)=3×(-2)=-6$。

10. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 图象的一部分如图所示,该函数图象经过点 $ (-1,0) $,对称轴为直线 $ x = 2 $.对于下列结论:① $ abc ＜ 0 $;② $ a + c = b $;③多项式 $ ax^2 + bx + c $ 可因式分解为 $ (x + 1)(x - 5) $;④当 $ m ＞ -9a $ 时,关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = m $ 无实数根.其中正确的个数有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

C

由题意知，抛物线开口向下，所以$a\lt0$，
对称轴为$x = 2$，所以$- \frac{b}{2a}=2$，即$b = - 4a$，
因为$a\lt0$，所以$b\gt0$，
由图象可知，抛物线与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，所以$c\gt0$，
对于①，$abc\lt0$，因为$a\lt0$，$b\gt0$，$c\gt0$，所以$abc\lt0$，故①正确，
对于②，$a + c = b$，
因为函数图象经过点$( - 1,0)$，所以$a - b + c = 0$，即$a + c = b$，故②正确，
对于③，多项式$ax^{2} + bx + c$可以分解为$(x + 1)(x - 5)$，
因为函数图象经过点$( - 1,0)$，且对称轴为$x = 2$，根据对称性，函数与$x$轴的另一个交点为$(5,0)$，
所以$ax^{2} + bx + c = a(x + 1)(x - 5)$，故③错误，
对于④，当$m\gt - 9a$时，关于$x$的方程$ax^{2} + bx + c = m$无实数根，
因为抛物线的顶点纵坐标$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4ac - (-4a)^{2}}{4a}=\frac{4ac - 16a^{2}}{4a}=c - 4a$，
由$a + c = b = - 4a$，得$c = - 5a$，
所以$c - 4a=-5a - 4a=-9a$，
即抛物线顶点纵坐标为$-9a$，
因为抛物线开口向下，所以当$m\gt - 9a$时，方程$ax^{2} + bx + c = m$无实数根，故④正确，
综上，①②④正确，共$3$个。