10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 30^{\circ}$,点$D$,$E分别为AB$,$AC$上的点,且$DE// BC$。将$\triangle ADE绕点A逆时针旋转至点B$,$E$在同一条直线上,连接$BD$,$EC$。下列结论：
①$\triangle ADE的旋转角为120^{\circ}$；②$BD = EC$；③$BE = AD + AC$；④$DE\perp AC$,其中正确的是()

A.②③
B.②③④
C.①②③
D.①②③④

B

在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，则∠BAC=120°，∠C=30°．DE//BC，故△ADE∽△ABC，∠ADE=∠AED=30°，AD=AE，∠DAE=120°．
①旋转角：△ADE绕A逆时针旋转，使B、E共线．旋转角为∠EAE'（E'为初始位置），因E初始在AC上，旋转后B、E共线，此时∠CAE=60°（非120°），①错误．
②△ABD≌△ACE：AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE（旋转角相等），故△ABD≌△ACE（SAS），BD=EC，②正确．
③BE=AD+AC：设AB=AC=2，AD=AE=1，旋转后E在BA延长线上，BE=BA+AE=2+1=3，AD+AC=1+2=3，故BE=AD+AC，③正确．
④DE⊥AC：坐标法设A(0,0)，C(2,0)，B(-1,√3)，E(0.5,-√3/2)，D(0.5,√3/2)，DE横坐标相同，垂直于AC（x轴），④正确．

11. 在平面直角坐标系中,点$P(-1,a)和点Q(b - 1,3)$关于原点对称,则$a + b = $。

$-1$

由于点$P(-1, a)$和点$Q(b - 1, 3)$关于原点对称，根据对称性质，点$P$的横坐标$-1$与点$Q$的横坐标$b - 1$互为相反数，即：
$b - 1 = -(-1) \implies b - 1 = 1 \implies b = 2$，
同样，点$P$的纵坐标$a$与点$Q$的纵坐标$3$互为相反数，即：
$a = -3$，
因此，$a + b = -3 + 2 = -1$。

12. 若关于$x的分式方程\frac{7}{x - 1}+3= \frac{mx}{x - 1}$无解,则实数$m = $。

$m=3或7$

首先，将方程 $\frac{7}{x - 1} + 3 = \frac{mx}{x - 1}$ 两边都乘以 $x - 1$（注意 $x \neq 1$）以消去分母，得到：
$7 + 3(x - 1) = mx$，
进一步整理，得到：
$7 + 3x - 3 = mx$，
$3x + 4 = mx$，
$(3 - m)x = -4\quad(①)$，
接下来，分两种情况讨论：
当 $3 - m = 0$，即 $m = 3$ 时，方程 $①$ 变为 $0 = -4$，这是一个自相矛盾的等式，因此原分式方程无解。
当 $3 - m \neq 0$，即 $m \neq 3$ 时，方程 $①$ 有解 $x = \frac{-4}{3 - m}$。但需要注意，这个解不能使分母 $x - 1$ 为零，即 $\frac{-4}{3 - m} \neq 1$。
若 $\frac{-4}{3 - m} = 1$，则 $m = 7$。当 $m = 7$ 时，分母 $x - 1$ 会为零，因此原分式方程也无解。
综上所述，$m$ 的取值为 $3$ 或 $7$。

13. 已知$x^{2}+3x - 5 = 0$,则$x(x + 1)(x + 2)(x + 3)$的值是。

35

$x(x + 1)(x + 2)(x + 3)=[x(x + 3)][(x + 1)(x + 2)]=(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$，由$x^2 + 3x - 5 = 0$得$x^2 + 3x = 5$，代入得$5×(5 + 2)=5×7=35$

14. 某旅游团游客年龄的方差分别是$s_{甲}^{2}= 1.4$,$s_{乙}^{2}= 18.8$,$s_{丙}^{2}= 2.5$。导游小方最喜欢带游客年龄相近的团,则他在甲、乙、丙三个团中应选。

甲

方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。已知$s_{甲}^{2}=1.4$，$s_{乙}^{2}=18.8$，$s_{丙}^{2}=2.5$，比较可得$1.4\lt2.5\lt18.8$，即甲团年龄的方差最小，所以甲团游客年龄最相近。

15. 如图,把三角形纸片$ABC沿DE$折叠,使点$A落在四边形BCED$的内部,已知$\angle 1+\angle 2 = 80^{\circ}$,则$\angle A$的度数为。
 

40°

设∠ADE=α，∠AED=β，由折叠性质得∠A'DE=α，∠A'ED=β。
∵∠1=180°-2α，∠2=180°-2β（平角定义及折叠对应角相等），
∴∠1+∠2=360°-2(α+β)。
在△ADE中，∠A+α+β=180°，则α+β=180°-∠A。
∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A。
∵∠1+∠2=80°，
∴2∠A=80°，∠A=40°。

16. 如图,矩形$ABCD$的面积为5,它的两条对角线交于点$O_{1}$,以$AB$,$AO_{1}为两邻边作□ $ABC_{1}O_{1}$,$□ ABC_{1}O_{1}的对角线交于点O_{2}$,同样以$AB$,$AO_{2}为两邻边作□ $ABC_{2}O_{2}$,依此方法作下去,则$□ ABC_{n}O_{n}$的面积为______。

$\frac{5}{2^n}$

设矩形$ABCD$中$AB=a$，$BC=b$，则$ab=5$。以$AB$为底，各平行四边形的高为点$O_n$到$AB$的距离。
矩形$ABCD$对角线交于$O_1$，$O_1$为$AC$中点，$O_1$到$AB$距离为$\frac{b}{2}$，$□ ABC_1O_1$面积$=a\cdot\frac{b}{2}=\frac{5}{2}$。
$□ ABC_1O_1$对角线交于$O_2$，$O_2$到$AB$距离为$\frac{b}{4}$，$□ ABC_2O_2$面积$=a\cdot\frac{b}{4}=\frac{5}{4}$。
依此类推，$O_n$到$AB$距离为$\frac{b}{2^n}$，$□ ABC_nO_n$面积$=a\cdot\frac{b}{2^n}=\frac{5}{2^n}$。