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1. (★)一般地,如果两个角的和等于
90°
(直角),就说这两个角互为余角,简称这两个角互余
,其中一个角是另一个角的余角
;如果两个角的和等于180°
(平角),就说这两个角互为补角,简称这两个角互补
,其中一个角是另一个角的补角
. 它们仅与角的大小有关,与角的位置无关.答案
90°
互余
余角
180°
互补
补角
相等
相等
45°
90°
55°39'
145°39'
互余
余角
180°
互补
补角
相等
相等
45°
90°
55°39'
145°39'
2. (★)(1)同角(等角)的余角
(2)同角(等角)的补角
(3)若两个互余的角相等,则它们都等于
相等
;(2)同角(等角)的补角
相等
;(3)若两个互余的角相等,则它们都等于
45°
;若两个互补的角相等,则它们都等于90°
.答案
(1)相等；
(2)相等；
(3)$45°$；$90°$。
(2)相等；
(3)$45°$；$90°$。
解析
(1) 设两个角为 $\alpha$ 和 $\beta$，若它们是同一个角的余角，则 $\alpha = 90° - \theta$，$\beta = 90° - \theta$，所以 $\alpha = \beta$。若它们是等角的余角，设等角为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 且 $\theta_1 = \theta_2$，则 $\alpha = 90° - \theta_1$，$\beta = 90° - \theta_2$，由于 $\theta_1 = \theta_2$，所以 $\alpha = \beta$。
因此同角(等角)的余角相等。
(2) 类似(1)的推理，设两个角为 $\gamma$ 和 $\delta$，若它们是同一个角的补角，则 $\gamma = 180° - \theta$，$\delta = 180° - \theta$，所以 $\gamma = \delta$。若它们是等角的补角，设等角为 $\theta_3$ 和 $\theta_4$ 且 $\theta_3 = \theta_4$，则 $\gamma = 180° - \theta_3$，$\delta = 180° - \theta_4$，由于 $\theta_3 = \theta_4$，所以 $\gamma = \delta$。
因此同角(等角)的补角相等。
(3) 若两个角互余且相等，设两个角都为 $\epsilon$，则 $2\epsilon = 90°$，从而 $\epsilon = 45°$。若两个角互补且相等，设两个角都为 $\zeta$，则 $2\zeta = 180°$，从而 $\zeta = 90°$。
因此同角(等角)的余角相等。
(2) 类似(1)的推理，设两个角为 $\gamma$ 和 $\delta$，若它们是同一个角的补角，则 $\gamma = 180° - \theta$，$\delta = 180° - \theta$，所以 $\gamma = \delta$。若它们是等角的补角，设等角为 $\theta_3$ 和 $\theta_4$ 且 $\theta_3 = \theta_4$，则 $\gamma = 180° - \theta_3$，$\delta = 180° - \theta_4$，由于 $\theta_3 = \theta_4$，所以 $\gamma = \delta$。
因此同角(等角)的补角相等。
(3) 若两个角互余且相等，设两个角都为 $\epsilon$，则 $2\epsilon = 90°$，从而 $\epsilon = 45°$。若两个角互补且相等，设两个角都为 $\zeta$，则 $2\zeta = 180°$，从而 $\zeta = 90°$。
3. (★)已知$\angle \alpha = 34^{\circ}21'$,则$\angle \alpha$的余角是
$55^{\circ}39'$
,$\angle \alpha$的补角是$145^{\circ}39'$
.答案
$55^{\circ}39'$，$145^{\circ}39'$
解析
余角的定义为：若两角之和为$90^{\circ}$，则这两个角互为余角。
所以$\angle \alpha$的余角为：
$90^{\circ} - 34^{\circ}21' = 55^{\circ}39'$。
补角的定义为：若两角之和为$180^{\circ}$，则这两个角互为补角。
所以$\angle \alpha$的补角为：
$180^{\circ} - 34^{\circ}21' = 145^{\circ}39'$。
所以$\angle \alpha$的余角为：
$90^{\circ} - 34^{\circ}21' = 55^{\circ}39'$。
补角的定义为：若两角之和为$180^{\circ}$，则这两个角互为补角。
所以$\angle \alpha$的补角为：
$180^{\circ} - 34^{\circ}21' = 145^{\circ}39'$。
4. (★)如图,利用工具测量角,有如下结论:
①$\angle AOC = 90^{\circ}$;②$\angle AOB = \angle BOC$;③$\angle AOB与\angle BOC$互为余角;④$\angle AOB与\angle AOD$互为补角.
其中正确结论的序号是 【
A.①②③
B.①②
C.③④
D.①③④
①$\angle AOC = 90^{\circ}$;②$\angle AOB = \angle BOC$;③$\angle AOB与\angle BOC$互为余角;④$\angle AOB与\angle AOD$互为补角.
其中正确结论的序号是 【
D
】A.①②③
B.①②
C.③④
D.①③④
答案
D
5. (★)如图,$\angle AOC = 90^{\circ}$,点B,O,D在同一直线上. 若$\angle 1 = 25^{\circ}$,则$\angle 2$的度数为 【
A.$115^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$105^{\circ}$
A
】A.$115^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$105^{\circ}$
答案
A
6. (★★)如图,$\angle AOC = \angle BOD = 90^{\circ}$,下列说法正确的有 【
①图中有两对互余的角;②$\angle 1 = \angle 3$,依据是同角的余角相等;③图中有两对互补的角;④当$\angle 1 = 2\angle 2$时,$\angle AOD = 120^{\circ}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
】①图中有两对互余的角;②$\angle 1 = \angle 3$,依据是同角的余角相等;③图中有两对互补的角;④当$\angle 1 = 2\angle 2$时,$\angle AOD = 120^{\circ}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
7. (★★)如图,射线OC的端点O在直线AB上,$\angle AOC = 40^{\circ}$,点D在平面内,$\angle BOD与\angle AOC$互余,则$\angle DOC$的度数为 【
A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$50^{\circ}或130^{\circ}$
D.$90^{\circ}或170^{\circ}$
D
】A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$50^{\circ}或130^{\circ}$
D.$90^{\circ}或170^{\circ}$
答案
D
