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1. 如图所示,$AB是\odot O$的直径,$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{DE}$. 若$\angle COD= 34^\circ$,则$\angle AEO= $
$51^{\circ}$
.答案
1. 首先，根据等弧所对的圆心角相等：
已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$\angle COD = 34^{\circ}$，所以$\angle BOC=\angle COD=\angle DOE = 34^{\circ}$。
2. 然后，求$\angle AOE$的度数：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AOB = 180^{\circ}$（平角的定义）。
那么$\angle AOE=180^{\circ}-\angle BOC - \angle COD-\angle DOE$。
把$\angle BOC=\angle COD=\angle DOE = 34^{\circ}$代入上式，可得$\angle AOE=180^{\circ}-3×34^{\circ}=180^{\circ}-102^{\circ}=78^{\circ}$。
3. 最后，求$\angle AEO$的度数：
因为$OA = OE$（同圆的半径相等），所以$\triangle AOE$是等腰三角形，根据等腰三角形的性质$\angle AEO=\angle EAO$。
又根据三角形内角和定理$\angle AEO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOE)$（等腰三角形两底角相等，$\angle AEO=\angle EAO$，$\angle AEO+\angle EAO+\angle AOE = 180^{\circ}$）。
把$\angle AOE = 78^{\circ}$代入$\angle AEO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOE)$，得$\angle AEO=\frac{1}{2}(180 - 78)^{\circ}=51^{\circ}$。
故答案为$51^{\circ}$。
已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$\angle COD = 34^{\circ}$，所以$\angle BOC=\angle COD=\angle DOE = 34^{\circ}$。
2. 然后，求$\angle AOE$的度数：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AOB = 180^{\circ}$（平角的定义）。
那么$\angle AOE=180^{\circ}-\angle BOC - \angle COD-\angle DOE$。
把$\angle BOC=\angle COD=\angle DOE = 34^{\circ}$代入上式，可得$\angle AOE=180^{\circ}-3×34^{\circ}=180^{\circ}-102^{\circ}=78^{\circ}$。
3. 最后，求$\angle AEO$的度数：
因为$OA = OE$（同圆的半径相等），所以$\triangle AOE$是等腰三角形，根据等腰三角形的性质$\angle AEO=\angle EAO$。
又根据三角形内角和定理$\angle AEO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOE)$（等腰三角形两底角相等，$\angle AEO=\angle EAO$，$\angle AEO+\angle EAO+\angle AOE = 180^{\circ}$）。
把$\angle AOE = 78^{\circ}$代入$\angle AEO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOE)$，得$\angle AEO=\frac{1}{2}(180 - 78)^{\circ}=51^{\circ}$。
故答案为$51^{\circ}$。
2. 如图所示,若$A,B,C,D是\odot O$上的点,$\angle 1= \angle 2$,则下列结论正确的有
①$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{CD}$；②$\overset{\frown}{DB}= \overset{\frown}{CA}$；③$AC= BD$；④$\angle BOD= \angle AOC$.
4
个.①$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{CD}$；②$\overset{\frown}{DB}= \overset{\frown}{CA}$；③$AC= BD$；④$\angle BOD= \angle AOC$.
答案
【解析】：
本题考查圆的基本性质，包括圆周角定理、等弧对等弦以及角度和弧的关系。
$\angle 1$和$\angle 2$分别是弧$CD$和弧$AB$所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，
因为$\angle 1=\angle 2$，
所以弧$AB$和弧$CD$所对的圆周角相等，则弧$AB=弧CD$，①正确。
因为弧$AB=弧CD$，
所以弧$AB+弧AD=弧CD+弧AD$，
即弧$DB=弧CA$，②正确。
根据等弧对等弦，因为弧$DB=弧CA$，
所以它们所对的弦$AC=BD$，③正确。
同样因为弧$DB=弧CA$，
所以它们所对的圆心角$\angle BOD=\angle AOC$，④正确。
【答案】：4。
本题考查圆的基本性质，包括圆周角定理、等弧对等弦以及角度和弧的关系。
$\angle 1$和$\angle 2$分别是弧$CD$和弧$AB$所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，
因为$\angle 1=\angle 2$，
所以弧$AB$和弧$CD$所对的圆周角相等，则弧$AB=弧CD$，①正确。
因为弧$AB=弧CD$，
所以弧$AB+弧AD=弧CD+弧AD$，
即弧$DB=弧CA$，②正确。
根据等弧对等弦，因为弧$DB=弧CA$，
所以它们所对的弦$AC=BD$，③正确。
同样因为弧$DB=弧CA$，
所以它们所对的圆心角$\angle BOD=\angle AOC$，④正确。
【答案】：4。
3. 如图所示,$AB是半圆O$的直径,$AB= 4$,点$C,D$在半圆上,$OC\perp AB$,$\overset{\frown}{BD}= 2\overset{\frown}{CD}$,$P是OC$上的一个动点,则$BP+DP$的最小值为______
$2\sqrt{3}$
.答案
解：
∵AB是半圆O的直径，AB=4，
∴OA=OB=OC=2。
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=90^\circ$。
设$\overset{\frown}{CD}=x$，则$\overset{\frown}{BD}=2x$，
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}=x+2x=3x=90^\circ$，
∴$x=30^\circ$，即$\overset{\frown}{CD}=30^\circ$，$\overset{\frown}{BD}=60^\circ$。
作点B关于OC的对称点B'，连接B'D交OC于点P，此时BP+DP最小，且BP+DP=B'D。
∵OC⊥AB，点B与B'关于OC对称，
∴B'与A重合（或B'在圆上，且$\overset{\frown}{AB'}=2\overset{\frown}{AC}=180^\circ$，即B'为A点）。
连接AD，即B'D=AD。
∵$\overset{\frown}{BD}=60^\circ$，AB为直径，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}=30^\circ$，∠ADB=90°（直径所对圆周角）。
在Rt△ABD中，AB=4，∠BAD=30°，
∴AD=AB·cos30°=$4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
故BP+DP的最小值为$2\sqrt{3}$。
答案：$2\sqrt{3}$
∵AB是半圆O的直径，AB=4，
∴OA=OB=OC=2。
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=90^\circ$。
设$\overset{\frown}{CD}=x$，则$\overset{\frown}{BD}=2x$，
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}=x+2x=3x=90^\circ$，
∴$x=30^\circ$，即$\overset{\frown}{CD}=30^\circ$，$\overset{\frown}{BD}=60^\circ$。
作点B关于OC的对称点B'，连接B'D交OC于点P，此时BP+DP最小，且BP+DP=B'D。
∵OC⊥AB，点B与B'关于OC对称，
∴B'与A重合（或B'在圆上，且$\overset{\frown}{AB'}=2\overset{\frown}{AC}=180^\circ$，即B'为A点）。
连接AD，即B'D=AD。
∵$\overset{\frown}{BD}=60^\circ$，AB为直径，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}=30^\circ$，∠ADB=90°（直径所对圆周角）。
在Rt△ABD中，AB=4，∠BAD=30°，
∴AD=AB·cos30°=$4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
故BP+DP的最小值为$2\sqrt{3}$。
答案：$2\sqrt{3}$
4. 如图所示,正方形$ABCD的四个顶点在\odot O$上,$M为\overset{\frown}{CD}$的中点,连接$AM,BM$. 求证：$AM= BM$.
答案
解：因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = BC$，则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
又因为$M$为$\overset{\frown}{CD}$的中点，所以$\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{CM}$。
那么$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CM}$，即$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$。
根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所以$AM = BM$。
又因为$M$为$\overset{\frown}{CD}$的中点，所以$\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{CM}$。
那么$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CM}$，即$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$。
根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所以$AM = BM$。
5. 如图所示,$A,B是\odot O$上的两点,若$\angle AOB= 120^\circ$,$C是\overset{\frown}{AB}$的中点. 求证：四边形$AOBC$是菱形.
答案
【解析】：本题考查圆的性质，圆心角与弧的关系，以及菱形的判定定理。
要证明四边形AOBC是菱形，需要证明它的四条边相等。
已知条件$\angle AOB=120^\circ$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
根据圆的性质，可以得到$\angle AOC=\angle BOC=60^\circ$，
再结合OA=OB=OC，可以证明$\triangle AOC$和$\triangle BOC$都是等边三角形，
从而得出四边形AOBC的四条边相等，即它是菱形。
【答案】：证明：
连接OC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB$，
∵$\angle AOB=120^\circ$，
∴$\angle AOC=\angle BOC=60^\circ$，
∵$OA=OB=OC$，
∴$\triangle AOC$和$\triangle BOC$都是等边三角形，
∴$OA=AC=OB=BC$，
∴四边形AOBC是菱形。
要证明四边形AOBC是菱形，需要证明它的四条边相等。
已知条件$\angle AOB=120^\circ$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
根据圆的性质，可以得到$\angle AOC=\angle BOC=60^\circ$，
再结合OA=OB=OC，可以证明$\triangle AOC$和$\triangle BOC$都是等边三角形，
从而得出四边形AOBC的四条边相等，即它是菱形。
【答案】：证明：
连接OC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB$，
∵$\angle AOB=120^\circ$，
∴$\angle AOC=\angle BOC=60^\circ$，
∵$OA=OB=OC$，
∴$\triangle AOC$和$\triangle BOC$都是等边三角形，
∴$OA=AC=OB=BC$，
∴四边形AOBC是菱形。
6. 如图所示,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CB}$,$CD\perp OA于点D$,$CE\perp OB于点E$. 求证：$AD= BE$.
答案
【解析】：
本题考查圆的性质，垂径定理。
证明：
连接$OC$，
$\because \overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{CB}$
$\therefore \angle AOC=\angle BOC$（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）
又$\because CD\perp OA,CE\perp OB$，垂足分别为$D$、$E$
$\therefore \angle CDO=\angle CEO=90^\circ$
在$\triangle OCD$和$\triangle OCE$中
$\begin{cases}OC=OC\\\angle AOC=\angle BOC\\\angle CDO=\angle CEO\end{cases}$
$\therefore \triangle OCD\cong \triangle OCE(AAS)$
$\therefore CD=CE,OD=OE$
又$\because OA=OB$
$\therefore OA-OD=OB-OE$
即：$AD=BE$
【答案】：
证明：连接$OC$，
$\because \overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{CB}$
$\therefore \angle AOC=\angle BOC$
又$\because CD\perp OA,CE\perp OB$，垂足分别为$D$、$E$
$\therefore \angle CDO=\angle CEO=90^\circ$
在$\triangle OCD$和$\triangle OCE$中
$\begin{cases}OC=OC\\\angle AOC=\angle BOC\\\angle CDO=\angle CEO\end{cases}$
$\therefore \triangle OCD\cong \triangle OCE(AAS)$
$\therefore CD=CE,OD=OE$
又$\because OA=OB$
$\therefore OA-OD=OB-OE$
即：$AD=BE$
本题考查圆的性质，垂径定理。
证明：
连接$OC$，
$\because \overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{CB}$
$\therefore \angle AOC=\angle BOC$（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）
又$\because CD\perp OA,CE\perp OB$，垂足分别为$D$、$E$
$\therefore \angle CDO=\angle CEO=90^\circ$
在$\triangle OCD$和$\triangle OCE$中
$\begin{cases}OC=OC\\\angle AOC=\angle BOC\\\angle CDO=\angle CEO\end{cases}$
$\therefore \triangle OCD\cong \triangle OCE(AAS)$
$\therefore CD=CE,OD=OE$
又$\because OA=OB$
$\therefore OA-OD=OB-OE$
即：$AD=BE$
【答案】：
证明：连接$OC$，
$\because \overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{CB}$
$\therefore \angle AOC=\angle BOC$
又$\because CD\perp OA,CE\perp OB$，垂足分别为$D$、$E$
$\therefore \angle CDO=\angle CEO=90^\circ$
在$\triangle OCD$和$\triangle OCE$中
$\begin{cases}OC=OC\\\angle AOC=\angle BOC\\\angle CDO=\angle CEO\end{cases}$
$\therefore \triangle OCD\cong \triangle OCE(AAS)$
$\therefore CD=CE,OD=OE$
又$\because OA=OB$
$\therefore OA-OD=OB-OE$
即：$AD=BE$
