变式训练 计算:
(1)$(-m)^{3}\cdot (-m^{4})$;
(2)$(b+2)^{3}\cdot (b+2)^{5}\cdot (b+2)$;
(3)$(x-2y)^{2}\cdot (2y-x)^{3}$.

(1)
$(-m)^{3}\cdot (-m^{4})$
$=-m^{3}\cdot (-m^{4})$
$ = m^{3 + 4}$
$ = m^{7}$
(2)
$(b + 2)^{3}\cdot (b + 2)^{5}\cdot (b + 2)$
$=(b + 2)^{3 + 5+1}$
$=(b + 2)^{9}$
(3)
因为$(x - 2y)^{2}=[-(2y - x)]^{2}=(2y - x)^{2}$
所以$(x - 2y)^{2}\cdot (2y - x)^{3}$
$=(2y - x)^{2}\cdot (2y - x)^{3}$
$=(2y - x)^{2 + 3}$
$=(2y - x)^{5}$

例3 (1)若$x^{a}= -2,x^{b}= 3$,则$x^{a+b}= $.
(2)若$x^{a}= 6,x^{a+b}= 18$,则$x^{b}= $.

(1) $-6$
(2) $3$

(1) 根据同底数幂的乘法法则，$x^{a+b} = x^a \cdot x^b$。已知$x^a = -2$，$x^b = 3$，所以$x^{a+b} = (-2) × 3 = -6$。
(2) 根据同底数幂的乘法法则，$x^{a+b} = x^a \cdot x^b$。已知$x^a = 6$，$x^{a+b} = 18$，所以$x^b = \frac{x^{a+b}}{x^a} = \frac{18}{6} = 3$。

变式训练 (1)若$a^{m}= -3,a^{n}= 5$,则$a^{m+n}=$.(2)若$10^{a}× 10^{2b}= 100$,则$a+2b+3=$.

(1) $-15$
(2) $5$

(1) 根据同底数幂的乘法法则，有 $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$。
已知 $a^m = -3$ 和 $a^n = 5$，代入得：
$a^{m+n} = (-3) × 5 = -15$
(2) 根据同底数幂的乘法法则，有 $10^a × 10^{2b} = 10^{a+2b}$。
已知 $10^a × 10^{2b} = 100$，即 $10^{a+2b} = 10^2$。
由此可得 $a+2b = 2$，进一步计算 $a+2b+3 = 2+3 = 5$。

1. 已知$a\cdot a\cdot a^{x}= a^{12}$,则$x$等于()
A.10
B.4
C.8
D.9

A

因为 $a \cdot a \cdot a^{x} = a^{1+1+x} = a^{2+x}$，又因为 $a \cdot a \cdot a^{x} = a^{12}$，所以 $2 + x = 12$，解得 $x = 10$。

2. $x^{3m+3}$可以写成()

A.$3x^{m+1}$
B.$x^{3m}+x^{3}$
C.$x^{3}\cdot x^{m+1}$
D.$x^{3m}\cdot x^{3}$

D

根据同底数幂的乘法法则，有 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。
需要找到一个表达式，使其等于 $x^{3m+3}$。
A. $3x^{m+1}$ 不符合 $x^{3m+3}$ 的形式，因为系数和指数都不匹配。
B. $x^{3m} + x^{3}$ 是两个幂的和，不是同底数幂的乘法，因此不等于 $x^{3m+3}$。
C. $x^{3} \cdot x^{m+1} = x^{m+4}$，根据同底数幂的乘法法则，这不等于 $x^{3m+3}$。
D. $x^{3m} \cdot x^{3} = x^{3m+3}$，根据同底数幂的乘法法则，这正好等于 $x^{3m+3}$。

3. 计算:(1)$-x^{2}\cdot x^{5}=$;
(2)$(x-y)^{2}\cdot (y-x)^{5}=$.

(1) $-x^{7}$
(2) $(y - x)^{7}$

(1) 根据同底数幂的乘法法则，当底数相同时，指数相加。
$-x^{2} \cdot x^{5} = -x^{2+5} = -x^{7}$
(2) 首先，注意到 $(x-y)^{2}$ 和 $(y-x)^{5}$ 的底数可以视为互为相反数，即 $x-y = -(y-x)$。
因此，$(x-y)^{2} \cdot (y-x)^{5} = (-1)^{2}(y-x)^{2} \cdot (y-x)^{5} = (y-x)^{2+5} = (y-x)^{7}$

4. (1)已知$x^{3}= 3,x^{6}= 9$,则$x^{9}= $.
(2)已知$2^{3x+1}= 64$,则$x= $.

(1) 27
(2) $\frac{5}{3}$（或 $x= \frac{5}{3}$ 对应答案填写为该数值，根据题目要求直接填数值）

(1) 由题意，已知 $x^{3} = 3$ 和 $x^{6} = 9$，根据同底数幂的乘法公式，有 $x^{3} \cdot x^{6} = x^{9}$，即 $x^{9} = 3 × 9 = 27$，或直接用幂的乘方计算，即 $x^9=(x^3)^3=3^3=27$。
(2) 已知 $2^{3x + 1} = 64$，由于 $64 = 2^{6}$，根据同底数幂相等的性质，指数也必须相等，即 $3x + 1 = 6$，解这个方程得到 $x = \frac{5}{3}$（或写成 $x = 1\frac{2}{3}$，但题目要求填数字，故写为分数形式）。

5. 计算:
(1)$2a^{3}\cdot a^{4}+a^{5}\cdot a^{2}-2a^{6}\cdot a$;
(2)$(m-n)^{5}(n-m)(n-m)^{3}$;
(3)$(x+y)^{n}\cdot (x+y)^{n+1}\cdot (x+y)^{m-1}+(x+y)^{2n+1}\cdot (x+y)^{m-1}$.

(1)
$2a^{3}\cdot a^{4}+a^{5}\cdot a^{2}-2a^{6}\cdot a$
$=2a^{3 + 4}+a^{5+2}-2a^{6 + 1}$
$=2a^{7}+a^{7}-2a^{7}$
$=a^{7}$
(2)
因为$(m - n)^{5}(n - m)(n - m)^{3}=(m - n)^{5}[-(m - n)][-(m - n)^{3}]$
$=(m - n)^{5}(m - n)(m - n)^{3}$
$=(m - n)^{5 + 1+3}$
$=(m - n)^{9}$
(3)
$(x + y)^{n}\cdot(x + y)^{n + 1}\cdot(x + y)^{m - 1}+(x + y)^{2n+1}\cdot(x + y)^{m - 1}$
$=(x + y)^{n+(n + 1)+(m - 1)}+(x + y)^{(2n + 1)+(m - 1)}$
$=(x + y)^{2n+m}+(x + y)^{2n+m}$
$=2(x + y)^{2n+m}$

6. 对于任何实数,我们规定符号$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix} $的意义是:$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix} = ad-bc$.按照这个规定,请你计算当$3m+2n= 1$时,$\begin{vmatrix}2^{6m}&3^{3m}\\3^{2n}&2^{4n}\end{vmatrix} $的值.

根据题意，有
$\begin{vmatrix}2^{6m} \quad 3^{3m} \\3^{2n} \quad2^{4n}\end{vmatrix}$
$= 2^{6m} × 2^{4n} - 3^{3m} × 3^{2n}$
利用同底数幂的乘法法则，即 $a^{m} × a^{n} = a^{m+n}$，进行化简：
原式 $= 2^{6m + 4n} - 3^{3m + 2n}$
根据题目给出的条件 $3m + 2n = 1$，可以进一步化简：
原式 $= 2^{2(3m + 2n)} - 3^{3m + 2n}$
$= 2^{2 × 1} - 3^{1}$
$= 4 - 3$
$= 1$
故答案为：1。

幂的乘方法则：$(a^{m})^{n}=$($m$,$n$都是正整数).
思考 ①底数可以是多项式吗？ ②幂的乘方与同底数幂的乘法的相同点与不同点是什么？
填空 $(10^{2})^{3}=$；$(-a^{2})^{3}$.

$a^{mn}$；可以；相同点：都是幂的运算，不同点：幂的乘方指数相乘，同底数幂的乘法指数相加；$10^{6}$；$-a^{6}$

幂的乘方法则：$(a^{m})^{n}=a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数）。思考①：底数可以是多项式。②：相同点：都是幂的运算；不同点：幂的乘方是底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法是底数不变，指数相加。填空：$(10^{2})^{3}=10^{2×3}=10^{6}$；$(-a^{2})^{3}=-a^{2×3}=-a^{6}$。

例1 计算：
(1)$(a^{6})^{3}$； (2)$[(-a)^{6}]^{3}$；
(3)$(-a^{3})^{6}$； (4)$(-a^{6})^{3}$.
名师导引 幂的乘方,底数保持不变,把指数相乘(乘方变乘法). 在进行幂的运算时,一定要注意负号的位置.

(1)
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$（$m$，$n$是正整数），对于$(a^{6})^{3}$，底数$a$不变，指数$6$和$3$相乘，可得：
$(a^{6})^{3}=a^{6×3}=a^{18}$
(2)
先计算$(-a)^{6}$，根据负数的偶次幂是正数，可得$(-a)^{6}=a^{6}$。
再计算$[(-a)^{6}]^{3}=(a^{6})^{3}$，根据幂的乘方运算法则，底数$a$不变，指数$6$和$3$相乘，可得：
$[(-a)^{6}]^{3}=(a^{6})^{3}=a^{6×3}=a^{18}$
(3)
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数），对于$(-a^{3})^{6}$，可看作$(-1× a^{3})^{6}=(-1)^{6}×(a^{3})^{6}$。
因为$(-1)^{6}=1$，再根据幂的乘方运算法则$(a^{3})^{6}=a^{3×6}=a^{18}$，所以：
$(-a^{3})^{6}=(-1)^{6}×(a^{3})^{6}=1× a^{18}=a^{18}$
(4)
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数），对于$(-a^{6})^{3}$，可看作$(-1× a^{6})^{3}=(-1)^{3}×(a^{6})^{3}$。
因为$(-1)^{3}=-1$，再根据幂的乘方运算法则$(a^{6})^{3}=a^{6×3}=a^{18}$，所以：
$(-a^{6})^{3}=(-1)^{3}×(a^{6})^{3}=-1× a^{18}=-a^{18}$
综上，答案依次为：(1)$a^{18}$；(2)$a^{18}$；(3)$a^{18}$；(4)$-a^{18}$。