登录
巩固提升 某工程队要修路 $ a $ m,计划平均每天修 $ b $ m,则计划完成此项工程的时间为
$\frac{a}{b}$
天.答案
$\frac{a}{b}$
解析
工作时间=工作总量÷工作效率，已知工作总量为 $a$ m，工作效率为每天修 $b$ m，所以计划完成此项工程的时间为 $\frac{a}{b}$ 天。
例2 (1) 在 $ \pi,x^{2}+2,1 - 2x = 0,ab,a ＞ 3,0,\frac{a}{2} $ 中,代数式有(
A. $ 5 $ 个 B. $ 4 $ 个 C. $ 3 $ 个 D. $ 2 $ 个
(2) 学校买来 $ 20 $ 个足球,每个 $ a $ 元；又买来 $ b $ 个篮球,每个 $ 58 $ 元. $ 20a + 58b $ 表示
A
)A. $ 5 $ 个 B. $ 4 $ 个 C. $ 3 $ 个 D. $ 2 $ 个
(2) 学校买来 $ 20 $ 个足球,每个 $ a $ 元；又买来 $ b $ 个篮球,每个 $ 58 $ 元. $ 20a + 58b $ 表示
买20个足球和b个篮球一共花的钱数
；当 $ a = 45,b = 10 $ 时,$ 20a + 58b = $1480
元.答案
A；买20个足球和b个篮球一共花的钱数；1480
解析
(1)代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。单独的一个数或者一个字母也称为代数式。所以$\pi$，$x^{2}+2$，$ab$，$0$，$\frac{a}{2}$是代数式，共5个。$1 - 2x = 0$是等式，$a ＞ 3$是不等式，不是代数式。
(2)$20a$表示20个足球的总价，$58b$表示$b$个篮球的总价，所以$20a + 58b$表示买20个足球和$b$个篮球一共花的钱数。当$a = 45$，$b = 10$时，$20a + 58b = 20×45 + 58×10 = 900 + 580 = 1480$。
(2)$20a$表示20个足球的总价，$58b$表示$b$个篮球的总价，所以$20a + 58b$表示买20个足球和$b$个篮球一共花的钱数。当$a = 45$，$b = 10$时，$20a + 58b = 20×45 + 58×10 = 900 + 580 = 1480$。
巩固提升 下列代数式的意义表述不正确的是(
A.$ (a + b)^{2} $ 表示 $ a $ 与 $ b $ 的和的平方
B.$ 8m $ 可表示 $ m $ 支单价为 $ 8 $ 元的钢笔的总价
C.$ \frac{3a}{2} + 4 $ 表示 $ a $ 的 $ 3 $ 倍与 $ 4 $ 的和的一半
D.$ 2a + b $ 表示 $ a $ 的 $ 2 $ 倍与 $ b $ 的和
C
)A.$ (a + b)^{2} $ 表示 $ a $ 与 $ b $ 的和的平方
B.$ 8m $ 可表示 $ m $ 支单价为 $ 8 $ 元的钢笔的总价
C.$ \frac{3a}{2} + 4 $ 表示 $ a $ 的 $ 3 $ 倍与 $ 4 $ 的和的一半
D.$ 2a + b $ 表示 $ a $ 的 $ 2 $ 倍与 $ b $ 的和
答案
C
解析
A. 表达式 $(a + b)^2$ 确实表示 $a$ 与 $b$ 的和的平方，正确。
B. $8m$ 可以表示 $m$ 支单价为 $8$ 元的钢笔的总价，正确。
C. 表达式 $\frac{3a}{2} + 4$ 表示 $a$ 的 $3$ 倍的一半与 $4$ 的和，而不是 $a$ 的 $3$ 倍与 $4$ 的和的一半，错误。
D. $2a + b$ 表示 $a$ 的 $2$ 倍与 $b$ 的和，正确。
例3 已知 $ x^{2} - x - 1 = 0 $,则 $ x^{2} - x + 20 = $
21
.答案
21
解析
由$x^{2}-x-1=0$得$x^{2}-x=1$，代入$x^{2}-x+20$得$1+20=21$
巩固提升 若代数式 $ 3x - y $ 的值等于 $ 1 $,则代数式 $ 5 + 6x - 2y $ 的值是
7
.答案
7
解析
因为$3x - y = 1$，所以$6x - 2y = 2(3x - y) = 2×1 = 2$，则$5 + 6x - 2y = 5 + 2 = 7$。
1. 下列各式中,符合代数式书写规则的是(
A.$ 1\frac{1}{2}p $
B.$ 2y + x $
C.$ 2y ÷ x $
D.$ a × \frac{2}{3} $
B
)A.$ 1\frac{1}{2}p $
B.$ 2y + x $
C.$ 2y ÷ x $
D.$ a × \frac{2}{3} $
答案
B
解析
代数式的书写规则要求数与字母相乘时，数应写在字母前面，且除法应写成分数形式，乘号通常省略或用点表示。
A选项$1\frac{1}{2}p$应写成$\frac{3}{2}p$；
C选项$2y ÷ x$应写成$\frac{2y}{x}$；
D选项$a × \frac{2}{3}$应写成$\frac{2}{3}a$；
B选项$2y + x$符合书写规则。
A选项$1\frac{1}{2}p$应写成$\frac{3}{2}p$；
C选项$2y ÷ x$应写成$\frac{2y}{x}$；
D选项$a × \frac{2}{3}$应写成$\frac{2}{3}a$；
B选项$2y + x$符合书写规则。
2. 下列说法中正确的个数是(
①正有理数和负有理数统称为有理数；②把 $ 3.14164 $ 精确到百分位,取得的近似数是 $ 3.14 $；③若三角形的面积一定,则它的底边长与底边上的高成反比例；④代数式 $ \frac{1}{a + b} $ 的意义是 $ a $ 与 $ b $ 的倒数的和.
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
B
)①正有理数和负有理数统称为有理数；②把 $ 3.14164 $ 精确到百分位,取得的近似数是 $ 3.14 $；③若三角形的面积一定,则它的底边长与底边上的高成反比例；④代数式 $ \frac{1}{a + b} $ 的意义是 $ a $ 与 $ b $ 的倒数的和.
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
答案
B
解析
①有理数包括正有理数、0和负有理数，原说法错误；②3.14164精确到百分位，看千分位为1，四舍五入得3.14，正确；③三角形面积=1/2×底×高，面积一定时，底×高=2×面积（定值），底与高成反比例，正确；④代数式1/(a+b)的意义是a与b的和的倒数，原说法错误。正确的有②③，共2个。
3. 下列图形都是由●按照一定规律组成的,其中第 $ 1 $ 个图中共有 $ 3 $ 个●,第 $ 2 $ 个图中共有 $ 7 $ 个●,第 $ 3 $ 个图中共有 $ 13 $ 个●,第 $ 4 $ 个图中共有 $ 21 $ 个●,……照此规律排列下去,则第 $ 7 $ 个图形中●的个数为(
A.$ 43 $
B.$ 47 $
C.$ 57 $
D.$ 61 $
C
)A.$ 43 $
B.$ 47 $
C.$ 57 $
D.$ 61 $
答案
C
解析
观察图形规律，第1个图有3个●，第2个图有7个●，第3个图有13个●，第4个图有21个●。
计算相邻图形●的个数差：7-3=4，13-7=6，21-13=8，差依次为4，6，8，即2×2，2×3，2×4，可推测第n个图与第(n-1)个图的差为2n。
归纳第n个图●的个数公式：$a_n = n(n+1) + 1$。
验证：当n=1时，$1×2+1=3$；n=2时，$2×3+1=7$；n=3时，$3×4+1=13$；n=4时，$4×5+1=21$，均符合。
第7个图：$a_7=7×8+1=57$。
计算相邻图形●的个数差：7-3=4，13-7=6，21-13=8，差依次为4，6，8，即2×2，2×3，2×4，可推测第n个图与第(n-1)个图的差为2n。
归纳第n个图●的个数公式：$a_n = n(n+1) + 1$。
验证：当n=1时，$1×2+1=3$；n=2时，$2×3+1=7$；n=3时，$3×4+1=13$；n=4时，$4×5+1=21$，均符合。
第7个图：$a_7=7×8+1=57$。
4. 当 $ a = 2,b = - 1,c = - 3 $ 时,求下列代数式的值：
(1) $ b^{2} - 4ac $； (2) $ a^{2} - 2ab + b^{2} $.
(1) $ b^{2} - 4ac $； (2) $ a^{2} - 2ab + b^{2} $.
答案
(1) 当 $a = 2$, $b = -1$, $c = -3$ 时，
$b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 2 × (-3) = 1 + 24 = 25$.
(2) 当 $a = 2$, $b = -1$ 时，
$a^{2} - 2ab + b^{2} = 2^{2} - 2 × 2 × (-1) + (-1)^{2} = 4 + 4 + 1 = 9$.
$b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 2 × (-3) = 1 + 24 = 25$.
(2) 当 $a = 2$, $b = -1$ 时，
$a^{2} - 2ab + b^{2} = 2^{2} - 2 × 2 × (-1) + (-1)^{2} = 4 + 4 + 1 = 9$.
5. 根据如图的程序,如果输入 $ x = - 3 $,则输出的结果为
10
.答案
$10$
解析
输入$x = -3$，由于$x$为负数，
根据程序，应计算$y = x^2 + 1$。
将$x = -3$代入，
得$y = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$。
所以，输出的结果为$10$。
根据程序，应计算$y = x^2 + 1$。
将$x = -3$代入，
得$y = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$。
所以，输出的结果为$10$。
6. 按照下面的方式堆放小球,第 $ 1 $ 堆有 $ 1 $ 个小球,第 $ 2 $ 堆有 $ 3 $ 个小球,……则第 $ 5 $ 堆有
15
个小球,第 $ n $ 堆有$\frac{n(n+1)}{2}$
个小球.答案
15；$\frac{n(n+1)}{2}$
解析
观察图形，第1堆有1个小球；第2堆有1+2=3个小球；第3堆有1+2+3=6个小球；第4堆有1+2+3+4=10个小球；则第5堆有1+2+3+4+5=15个小球。第n堆小球数为1+2+...+n，根据等差数列求和公式可得$\frac{n(n+1)}{2}$。
