1. 一个正多边形绕它的中心旋转45°后,就与原正多边形第一次重合,那么这个正多边形()
A.是轴对称图形,但不是中心对称图形
B.是中心对称图形,但不是轴对称图形
C.既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形

C

正多边形绕中心旋转$45^\circ$后第一次重合，其最小旋转角为$45^\circ$。
正多边形边数$n = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8$，为正八边形。
正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
C

2. 半径相同的正三角形、正方形、正六边形的边长之比为()
A.$\sqrt{3}:\sqrt{2}:1$
B.3:2:1
C.3:4:6
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{\sqrt{2}}{2}:1$

A

设正三角形、正方形、正六边形的半径均为$ R $。
对于正三角形：中心角$ \alpha_1 = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ $，边长$ a_1 = 2R\sin\frac{\alpha_1}{2} = 2R\sin60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}R $。
对于正方形：中心角$ \alpha_2 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ $，边长$ a_2 = 2R\sin\frac{\alpha_2}{2} = 2R\sin45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}R $。
对于正六边形：中心角$ \alpha_3 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ $，边长$ a_3 = 2R\sin\frac{\alpha_3}{2} = 2R\sin30^\circ = 2R \cdot \frac{1}{2} = R $。
边长之比$ a_1:a_2:a_3 = \sqrt{3}R:\sqrt{2}R:R = \sqrt{3}:\sqrt{2}:1 $。
A

3. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作一个三角形,则该三角形是()
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形

D

设圆的半径为$R = 2$。
内接正三角形的边心距：$r_3 = R\cos60^\circ = 2×\frac{1}{2} = 1$。
内接正方形的边心距：$r_4 = R\cos45^\circ = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
内接正六边形的边心距：$r_6 = R\cos30^\circ = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
验证三边关系：$1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3 = (\sqrt{3})^2$，满足勾股定理。
该三角形是直角三角形。
D

4. 正六边形的中心角是°.

60

正多边形的中心角公式为$\frac{360^{\circ}}{n}$（$n$为边数），正六边形$n=6$，则中心角为$\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$。

5. 如图,正六边形与正方形有重合的中心O,若∠BOC是正n边形的一个中心角,则n的值为______.

12

正六边形的中心角为$\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$，正方形的中心角为$\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$。由图可知$\angle BOC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$。正$n$边形的中心角为$\frac{360^\circ}{n}$，则$\frac{360^\circ}{n} = 30^\circ$，解得$n = 12$。
12

6. 如图,M,N分别是⊙O的内接正五边形ABCDE的边AB,BC上的点,且BM= CN,连接OM,ON,则∠MON的大小是.

72°

连接OA、OB、OC。
因为ABCDE是⊙O的内接正五边形，所以OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=360°/5=72°，∠OBA=∠OCB。
在△OBM和△OCN中，OB=OC，∠OBM=∠OCN，BM=CN，所以△OBM≌△OCN(SAS)。
所以∠BOM=∠CON。
所以∠MON=∠BOM+∠BON=∠CON+∠BON=∠BOC=72°。
72°

7. 若一个正多边形的一个外角为60°,则它的内切圆半径与外接圆半径之比是.

√3:2

正多边形的边数为：$\frac{360^\circ}{60^\circ}=6$，该正多边形为正六边形。
设正六边形外接圆半径为$R$，则正六边形边长等于外接圆半径$R$。
正六边形内切圆半径$r$为边长为$R$的正三角形的高，即$r = \frac{\sqrt{3}}{2}R$。
内切圆半径与外接圆半径之比为：$r:R = \frac{\sqrt{3}}{2}R:R = \sqrt{3}:2$
$\sqrt{3}:2$

8. 许多图案设计都和圆有关.观察下图,请利用等分圆的方法再设计一幅图案.

本题可先将圆进行等分，再根据等分点设计图案。
步骤一：将圆进行六等分
以圆的圆心为顶点，利用量角器，把$360^{\circ}$的圆心角平均分成$6$份，每份的圆心角为$360^{\circ}÷6 = 60^{\circ}$，得到圆的六个等分点。
步骤二：连接等分点并设计图案
依次连接这六个等分点，得到一个正六边形。然后分别以正六边形的六条边为直径，在圆内画半圆（半圆在圆内的部分），这样就设计出了一幅新的图案（图案设计不唯一）。

综上，先将圆六等分，再连接等分点得到正六边形，最后以正六边形的边为直径在圆内画半圆，完成图案设计（答案不唯一）。