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例1 如图14.3-1,已知∠AOB,求作∠AOB的平分线。
答案
解：作法：
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
3. 画射线OC。
射线OC即为所求作的∠AOB的平分线。
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
3. 画射线OC。
射线OC即为所求作的∠AOB的平分线。
例2 如图14.3-2,∠C= 90°,∠1= ∠2,若BC= 8 cm,BD= 5 cm,求点D到AB的距离。
答案
3cm
解析
过点D作DE⊥AB于点E。
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC。
∵∠1=∠2，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC。
∵BC=8cm，BD=5cm，
∴DC=BC-BD=8-5=3cm。
∴DE=DC=3cm，即点D到AB的距离为3cm。
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC。
∵∠1=∠2，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC。
∵BC=8cm，BD=5cm，
∴DC=BC-BD=8-5=3cm。
∴DE=DC=3cm，即点D到AB的距离为3cm。
例3 如图14.3-3,在△ABC中,∠C= 90°,AC= BC,AD平分∠CAB,并交BC于点D,DE⊥AB于点E,若AB= 6 cm,求△DEB的周长。
答案
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\begin{cases} AD=AD \\ CD=ED \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE。
∵AC=BC，
∴BC=AE。
△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB。
∵AB=6cm，
∴△DEB的周长=6cm。
答：△DEB的周长为6cm。
1. 如图14.3-4,OP是∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是(
A.PC= PD
B.∠CPO= ∠DOP
C.∠CPO= ∠DPO
D.OC= OD
B
)A.PC= PD
B.∠CPO= ∠DOP
C.∠CPO= ∠DPO
D.OC= OD
答案
B
解析
∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），故A正确；在Rt△OCP和Rt△ODP中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确；∠DOP是∠AOB的一半，∠CPO与∠DOP不一定相等，故B错误。
