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4. 如图,一棵大树在离地面5 m处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵大树在折断前的高度为(
A.10 m
B.15 m
C.25 m
D.30 m
B
)A.10 m
B.15 m
C.25 m
D.30 m
答案
B
解析
设大树折断点为A，根部为B，顶端为C。则AB=5m，∠ACB=30°，∠ABC=90°。在Rt△ABC中，∠ACB=30°，所以AC=2AB=10m。大树折断前高度为AB+AC=5+10=15m。
5. 如图,已知∠AOB = 60°,点P在边OA上,OP = 12,点M,N在边OB上,PM = PN。若MN = 2,则OM = (
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
过点P作PC⊥OB于点C，∵PM=PN，∴△PMN为等腰三角形，由三线合一得MC=CN=MN/2=1。设OM=x，则OC=OM+MC=x+1。在Rt△POC中，∠AOB=60°，∴∠OPC=30°，∴OC=OP/2=12/2=6，即x+1=6，解得x=5，故OM=5。
6. 如图,∠AOE = ∠BOE = 15°,EF//OB,EC⊥OB,若EC = 1,则EF的值为(
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2
答案
D
解析
过点$E$作$EG\perp OA$，垂足为$G$。
由于$\angle AOE=\angle BOE = 15^{\circ}$，$EC\perp OB$，$EG\perp OA$，根据角平分线的性质可知$EG = EC = 1$。
因为$EF// OB$，所以$\angle GEF=\angle BOE = 15^{\circ}$，则$\angle AEF=\angle AOE+\angle GEF=15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle GEF$中，$\sin\angle AEF=\frac{EG}{EF}$，已知$\angle AEF = 30^{\circ}$，$EG = 1$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{EF}=\frac{1}{2}$，所以$EF = 2$。
由于$\angle AOE=\angle BOE = 15^{\circ}$，$EC\perp OB$，$EG\perp OA$，根据角平分线的性质可知$EG = EC = 1$。
因为$EF// OB$，所以$\angle GEF=\angle BOE = 15^{\circ}$，则$\angle AEF=\angle AOE+\angle GEF=15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle GEF$中，$\sin\angle AEF=\frac{EG}{EF}$，已知$\angle AEF = 30^{\circ}$，$EG = 1$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{EF}=\frac{1}{2}$，所以$EF = 2$。
7. 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠B = 60°,首先以顶点B为圆心,适当长为半径作弧,分别交BA,BC于点D,E；然后分别以点D,E为圆心,大于$\frac{1}{2}$DE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G。若BG = 8,P为边AB上一动点,则GP的最小值为(
A.2
B.4
C.8
D.无法确定
B
)A.2
B.4
C.8
D.无法确定
答案
B
解析
由尺规作图知BF是∠CBA的角平分线，∠CBA=60°，则∠CBG=∠ABG=30°。在Rt△BCG中，∠C=90°，∠CBG=30°，BG=8，根据30°角所对直角边等于斜边一半，得G到BC的距离GC=4。由角平分线性质，G到BA的距离等于G到BC的距离，即4。P为AB上动点，GP最小值为G到AB的垂线段长，即4。
8. 如图,已知∠MON = 30°,点$A_1,A_2,A_3,…$在射线ON上,点$B_1,B_2,B_3,…$在射线OM上$,△A_1B_1B_2,△A_2B_2B_3,△A_3B_3B_4,…$均为等边三角形。若$OB_1 = 1,$则$△A_2₀_2_4B_2₀_2_4B_2₀_2_5$的边长为(
$A. 2^2⁰^2^2$
$B. 2^2⁰^2^3$
$C. 2^2⁰^2^4$
$D. 2^2⁰^2^5$
B
)$A. 2^2⁰^2^2$
$B. 2^2⁰^2^3$
$C. 2^2⁰^2^4$
$D. 2^2⁰^2^5$
答案
B
解析
设△AnBnBn+1的边长为an。
∵∠MON=30°，△A1B1B2为等边三角形，
∴∠A1B1B2=60°，则∠A1B1O=180°-60°=120°。
在△OA1B1中，∠A1OB1=30°，∠A1B1O=120°，
∴∠OA1B1=180°-30°-120°=30°，故△OA1B1为等腰三角形，A1B1=OB1=1，即a1=1=2⁰。
同理，△A2B2B3为等边三角形，∠A2B2O=120°，∠A2OB2=30°，
∴∠OA2B2=30°，△OA2B2为等腰三角形，A2B2=OB2=OB1+B1B2=1+1=2，即a2=2=2¹。
依此类推，an=2ⁿ⁻¹。
则△A2024B2024B2025的边长a2024=2²⁰²⁴⁻¹=2²⁰²³。
∵∠MON=30°，△A1B1B2为等边三角形，
∴∠A1B1B2=60°，则∠A1B1O=180°-60°=120°。
在△OA1B1中，∠A1OB1=30°，∠A1B1O=120°，
∴∠OA1B1=180°-30°-120°=30°，故△OA1B1为等腰三角形，A1B1=OB1=1，即a1=1=2⁰。
同理，△A2B2B3为等边三角形，∠A2B2O=120°，∠A2OB2=30°，
∴∠OA2B2=30°，△OA2B2为等腰三角形，A2B2=OB2=OB1+B1B2=1+1=2，即a2=2=2¹。
依此类推，an=2ⁿ⁻¹。
则△A2024B2024B2025的边长a2024=2²⁰²⁴⁻¹=2²⁰²³。
9. 如图,等边△ABC的边长为8,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F。若AD = 2,求AF的长。
答案
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=8，∠B=∠C=60°。
∵AD=2，∴DB=AB-AD=8-2=6。
∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，在Rt△DEB中，∠BDE=90°-∠B=30°，
∴BE=½DB=½×6=3（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
∴EC=BC-BE=8-3=5。
∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°，在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠C=30°，
∴FC=½EC=½×5=2.5。
∴AF=AC-FC=8-2.5=5.5=11/2。
答：AF的长为11/2。
∵AD=2，∴DB=AB-AD=8-2=6。
∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，在Rt△DEB中，∠BDE=90°-∠B=30°，
∴BE=½DB=½×6=3（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
∴EC=BC-BE=8-3=5。
∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°，在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠C=30°，
∴FC=½EC=½×5=2.5。
∴AF=AC-FC=8-2.5=5.5=11/2。
答：AF的长为11/2。
10. 如图,△ABC为等边三角形,AE = CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q。
(1)求证：∠BPQ = 60°；
(2)若PQ = 3,PE = 1,求AD的长。
(1)求证：∠BPQ = 60°；
(2)若PQ = 3,PE = 1,求AD的长。
答案
(1)证明见上；(2)AD=7．
解析
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°．
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠BAE=∠C\\ AE=CD\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD(SAS)．
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
∵∠BPQ=∠APE(对顶角相等)，
∴∠BPQ=60°．
(2)解：
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°．
在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°．
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP(直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半)．
∵PQ=3，
∴BP=2PQ=6．
∵PE=1，
∴BE=BP+PE=6+1=7．
由(1)知△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=7．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°．
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠BAE=∠C\\ AE=CD\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD(SAS)．
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
∵∠BPQ=∠APE(对顶角相等)，
∴∠BPQ=60°．
(2)解：
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°．
在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°．
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP(直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半)．
∵PQ=3，
∴BP=2PQ=6．
∵PE=1，
∴BE=BP+PE=6+1=7．
由(1)知△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=7．
