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9. 如图,在等边三角形 $ ABC $ 中,$ D $ 为 $ AB $ 的中点,$ DE \perp AC $ 于点 $ E $,$ EF \perp BC $ 于点 $ F $. 若 $ AB = 8 $,则线段 $ BF $ 的长为
5
。答案
5
解析
∵△ABC是等边三角形，AB=8，
∴AC=BC=AB=8，∠A=∠C=60°．
∵D为AB中点，∴AD=AB/2=4．
∵DE⊥AC，∴△ADE是直角三角形，∠AED=90°．
在Rt△ADE中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，
∴AE=AD/2=4/2=2（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）．
∴EC=AC - AE=8 - 2=6．
∵EF⊥BC，∴△EFC是直角三角形，∠EFC=90°．
在Rt△EFC中，∠C=60°，∴∠FEC=30°，
∴FC=EC/2=6/2=3（同理）．
∴BF=BC - FC=8 - 3=5．
10. 如图,在三角形纸片 $ ABC $ 中,$ AB = 8\ cm $,$ BC = 5\ cm $,$ AC = 6\ cm $,沿过点 $ B $ 的直线折叠这张三角形纸片,使点 $ C $ 落在 $ AB $ 边上的点 $ E $ 处,折痕为 $ BD $,则 $ \triangle AED $ 的周长为
9
$cm$。答案
9
解析
由折叠性质得，BE=BC=5cm，DE=DC；
∵AB=8cm，∴AE=AB-BE=8-5=3cm；
△AED的周长=AE+AD+DE=AE+AD+DC=AE+AC=3+6=9cm。
∵AB=8cm，∴AE=AB-BE=8-5=3cm；
△AED的周长=AE+AD+DE=AE+AD+DC=AE+AC=3+6=9cm。
11. 如图,点 $ A $ 的坐标为 $ (8,0) $,$ B $ 为 $ y $ 轴负半轴上一动点,分别以 $ OB $,$ AB $ 为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形 $ OBF $、等腰直角三角形 $ ABE $,连接 $ EF $ 交 $ y $ 轴于点 $ P $,则 $ PB $ 的长为
4
。答案
4
解析
设点$ B(0,-b) $（$ b＞0 $）。
求点$ F $坐标：等腰直角$ \triangle OBF $在第三象限，直角顶点为$ B $，$ OB=BF $且$ OB\perp BF $。$ OB=b $，$ BF $水平向左，故$ F(-b,-b) $。
求点$ E $坐标：等腰直角$ \triangle ABE $在第四象限，直角顶点为$ B $，$ BA=BE $且$ BA\perp BE $。$ BA=(8,b) $，顺时针旋转90°得$ BE=(b,-8) $，故$ E(b,-b-8) $。
求直线$ EF $方程：$ E(b,-b-8) $，$ F(-b,-b) $，斜率$ k=\frac{-b-(-b-8)}{-b-b}=\frac{8}{-2b}=-\frac{4}{b} $。
直线方程：$ y+b=-\frac{4}{b}(x+b) $，化简得$ y=-\frac{4}{b}x - b - 4 $。
求$ P $点坐标：令$ x=0 $，得$ y=-b-4 $，故$ P(0,-b-4) $。
计算$ PB $：$ B(0,-b) $，$ P(0,-b-4) $，$ PB=|-b - (-b - 4)|=4 $。
求点$ F $坐标：等腰直角$ \triangle OBF $在第三象限，直角顶点为$ B $，$ OB=BF $且$ OB\perp BF $。$ OB=b $，$ BF $水平向左，故$ F(-b,-b) $。
求点$ E $坐标：等腰直角$ \triangle ABE $在第四象限，直角顶点为$ B $，$ BA=BE $且$ BA\perp BE $。$ BA=(8,b) $，顺时针旋转90°得$ BE=(b,-8) $，故$ E(b,-b-8) $。
求直线$ EF $方程：$ E(b,-b-8) $，$ F(-b,-b) $，斜率$ k=\frac{-b-(-b-8)}{-b-b}=\frac{8}{-2b}=-\frac{4}{b} $。
直线方程：$ y+b=-\frac{4}{b}(x+b) $，化简得$ y=-\frac{4}{b}x - b - 4 $。
求$ P $点坐标：令$ x=0 $，得$ y=-b-4 $，故$ P(0,-b-4) $。
计算$ PB $：$ B(0,-b) $，$ P(0,-b-4) $，$ PB=|-b - (-b - 4)|=4 $。
12. 如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $ 是 $ BC $ 的中点,点 $ E $ 在 $ AD $ 上.
(1) 求证：$ BE = CE $；
(2) 如图 2,若 $ BE $ 的延长线交 $ AC $ 于点 $ F $,且 $ BF \perp AC $,垂足为 $ F $,$ \angle BAC = 45^{\circ} $,原题设的其他条件不变. 求证：$ \triangle AEF \cong \triangle BCF $.
(1) 求证：$ BE = CE $；
(2) 如图 2,若 $ BE $ 的延长线交 $ AC $ 于点 $ F $,且 $ BF \perp AC $,垂足为 $ F $,$ \angle BAC = 45^{\circ} $,原题设的其他条件不变. 求证：$ \triangle AEF \cong \triangle BCF $.
答案
(1)证明：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵D是BC中点，∴AD是△ABC的中线．
由等腰三角形三线合一，得AD垂直平分BC．
∵点E在AD上，∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）．
(2)证明：∵BF⊥AC，∴∠AFB=∠BFC=90°．
∵∠BAC=45°，∴在Rt△ABF中，∠ABF=90°-∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠ABF，∴AF=BF（等角对等边）．
∵AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形三线合一，得AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°．
∵BF⊥AC，∴∠C+∠CBF=90°，
∴∠CAD=∠CBF（同角的余角相等），即∠EAF=∠CBF．
在△AEF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠BFC\\ AF=BF\\ ∠EAF=∠CBF\end{array}\right. $
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
∵D是BC中点，∴AD是△ABC的中线．
由等腰三角形三线合一，得AD垂直平分BC．
∵点E在AD上，∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）．
(2)证明：∵BF⊥AC，∴∠AFB=∠BFC=90°．
∵∠BAC=45°，∴在Rt△ABF中，∠ABF=90°-∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠ABF，∴AF=BF（等角对等边）．
∵AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形三线合一，得AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°．
∵BF⊥AC，∴∠C+∠CBF=90°，
∴∠CAD=∠CBF（同角的余角相等），即∠EAF=∠CBF．
在△AEF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠BFC\\ AF=BF\\ ∠EAF=∠CBF\end{array}\right. $
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
13. 如图,在等边 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 为 $ AC $ 上一点,$ CD = CE $,$ \angle ACE = 60^{\circ} $.
(1) 求证：$ \triangle BCD \cong \triangle ACE $；
(2) 延长 $ BD $ 交 $ AE $ 于点 $ F $,连接 $ CF $,若 $ AF = CF $,猜想线段 $ BF $,$ AF $ 的数量关系,并证明你的猜想.
(1) 求证：$ \triangle BCD \cong \triangle ACE $；
(2) 延长 $ BD $ 交 $ AE $ 于点 $ F $,连接 $ CF $,若 $ AF = CF $,猜想线段 $ BF $,$ AF $ 的数量关系,并证明你的猜想.
答案
(1) 见证明；(2) BF=2AF
解析
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，∠ACE=60°，
∴在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} BC=AC \\ ∠ACB=∠ACE=60° \\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE(SAS)．
(2) 猜想：BF=2AF．
证明：
∵△BCD≌△ACE，∴∠CBD=∠CAE，设∠CBD=∠CAE=x．
∵AF=CF，∴∠CAE=∠FCA=x，∴∠AFC=180°-2x．
∵∠ACB=60°，∴∠BCF=∠ACB-∠FCA=60°-x．
在△BFC中，∠BFC=180°-∠CBD-∠BCF=180°-x-(60°-x)=120°．
∵∠AFB+∠BFC+∠AFC=360°(周角定义)，
∴∠AFB=360°-∠BFC-∠AFC=360°-120°-(180°-2x)=60°+2x．
在△ABF中，∠BAF=∠BAC-∠CAE=60°-x，
∠ABF=∠ABC-∠CBD=60°-x，
∴∠AFB=180°-(∠BAF+∠ABF)=180°-(60°-x+60°-x)=60°+2x(与上式一致)．
过A作AH⊥BF于H，∵∠AFB=120°(由∠AFB=60°+2x，且∠AFC=180°-2x=120°得x=30°，故∠AFB=120°)，
∴∠AFH=60°，在Rt△AFH中，FH=AF·cos60°=$\frac{1}{2}$AF，AH=AF·sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF．
∵∠ABF=60°-x=30°，在Rt△AHB中，BH=AH·cot30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF·$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$AF，
∴BF=BH+HF=$\frac{3}{2}$AF+$\frac{1}{2}$AF=2AF．
∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，∠ACE=60°，
∴在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} BC=AC \\ ∠ACB=∠ACE=60° \\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE(SAS)．
(2) 猜想：BF=2AF．
证明：
∵△BCD≌△ACE，∴∠CBD=∠CAE，设∠CBD=∠CAE=x．
∵AF=CF，∴∠CAE=∠FCA=x，∴∠AFC=180°-2x．
∵∠ACB=60°，∴∠BCF=∠ACB-∠FCA=60°-x．
在△BFC中，∠BFC=180°-∠CBD-∠BCF=180°-x-(60°-x)=120°．
∵∠AFB+∠BFC+∠AFC=360°(周角定义)，
∴∠AFB=360°-∠BFC-∠AFC=360°-120°-(180°-2x)=60°+2x．
在△ABF中，∠BAF=∠BAC-∠CAE=60°-x，
∠ABF=∠ABC-∠CBD=60°-x，
∴∠AFB=180°-(∠BAF+∠ABF)=180°-(60°-x+60°-x)=60°+2x(与上式一致)．
过A作AH⊥BF于H，∵∠AFB=120°(由∠AFB=60°+2x，且∠AFC=180°-2x=120°得x=30°，故∠AFB=120°)，
∴∠AFH=60°，在Rt△AFH中，FH=AF·cos60°=$\frac{1}{2}$AF，AH=AF·sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF．
∵∠ABF=60°-x=30°，在Rt△AHB中，BH=AH·cot30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF·$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$AF，
∴BF=BH+HF=$\frac{3}{2}$AF+$\frac{1}{2}$AF=2AF．
