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【例3】计算：
(1)$(-3x^{3})^{2}-x^{2}\cdot x^{4}-(x^{2})^{3}$；
(2)$a^{3}\cdot a\cdot a^{4}+(-2a^{4})^{2}+(a^{2})^{4}$。
(1)$(-3x^{3})^{2}-x^{2}\cdot x^{4}-(x^{2})^{3}$；
(2)$a^{3}\cdot a\cdot a^{4}+(-2a^{4})^{2}+(a^{2})^{4}$。
答案
(1)
$(-3x^{3})^{2}-x^{2}\cdot x^{4}-(x^{2})^{3}$
$ = 9x^{6}-x^{6}-x^{6}$
$ = 7x^{6}$
(2)
$a^{3}\cdot a\cdot a^{4}+(-2a^{4})^{2}+(a^{2})^{4}$
$ = a^{8}+4a^{8}+a^{8}$
$ = 6a^{8}$
$(-3x^{3})^{2}-x^{2}\cdot x^{4}-(x^{2})^{3}$
$ = 9x^{6}-x^{6}-x^{6}$
$ = 7x^{6}$
(2)
$a^{3}\cdot a\cdot a^{4}+(-2a^{4})^{2}+(a^{2})^{4}$
$ = a^{8}+4a^{8}+a^{8}$
$ = 6a^{8}$
5. 计算$(-\frac{1}{2}x^{2}y)^{3}$等于(
A.$-\frac{1}{6}x^{6}y^{3}$
B.$-\frac{1}{8}x^{2}y^{3}$
C.$-\frac{1}{8}x^{6}y^{3}$
D.$-\frac{3}{2}x^{5}y^{4}$
C
)A.$-\frac{1}{6}x^{6}y^{3}$
B.$-\frac{1}{8}x^{2}y^{3}$
C.$-\frac{1}{8}x^{6}y^{3}$
D.$-\frac{3}{2}x^{5}y^{4}$
答案
C
解析
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n b^n$，以及$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$，对$(-\frac{1}{2}x^{2}y)^{3}$进行计算：
1. 系数部分：$\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$
2. $x$的幂次部分：$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$
3. $y$的幂次部分：$y^3$
合并结果：$-\frac{1}{8}x^6y^3$
6. 计算：$a^{2}\cdot (-a)^{4}-(3a^{3})^{2}+(-2a^{2})^{3}$。
答案
首先，我们根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算：
$a^{2} \cdot ( - a)^{4}$
由于$(-a)^{4} = a^{4}$（因为负数的偶数次方为正），
所以 $a^{2} \cdot ( - a)^{4} = a^{2} \cdot a^{4} = a^{6}$。
$(3a^{3})^{2}$
根据积的乘方法则，$(3a^{3})^{2} = 9a^{6}$。
$( - 2a^{2})^{3}$
根据积的乘方法则，$( - 2a^{2})^{3} = -8a^{6}$。
将上述三部分的结果代入原式，得到：
$a^{6} - 9a^{6} - 8a^{6} = -16a^{6}$
故答案为：$- 16a^{6}$。
$a^{2} \cdot ( - a)^{4}$
由于$(-a)^{4} = a^{4}$（因为负数的偶数次方为正），
所以 $a^{2} \cdot ( - a)^{4} = a^{2} \cdot a^{4} = a^{6}$。
$(3a^{3})^{2}$
根据积的乘方法则，$(3a^{3})^{2} = 9a^{6}$。
$( - 2a^{2})^{3}$
根据积的乘方法则，$( - 2a^{2})^{3} = -8a^{6}$。
将上述三部分的结果代入原式，得到：
$a^{6} - 9a^{6} - 8a^{6} = -16a^{6}$
故答案为：$- 16a^{6}$。
【例4】计算：
(1)$(-2)^{107}×(-\frac{1}{2})^{108}$；
(2)$0.04^{216}×[(-5)^{216}]^{2}$。
(1)$(-2)^{107}×(-\frac{1}{2})^{108}$；
(2)$0.04^{216}×[(-5)^{216}]^{2}$。
答案
(1) 原式$=(-2)^{107} × \left(-\frac{1}{2}\right)^{107} × \left(-\frac{1}{2}\right)$
$=\left[(-2) × \left(-\frac{1}{2}\right)\right]^{107} × \left(-\frac{1}{2}\right)$
$=1^{107} × \left(-\frac{1}{2}\right)$
$=-\frac{1}{2}$
(2) 原式$=0.04^{216} × (-5)^{432}$
$=0.04^{216} × 5^{432}$
$=0.04^{216} × (5^2)^{216}$
$=(0.04 × 25)^{216}$
$=1^{216}$
$=1$
$=\left[(-2) × \left(-\frac{1}{2}\right)\right]^{107} × \left(-\frac{1}{2}\right)$
$=1^{107} × \left(-\frac{1}{2}\right)$
$=-\frac{1}{2}$
(2) 原式$=0.04^{216} × (-5)^{432}$
$=0.04^{216} × 5^{432}$
$=0.04^{216} × (5^2)^{216}$
$=(0.04 × 25)^{216}$
$=1^{216}$
$=1$
法则的逆用：$a^{n}b^{n}= (ab)^{n}$($n$是正整数)。
逆用的条件：当几个幂的指数很大,而底数之积为$1或-1$时,通常逆用积的乘方法则,即$a^{n}b^{n}= (ab)^{n}$($n$为正整数),先将底数相乘,再进行运算。
逆用的条件：当几个幂的指数很大,而底数之积为$1或-1$时,通常逆用积的乘方法则,即$a^{n}b^{n}= (ab)^{n}$($n$为正整数),先将底数相乘,再进行运算。
答案
答题例（假设题目为计算$2^{n} × 5^{n}$ ）：
$原式 = (2 × 5)^{n} = 10^{n}$。
$原式 = (2 × 5)^{n} = 10^{n}$。
7. 计算$(\frac{7}{2})^{2023}×(-\frac{2}{7})^{2024}$的结果是(
A.$\frac{2}{7}$
B.$-\frac{7}{2}$
C.$1$
D.$-1$
A
)A.$\frac{2}{7}$
B.$-\frac{7}{2}$
C.$1$
D.$-1$
答案
A
解析
根据题意有$(\frac{7}{2})^{2023} × (-\frac{2}{7})^{2024}$，
可以整理为$(\frac{7}{2})^{2023} × [(-1) × \frac{2}{7}]^{2024}$，
即$(\frac{7}{2})^{2023} × [(-1)^{2024} × (\frac{2}{7})^{2024}]$，
因为$(-1)^{2024} = 1$，
所以原式为$(\frac{7}{2})^{2023} × (\frac{2}{7})^{2024}$，
进一步整理为$(\frac{7}{2} × \frac{2}{7})^{2023} × \frac{2}{7}$，
即$(1)^{2023} × \frac{2}{7}$，
最终结果为$\frac{2}{7}$。
8. 如果$a^{2}b= -2$,那么$a^{6}b^{3}$的值为(
A.$8$
B.$-8$
C.$6$
D.$-6$
B
)A.$8$
B.$-8$
C.$6$
D.$-6$
答案
B
解析
已知 $a^{2}b = -2$，需要求 $a^{6}b^{3}$ 的值。
观察 $a^{6}b^{3}$ 可以写成 $(a^{2}b)^{3}$，因为：
$(a^{2}b)^{3} = (a^{2})^{3} \cdot b^{3} = a^{6}b^{3}$。
将 $a^{2}b = -2$ 代入，得：
$a^{6}b^{3} = (a^{2}b)^{3} = (-2)^{3} = -8$。
9. 已知$x^{n}= 3$,$y^{n}= 2$,求$(xy^{2})^{2n}$的值。
答案
144
解析
$(xy^{2})^{2n}$
$=x^{2n}(y^{2})^{2n}$（积的乘方法则：$(ab)^m=a^m b^m$）
$=x^{2n}y^{4n}$（幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$）
$=(x^{n})^{2}(y^{n})^{4}$（幂的乘方法则逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$）
$=3^{2}×2^{4}$（代入$x^{n}=3$，$y^{n}=2$）
$=9×16$
$=144$
$=x^{2n}(y^{2})^{2n}$（积的乘方法则：$(ab)^m=a^m b^m$）
$=x^{2n}y^{4n}$（幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$）
$=(x^{n})^{2}(y^{n})^{4}$（幂的乘方法则逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$）
$=3^{2}×2^{4}$（代入$x^{n}=3$，$y^{n}=2$）
$=9×16$
$=144$
