8. 如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是 $ BC $ 边上的高,$ E $ 是 $ AB $ 边上一点,$ CE $ 交 $ AD $ 于点 $ M $,且 $ \angle DCM = \angle MAE $,求证：$ \triangle AEM $ 是直角三角形.

证明：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°（垂直的定义）。
在Rt△DCM中，∠DCM+∠DMC=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠DMC与∠AME是对顶角，
∴∠DMC=∠AME（对顶角相等）。
又∵∠DCM=∠MAE（已知），
∴∠MAE+∠AME=90°（等量代换）。
在△AEM中，∠AEM=180°-（∠MAE+∠AME）=180°-90°=90°（三角形内角和定理）。
∴△AEM是直角三角形（有一个角是直角的三角形是直角三角形）。

9. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $ 50^{\circ} $,那么这个等腰三角形的顶角的度数为()
A.$ 20^{\circ} $或 $ 70^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 140^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $或 $ 140^{\circ} $

D

分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部。设顶角为∠A，高与另一腰的夹角为50°，则在直角三角形中，顶角∠A=90°-50°=40°；
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部。设顶角为∠A，高与另一腰的夹角为50°，则顶角的邻补角=90°-50°=40°，故顶角∠A=180°-40°=140°。
综上，顶角的度数为40°或140°。

10. 如图所示,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,且 $ AD $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $,$ BE $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,$ AD $,$ BE $ 相交于点 $ F $,过点 $ D $ 作 $ DG // AB $,过点 $ B $ 作 $ BG \perp DG $ 交 $ DG $ 于点 $ G $. 有下列结论：① $ \angle AFB = 135^{\circ} $；② $ \angle BDG = 2\angle CBE $；③ $ BC $ 平分 $ \angle ABG $；④ $ \angle BEC = \angle FBG $. 其中正确的是(填序号).

①②④

①在Rt△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠FAB+∠FBA=1/2(∠BAC+∠ABC)=45°，∴∠AFB=180°-45°=135°，①正确；
②∵DG//AB，∴∠BDG=∠ABC（同位角相等），BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBE，∴∠BDG=2∠CBE，②正确；
③若BC平分∠ABG，则∠ABC=∠CBG，∵DG//AB，BG⊥DG，∴∠ABG=90°，但∠ABC不一定为45°，故③错误；
④∠BEC=90°-∠CBE（Rt△BCE中），∠FBG=∠ABG-∠ABF=90°-∠CBE（∠ABG=90°，∠ABF=∠CBE），∴∠BEC=∠FBG，④正确。

11. 如图所示,已知直线 $ AB // CD $,直线 $ l $ 与 $ AB $,$ CD $ 分别相交于点 $ E $,$ F $,$ EP $ 平分 $ \angle BEF $,$ FH $ 平分 $ \angle DFE $,$ EP $ 与 $ FH $ 相交于点 $ O $.
求证：$ \triangle EOF $ 为直角三角形.

证明：
∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵EP平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠PEF = 1/2∠BEF，∠HFE = 1/2∠DFE（角平分线定义）。
∴∠PEF + ∠HFE = 1/2(∠BEF + ∠DFE) = 1/2×180° = 90°。
在△EOF中，∠PEF + ∠HFE + ∠EOF = 180°（三角形内角和定理），
∴∠EOF = 180° - (∠PEF + ∠HFE) = 180° - 90° = 90°。
∴△EOF为直角三角形。

12. 如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = \angle BCD $,$ CD \perp AB $ 于点 $ D $,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $ 分别交 $ CD $,$ CA $ 于点 $ F $,$ E $.
求证：(1)$ \triangle ABC $ 是直角三角形；
(2)$ \angle CEF = \angle CFE $.

(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°(直角三角形两锐角互余)。
∵∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。
(2)∵BE平分∠ABC，设∠CBE=∠ABE=∠1。
在Rt△BCE中，∠ACB=90°，∴∠CEF=90°-∠CBE=90°-∠1。
∵CD⊥AB，∴∠BDF=90°，在Rt△BDF中，∠DFB=90°-∠ABE=90°-∠1。
∵∠CFE=∠DFB(对顶角相等)，∴∠CFE=90°-∠1，∴∠CEF=∠CFE。

13. (教材题延伸与拓展)(1)如图①所示,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ CD \perp AB $ 于点 $ D $. 图中有与 $ \angle A $ 相等的角吗？为什么？
(2)如图②所示,把图①中的 $ CD $ 平移到 $ ED $ 处,图中还有与 $ \angle A $ 相等的角吗？为什么？
(3)如图③所示,把图①中的 $ CD $ 平移到 $ ED $ 处,$ ED $ 交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $,图中还有与 $ \angle A $ 相等的角吗？为什么？

(1)有，∠BCD=∠A。理由：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则∠A+∠B=90°；CD⊥AB，∠CDB=90°，则∠B+∠BCD=90°，故∠A=∠BCD（同角的余角相等）。
(2)有，∠BED=∠A。理由：CD平移到ED，由平移性质得ED//CD，又CD⊥AB，故ED⊥AB，∠EDB=90°；在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°；在Rt△EBD中，∠BED+∠B=90°，故∠A=∠BED（同角的余角相等）。
(3)有，∠E=∠A。理由：CD平移到ED，由平移性质得ED//CD，又CD⊥AB，故ED⊥AB，∠EDB=90°；在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°；在Rt△EBD中，∠E+∠B=90°，故∠A=∠E（同角的余角相等）。