10. 下列式子适合用完全平方公式计算的是()
A.$(3x - y)(-y - 3x)$
B.$(3x - y)(3x + y)$
C.$(-3x - y)(y - 3x)$
D.$(-3x - y)(y + 3x)$

D

完全平方公式需要两个数或式子的和或差的平方形式，即$(a+b)^2$或$(a-b)^2$，或者可以转化为这种形式，对于选项进行逐一分析：
A. 对于$(3x - y)(-y - 3x)$，可以观察到它并不符合完全平方公式的形式，因为它不是两个相同的二项式的乘积，同时它也不能转化为完全平方公式的形式，该式可以看作$(3x - y)[- (3x + y)]$，是平方差公式的形式，所以A选项错误；
B. 对于$(3x - y)(3x + y)$，它是平方差公式的形式，不是完全平方公式，所以B选项错误；
C. 对于$(-3x - y)(y - 3x)$，虽然它包含两个二项式的乘积，但这两个二项式并不是相同的，且不能转化为完全平方公式的形式，该式可以调整顺序为$(-y - 3x)(- 3x+y)$，不符合完全平方公式的形式，所以C选项错误；
D. 对于$(-3x - y)(y + 3x)$，可以观察到它等于$-(3x + y)(3x + y) = - (3x + y)^{2}$，这符合完全平方公式的形式，所以D选项正确。

11. 已知$(a - 2b)^2 = (a + 2b)^2 + N$,则$N$等于()
A.$4ab$
B.$-4ab$
C.$8ab$
D.$-8ab$

D

已知 $(a - 2b)^2 = (a + 2b)^2 + N$，
展开两边平方项：
左边：$(a - 2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$，
右边：$(a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$，
代入方程得：
$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 + N$，
两边对比，消去相同项 $a^2$ 和 $4b^2$，得：
$-4ab = 4ab + N$，
解得：$N = -8ab$。

12. 如图所示,边长分别为$a$,$b$的两个正方形并排放在一起。当$a + b = 8$,$ab = 10$时,阴影部分的面积为。

17

阴影部分面积可表示为两个正方形面积之和减去两个空白直角三角形面积。
两个正方形面积和：$a^2 + b^2$。
空白三角形面积分别为：$\frac{1}{2}a^2$（底为$a$，高为$a$）和$\frac{1}{2}b(a + b)$（底为$b$，高为$a + b$）。
阴影面积$S_{阴}=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a + b)$，化简得$S_{阴}=\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$。
由完全平方公式$a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab$，代入$a + b = 8$，$ab = 10$，得$a^2 + b^2=8^2 - 2×10=44$。
则$S_{阴}=\frac{1}{2}(44 - 10)=17$。

13. 已知$x + y = 3$,$xy = -7$。求：
(1)$x^2 - xy + y^2$的值；
(2)$(x - y)^2$的值。

(1) 30；(2) 37。

(1)
∵ $x + y = 3$，
∴ $(x + y)^2 = 3^2 = 9$，
即 $x^2 + 2xy + y^2 = 9$。
∵ $xy = -7$，
∴ $x^2 + y^2 = 9 - 2xy = 9 - 2×(-7) = 9 + 14 = 23$，
∴ $x^2 - xy + y^2 = (x^2 + y^2) - xy = 23 - (-7) = 30$。
(2)
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 2xy$，
由(1)知 $x^2 + y^2 = 23$，$xy = -7$，
∴ $(x - y)^2 = 23 - 2×(-7) = 23 + 14 = 37$。

14. 已知$(x + m)(x + n) = x^2 + x - 3$,求$(m - n)^2$的值。

1. 展开左边：$(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn$
2. 对比系数：由$x^2 + (m + n)x + mn = x^2 + x - 3$，得$\begin{cases}m + n = 1 \\ mn = -3\end{cases}$
3. 计算$(m - n)^2$：$(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn = 1^2 - 4×(-3) = 1 + 12 = 13$
13

15. 阅读下列材料：
若$x满足(9 - x)(x - 4) = 4$,求$(4 - x)^2 + (x - 9)^2$的值。
解：设$9 - x = a$,$x - 4 = b$,
则$ab = 4$,$a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$。
$\because (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$,
$\therefore a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 × 4 = 17$。
即$(4 - x)^2 + (x - 9)^2$的值为17。
请仿照上面的方法解答下面的问题：
(1)若$x满足(5 - x)(x - 2) = 2$,求$(5 - x)^2 + (x - 2)^2$的值；
(2)若实数$m满足(m - 2023)^2 + (2024 - m)^2 = 2025$,则$(m - 2023) \cdot (2024 - m) = $。

(1)$5$；(2)$-1012$

(1)设$5 - x = a$，$x - 2 = b$，则$ab = 2$，$a + b=(5 - x)+(x - 2)=3$。
$\because (a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，
$\therefore a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab=3^2 - 2×2=9 - 4=5$，即$(5 - x)^2 + (x - 2)^2$的值为$5$。
(2)设$m - 2023 = a$，$2024 - m = b$，则$a + b=(m - 2023)+(2024 - m)=1$，$a^2 + b^2=2025$。
$\because (a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，
$\therefore 2ab=(a + b)^2-(a^2 + b^2)=1^2 - 2025=1 - 2025=-2024$，
$\therefore ab=-1012$，即$(m - 2023)·(2024 - m)=-1012$。