1. 如图,$\triangle ABC$,$\triangle CDE$ 均为等边三角形,连接 $AD$,$BE$ 交于点 $O$,$AC$ 与 $BE$ 交于点 $P$。求证 $\angle AOB = 60^{\circ}$。

证明：
∵△ABC，△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ACD=∠BCE \\ CD=CE \end{cases}$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠CAD=∠CBE．
设∠CAD=∠CBE=α，
∵△ABC为等边三角形，∴∠BCA=60°．
在△BPC中，∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP=180°-α-60°=120°-α．
∵∠BPC与∠OPA是对顶角，∴∠OPA=∠BPC=120°-α．
在△AOP中，∠OAP=α，∠OPA=120°-α，
∴∠AOP=180°-∠OAP-∠OPA=180°-α-(120°-α)=60°．
∵∠AOP=∠AOB，∴∠AOB=60°．

【典型例题 2】如图,在四边形 ABCD 中,AB// DC,DB 平分$ \angle ADC,$$\angle A = 60^{\circ},$求证：$\triangle ABD $是等边三角形。
【证明$】\because DB 平分 \angle ADC,$

$\therefore \angle ADB = \angle CDB。$
$\because AB// DC,$
$\therefore \angle ABD = \angle CDB,$
$\therefore \angle ABD = \angle ADB,$
$\therefore AB = AD,即 \triangle ABD $是等腰三角形。
又$ \angle A = 60^{\circ},$
$\therefore \triangle ABD $是等边三角形。

$\because DB$平分$\angle ADC$，
$\therefore \angle ADB = \angle CDB$。
$\because AB // DC$，
$\therefore \angle ABD = \angle CDB$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore \angle ABD = \angle ADB$（等量代换）。
$\therefore AB = AD$，即$\triangle ABD$是等腰三角形。
又$\because \angle A = 60^{\circ}$，
有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，
$\therefore \triangle ABD$是等边三角形。

2. 如图,等边三角形纸片 $ABC$ 的边长为 $6$,$E$,$F$ 是边 $BC$ 上的三等分点。分别过点 $E$,$F$ 沿着平行于 $BA$,$CA$ 方向各剪一刀,则剪下的 $\triangle DEF$ 的周长是。

6

∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴∠B=∠C=60°，BC=6。
∵E，F是BC的三等分点，∴BE=EF=FC=2。
过E作DE//BA，过F作DF//CA，两线交于点D。
∵DE//BA，∴∠DEF=∠B=60°（同位角相等）。
∵DF//CA，∴∠DFE=∠C=60°（同位角相等）。
在△DEF中，∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=60°，∴△DEF是等边三角形。
∴DE=DF=EF=2，周长为2+2+2=6。

1. (2024·山东泰安中考)如图,直线 $l// m$,等边三角形 $ABC$ 的两个顶点 $B$,$C$ 分别落在直线 $l$,$m$ 上,若 $\angle ABE = 21^{\circ}$,则 $\angle ACD$ 为()

A.$45^{\circ}$
B.$39^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$21^{\circ}$

B

因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。
直线l//m，∠ABE=21°，则在直线l上，∠EBC=∠ABE+∠ABC=21°+60°=81°。
由于l//m，BC为截线，∠EBC与∠BCD是同旁内角，故∠EBC+∠BCD=180°，得∠BCD=180°-81°=99°。
又因为∠BCD=∠ACB+∠ACD，所以∠ACD=∠BCD-∠ACB=99°-60°=39°。