1. 下列各式计算正确的是()
A.$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{6b}= \dfrac{2a}{7b}$
B.$8a^{2}b^{3}÷\left(-\dfrac{3a}{4b^{2}}\right)= -6a^{3}b$
C.$-\dfrac{a^{2}}{b}\cdot\left(-\dfrac{b^{2}}{a}\right)= -ab$
D.$\dfrac{a}{a^{2}-1}÷\dfrac{a^{2}}{a^{2}+a}= \dfrac{1}{a - 1}$

D

A：$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{6b} = \dfrac{a \cdot a}{b \cdot 6b} = \dfrac{a^{2}}{6b^{2}}$，不等于$\dfrac{2a}{7b}$，错误。
B：$8a^{2}b^{3} ÷ \left( -\dfrac{3a}{4b^{2}} \right) = 8a^{2}b^{3} × \left( -\dfrac{4b^{2}}{3a} \right) = -\dfrac{32a^{2}b^{3} \cdot b^{2}}{3a} = -\dfrac{32ab^{5}}{3}$，不等于$-6a^{3}b$，错误。
C：$-\dfrac{a^{2}}{b} \cdot \left( -\dfrac{b^{2}}{a} \right) = \dfrac{a^{2} \cdot b^{2}}{b \cdot a} = ab$，不等于$-ab$，错误。
D：$\dfrac{a}{a^{2}-1} ÷ \dfrac{a^{2}}{a^{2}+a} = \dfrac{a}{(a+1)(a-1)} × \dfrac{a(a+1)}{a^{2}} = \dfrac{a \cdot a(a+1)}{(a+1)(a-1) \cdot a^{2}} = \dfrac{1}{a-1}$，正确。

2. 已知$P= -\dfrac{1}{x}÷\dfrac{1}{x^{2}+x}$,$Q= \dfrac{x^{2}-1}{y^{2}}\cdot\dfrac{y^{2}}{1 - x}$,则$P$$Q$(填“$\gt$”“$\lt$”或“$=$”).

$=$

首先化简$P$：
$P=-\frac{1}{x}÷\frac{1}{x^{2}+x}=-\frac{1}{x}×(x^{2}+x)=-\frac{1}{x}× x(x + 1)=-(x + 1)=-x - 1$。
然后化简$Q$：
对$x^{2}-1$利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a = x$，$b = 1$，则$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$。
$Q=\frac{x^{2}-1}{y^{2}}\cdot\frac{y^{2}}{1 - x}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{y^{2}}\cdot\frac{y^{2}}{1 - x}=-(x + 1)$。
因为$P=-x - 1$，$Q=-(x + 1)=-x - 1$，所以$P = Q$。

3. 计算：$\dfrac{x}{x - y}\cdot\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x}= $.

$x + y$

首先对第二个分式的分子进行因式分解，$x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y)$。
则原式可化为$\dfrac{x}{x - y}\cdot\dfrac{(x + y)(x - y)}{x}$，
然后进行约分，分子分母中的$x$和$x - y$可约去，得到$x + y$。

4. 李先生买了两只灯泡,它们的额定功率分别是$P_{1}= \dfrac{U^{2}}{R}$,$P_{2}= \dfrac{U^{2}}{4R}$,那么第一只灯泡的功率是第二只灯泡功率的倍.

4

根据题意，第一只灯泡的功率为$P_{1}=\dfrac{U^{2}}{R}$，第二只灯泡的功率为$P_{2}=\dfrac{U^{2}}{4R}$。
求第一只灯泡功率是第二只灯泡功率的倍数，即计算$\dfrac{P_{1}}{P_{2}}$的值：
$\dfrac{P_{1}}{P_{2}}=\dfrac{\dfrac{U^{2}}{R}}{\dfrac{U^{2}}{4R}}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，则有：
$\dfrac{P_{1}}{P_{2}}=\dfrac{U^{2}}{R}×\dfrac{4R}{U^{2}} = 4$

5. 计算：
(1)$\dfrac{3x}{8y}\cdot\dfrac{16y^{2}}{27x^{2}}$；
(2)$\dfrac{x - 2}{x + 3}\cdot\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-4x + 4}$；
(3)$\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1}÷\dfrac{x^{2}+x}{x - 1}$.

(1)
$\dfrac{3x}{8y}\cdot\dfrac{16y^{2}}{27x^{2}}$
$=\dfrac{3x×16y^{2}}{8y×27x^{2}}$
$=\dfrac{48xy^{2}}{216x^{2}y}$
$=\dfrac{2y}{9x}$
(2)
$\dfrac{x - 2}{x + 3}\cdot\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-4x + 4}$
$=\dfrac{x - 2}{x + 3}\cdot\dfrac{(x + 3)(x - 3)}{(x - 2)^{2}}$
$=\dfrac{x - 3}{x - 2}$
(3)
$\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1}÷\dfrac{x^{2}+x}{x - 1}$
$=\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^{2}}\cdot\dfrac{x - 1}{x(x + 1)}$
$=\dfrac{1}{x}$

6. 先化简,再求值：
(1)$\dfrac{a + 1}{a}\cdot\dfrac{a^{2}}{a^{2}-1}$,其中$a = 5$；
(2)$(x^{2}-9)÷\dfrac{x - 3}{x}$,其中$x = - 1$.

(1) $\dfrac{a + 1}{a}\cdot\dfrac{a^{2}}{a^{2}-1}$
$=\dfrac{a + 1}{a}\cdot\dfrac{a^{2}}{(a + 1)(a - 1)}$
$=\dfrac{a}{a - 1}$
当$a = 5$时，原式$=\dfrac{5}{5 - 1}=\dfrac{5}{4}$
(2) $(x^{2}-9)÷\dfrac{x - 3}{x}$
$=(x + 3)(x - 3)\cdot\dfrac{x}{x - 3}$
$=x(x + 3)$
$=x^{2} + 3x$
当$x = -1$时，原式$=(-1)^{2} + 3×(-1)=1 - 3=-2$

7. 学过分式的乘除运算后,王老师给同学们出了这样一道题：当$x = 2026$时,求代数式$\dfrac{x^{2}-2x + 1}{x^{2}-1}÷\dfrac{2x - 2}{x + 1}$的值.小林一看马上说道：“太复杂了,直接代入计算需要很久的时间啊！”你能帮小林快速解决这个问题吗？请写出你的计算过程.

$\frac{1}{2}$

解题过程：
1. 化简分子分母
分子 $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$（完全平方公式）
分母 $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$（平方差公式）
除式 $2x - 2 = 2(x - 1)$（提取公因式）
2. 将除法转化为乘法
$ \frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} ÷ \frac{2(x - 1)}{x + 1} = \frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} × \frac{x + 1}{2(x - 1)} $
3. 约分计算
分子分母约去 $(x - 1)^2$、$(x + 1)$，得：
$ \frac{1}{2} $
4. 结论
化简结果为常数 $\frac{1}{2}$，与 $x$ 的取值无关。
最终