1. 若抛物线 $y= ax^{2}+bx+3$ 经过点 $(-1,0),(3,0)$,则该抛物线的解析式为 ()
A.$y= -x^{2}+2x+3$
B.$y= x^{2}+2x+3$
C.$y= x^{2}-2x+3$
D.$y= -x^{2}-2x+3$

A

已知抛物线 $y = ax^2 + bx + 3$ 经过点 $(-1, 0)$ 和 $(3, 0)$，将这两个点代入方程：
1. 代入 $(-1, 0)$：
$0 = a(-1)^2 + b(-1) + 3$
$0 = a - b + 3$
即 $a - b = -3$ (方程1)
2. 代入 $(3, 0)$：
$0 = a(3)^2 + b(3) + 3$
$0 = 9a + 3b + 3$
即 $9a + 3b = -3$，化简为 $3a + b = -1$ (方程2)
解方程组：
$\begin{cases} a - b = -3 \\ 3a + b = -1 \end{cases}$
将方程1和方程2相加：
$a - b + 3a + b = -3 - 1$
$4a = -4$
$a = -1$
将 $a = -1$ 代入方程1：
$-1 - b = -3$
$b = 2$
因此，抛物线的解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。

2. 已知抛物线 $y= x^{2}+px+q$ 的顶点坐标为 $(1,-3)$,则 $p,q$ 的值为 ()
A.$p= -2,q= 2$
B.$p= -2,q= -2$
C.$p= -2,q= 1$
D.$p= 2,q= -4$

B

抛物线$y = ax^{2} + bx + c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，
对于抛物线$y = x^{2} + px + q$，其中$a = 1$。
根据题目，顶点坐标为$(1, -3)$，
所以，$-\frac{p}{2} = 1$，
即，$p = -2$，
再根据顶点坐标的$y$值，有：
$\frac{4q - p^{2}}{4} = -3$，
将$p = -2$代入上式，得：
$\frac{4q - 4}{4} = -3$，
即，$4q - 4 = -12$，
解得：$q = -2$，
所以，$p = -2$，$q = -2$。

3. 若抛物线 $y= ax^{2}+bx+c$ 的顶点坐标为 $(3,-2)$,与 $x$ 轴两交点间的距离为 4,则 $a$ 的值为 ()
A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.2
D.$\frac{1}{2}$

D

1. 已知顶点坐标为$(3, -2)$，因此抛物线的顶点式可表示为$y = a(x - 3)^2 - 2$。
2. 抛物线与$x$轴交点间的距离为4，由对称性可知，交点坐标为$(1, 0)$和$(5, 0)$。
3. 将交点$(1, 0)$代入顶点式，得到方程：
$0 = a(1 - 3)^2 - 2$
$0 = 4a - 2$
解得：$a = \frac{1}{2}$。
4. 验证另一交点$(5, 0)$：
$0 = a(5 - 3)^2 - 2$
$0 = 4a - 2$
同样解得：$a = \frac{1}{2}$。