1. 某校即将举行田径运动会,小明从“跳高”“跳远”“100 m 跑”“400 m 跑”四个项目中随机选择两个,则他选择“100 m 跑”与“400 m 跑”两个项目的概率是()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{12}$

C

设“跳高”“跳远”“100m跑”“400m跑”四个项目分别为A，B， C，D，
因为小明从四个项目中随机选择两个，所有可能的结果有：
（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6种，
这些结果出现的可能性相同。
设“小明选择‘100m跑’与‘400m跑’两个项目”为事件M，则事件M包含的结果只有（C，D）1种，
所以$P(M)=\frac{1}{6}$。

2. 某校举办文艺汇演,在主持人选拔环节中,有一位男同学和三位女同学表现优异.若从以上四位同学中随机抽取两位同学担任主持人,则刚好抽中一位男同学和一位女同学的概率是()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$

A

设男同学为$A$，三位女同学分别为$B, C, D$。
从四位同学中随机抽取两位同学的所有可能组合为：
$(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D)$，
共有6种等可能的结果。
其中，刚好抽中一位男同学和一位女同学的组合有：
$(A, B), (A, C), (A, D)$，
共3种结果。
因此，刚好抽中一位男同学和一位女同学的概率为：
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

3. 经过某路口的汽车,可能直行、左拐或右拐.假设这三种可能性相同,现有两辆车经过该路口,恰好有一辆车直行,另一辆车左拐的概率为()
A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$

A

两辆车经过路口，每辆车有3种可能，共3×3=9种等可能结果。恰好一辆直行另一辆左拐的情况有：(直,左)、(左,直)，共2种。概率为2/9。

4. 学校定期为学生进行视力检测.某次检测设有 A,B 两处检测点,甲、乙、丙三位学生各自随机选择其中的一处检测视力.甲、乙、丙三位学生中至少有两人在 B 处检测视力的概率为.

$\frac{1}{2}$（写成小数为0.5，分数形式为$\frac{1}{2}$ ，若题目要求填分数，则答案为$\frac{1}{2}$）

本题可先求出所有可能的结果数，再求出至少有两人在$B$处检测视力的结果数，最后根据古典概型概率公式计算概率。
步骤一：计算所有可能的结果数
甲、乙、丙三位学生各自随机选择$A$、$B$两处检测点中的一处，那么甲有$2$种选择方法，乙也有$2$种选择方法，丙同样有$2$种选择方法。
根据分步乘法计数原理：完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1× m_2×\cdots× m_n$种不同的方法。
所以三位学生选择检测点的所有可能结果数为$2×2×2 = 8$种。
步骤二：计算至少有两人在$B$处检测视力的结果数
至少有两人在$B$处检测视力包含两种情况：两人在$B$处检测视力，一人在$A$处检测视力；三人都在$B$处检测视力。
两人在$B$处检测视力，一人在$A$处检测视力的情况有：
从甲、乙、丙三人中选两人安排在$B$处，剩下的一人安排在$A$处，根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 3$，$k = 2$，则$C_{3}^2=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3×2×1}{2×1×1}= 3$种情况，即（甲乙在$B$，丙在$A$）、（甲丙在$B$，乙在$A$）、（乙丙在$B$，甲在$A$）。
三人都在$B$处检测视力的情况有$1$种。
所以至少有两人在$B$处检测视力的结果数为$3 + 1 = 4$种。
步骤三：根据古典概型概率公式计算概率
古典概型概率公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本事件个数，$n$表示基本事件的总数。
设“甲、乙、丙三位学生中至少有两人在$B$处检测视力”为事件$A$，由上述计算可知$n = 8$，$m = 4$，则$P(A)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。

5. 甲、乙、丙三人玩传球游戏,游戏规则如下：第一次传球由甲将球随机地传给乙、丙中的某人,以后的每一次传球都是由持球者随机地传给其他两人中的某人,则三次传球后球恰在甲手中的概率为.

$\frac{1}{4}$

第一次传球：甲有2种选择（乙或丙）。
第二次传球：若第一次传给乙，乙有2种选择（甲或丙）；若第一次传给丙，丙有2种选择（甲或乙），共4种情况。
第三次传球：对第二次的4种情况，每种情况接球者各有2种选择，总结果数为$2×2×2=8$种。
三次传球后球在甲手中的情况：
甲→乙→丙→甲；
甲→丙→乙→甲，共2种。
概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。