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1. 无论 $ a $ 取何值,下列分式一定有意义的是(
A.$ \frac{a^2 + 1}{a^2} $
B.$ \frac{a + 1}{a^2} $
C.$ \frac{a^2 - 1}{a + 1} $
D.$ \frac{a - 1}{a^2 + 1} $
D
)A.$ \frac{a^2 + 1}{a^2} $
B.$ \frac{a + 1}{a^2} $
C.$ \frac{a^2 - 1}{a + 1} $
D.$ \frac{a - 1}{a^2 + 1} $
答案
D
解析
要使分式有意义，分母不能为零。
选项A：分母为$a^2$，当$a=0$时，$a^2=0$，分式无意义。
选项B：分母为$a^2$，当$a=0$时，$a^2=0$，分式无意义。
选项C：分母为$a + 1$，当$a=-1$时，$a + 1=0$，分式无意义。
选项D：分母为$a^2 + 1$，因为$a^2\geq0$，所以$a^2 + 1\geq1$，分母恒不为零，分式一定有意义。
D
选项A：分母为$a^2$，当$a=0$时，$a^2=0$，分式无意义。
选项B：分母为$a^2$，当$a=0$时，$a^2=0$，分式无意义。
选项C：分母为$a + 1$，当$a=-1$时，$a + 1=0$，分式无意义。
选项D：分母为$a^2 + 1$，因为$a^2\geq0$，所以$a^2 + 1\geq1$，分母恒不为零，分式一定有意义。
D
2. 若 $ \frac{15}{x - 3} $ 是一个正整数,则 $ x $ 的最大的整数值为(
A.8
B.13
C.16
D.18
D
)A.8
B.13
C.16
D.18
答案
D
解析
要使$\frac{15}{x - 3}$是正整数，则$x - 3$为15的正因数。15的正因数有1、3、5、15。
当$x - 3 = 1$时，$x = 4$；
当$x - 3 = 3$时，$x = 6$；
当$x - 3 = 5$时，$x = 8$；
当$x - 3 = 15$时，$x = 18$。
比较各$x$值，最大整数为18。
D
当$x - 3 = 1$时，$x = 4$；
当$x - 3 = 3$时，$x = 6$；
当$x - 3 = 5$时，$x = 8$；
当$x - 3 = 15$时，$x = 18$。
比较各$x$值，最大整数为18。
D
3. 若分式 $ \frac{x - 1}{(x - 1)(x - 2)} $ 有意义,则 $ x $ 应满足的条件是
x≠1且x≠2
.答案
x≠1且x≠2
解析
$x \neq 1$且$x \neq 2$
4. 若分式 $ \frac{a}{2a - 1} $ 的值总是正数,求 $ a $ 的取值范围.
答案
解:由题意可知a＞0且2a-1＞0或a＜0且2a-1＜0,故a的取值范围为a＞$\frac{1}{2}$或a＜0.
解析
解:分式$\frac{a}{2a - 1}$的值为正数，则分子与分母同号。
情况一：$\begin{cases}a ＞ 0 \\ 2a - 1 ＞ 0\end{cases}$
解$2a - 1 ＞ 0$得$a ＞ \frac{1}{2}$，所以此情况解集为$a ＞ \frac{1}{2}$。
情况二：$\begin{cases}a ＜ 0 \\ 2a - 1 ＜ 0\end{cases}$
解$2a - 1 ＜ 0$得$a ＜ \frac{1}{2}$，所以此情况解集为$a ＜ 0$。
综上，$a$的取值范围为$a ＞ \frac{1}{2}$或$a ＜ 0$。
情况一：$\begin{cases}a ＞ 0 \\ 2a - 1 ＞ 0\end{cases}$
解$2a - 1 ＞ 0$得$a ＞ \frac{1}{2}$，所以此情况解集为$a ＞ \frac{1}{2}$。
情况二：$\begin{cases}a ＜ 0 \\ 2a - 1 ＜ 0\end{cases}$
解$2a - 1 ＜ 0$得$a ＜ \frac{1}{2}$，所以此情况解集为$a ＜ 0$。
综上，$a$的取值范围为$a ＞ \frac{1}{2}$或$a ＜ 0$。
1. 使分式 $ \frac{2x + 1}{2x - 1} $ 无意义的 $ x $ 的值是(
A.$ x = -\frac{1}{2} $
B.$ x = \frac{1}{2} $
C.$ x \neq -\frac{1}{2} $
D.$ x \neq \frac{1}{2} $
B
)A.$ x = -\frac{1}{2} $
B.$ x = \frac{1}{2} $
C.$ x \neq -\frac{1}{2} $
D.$ x \neq \frac{1}{2} $
答案
B
解析
要使分式$\frac{2x + 1}{2x - 1}$无意义，则分母为$0$，即$2x - 1 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$。
B
B
2. 一项工作,甲单独做 $ x $ 小时完成,乙单独做比甲单独做多用 6 小时完成,那么乙单独做 $ t(t ＜ 6) $ 小时能完成这项工作的(
A.$ \frac{6}{t} $
B.$ \frac{x + 6}{t} $
C.$ \frac{t}{x + 6} $
D.$ \frac{t}{x - 6} $
C
)A.$ \frac{6}{t} $
B.$ \frac{x + 6}{t} $
C.$ \frac{t}{x + 6} $
D.$ \frac{t}{x - 6} $
答案
C
解析
乙单独完成工作需要的时间为$(x + 6)$小时，其工作效率为$\frac{1}{x + 6}$。乙单独做$t$小时完成的工作量为$\frac{1}{x + 6} × t = \frac{t}{x + 6}$。
C
C
3. 下列各式中,是分式的有
① $ \frac{4}{x} $；② $ \frac{a - 2}{4} $；③ $ \frac{1}{x - y} $；④ $ \frac{3x}{4 - x} $；⑤ $ \frac{1}{2}x $；⑥ $ \frac{1}{5} $；⑦ $ \frac{2}{2 - a} $；⑧ $ \frac{x}{\pi - x} $.
①③④⑦⑧
(填序号).① $ \frac{4}{x} $；② $ \frac{a - 2}{4} $；③ $ \frac{1}{x - y} $；④ $ \frac{3x}{4 - x} $；⑤ $ \frac{1}{2}x $；⑥ $ \frac{1}{5} $；⑦ $ \frac{2}{2 - a} $；⑧ $ \frac{x}{\pi - x} $.
答案
①③④⑦⑧
4. 若一个分式含有字母 $ b $,且当 $ b = 5 $ 时,它的值为 12,则这个分式可以是
$\frac{48}{b-1}$
.(写出一个即可)答案
答案不唯一,如:$\frac{48}{b-1}$
解析
$\frac{60}{b}$
5. 分式 $ \frac{x + a}{3x - 1} $ 中,当 $ x = -a $ 时,下列结论正确的是(
A.分式的值为零
B.分式无意义
C.当 $ a \neq -\frac{1}{3} $ 时,分式的值为零
D.当 $ a \neq \frac{1}{3} $ 时,分式的值为零
C
)A.分式的值为零
B.分式无意义
C.当 $ a \neq -\frac{1}{3} $ 时,分式的值为零
D.当 $ a \neq \frac{1}{3} $ 时,分式的值为零
答案
C
解析
当$x = -a$时，分子为$-a + a = 0$。
分母为$3(-a)-1=-3a - 1$。
若分式的值为零，则分子为零且分母不为零，即$-3a - 1 \neq 0$，解得$a \neq -\frac{1}{3}$。
C
分母为$3(-a)-1=-3a - 1$。
若分式的值为零，则分子为零且分母不为零，即$-3a - 1 \neq 0$，解得$a \neq -\frac{1}{3}$。
C
