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4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$ED$ 垂直平分 $AC$,垂足为 $D$,交边 $BC$ 于点 $E$,连接 $AE$.若 $AD = 2$,$\triangle ABE$ 的周长为 12,则 $\triangle ABC$ 的周长为(
A.13
B.14
C.15
D.16
D
)A.13
B.14
C.15
D.16
答案
D
解析
∵ED垂直平分AC，
∴AE=CE，AD=CD=2，
∴AC=AD+CD=4。
∵△ABE的周长为12，
∴AB+BE+AE=12，
∵AE=CE，
∴AB+BE+CE=AB+BC=12，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+4=16。
D
5. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是
对应边相等的三角形是全等三角形
,这个逆命题是真
(填“真”或“假”)命题.答案
对应边相等的三角形是全等三角形；真
解析
将原命题“全等三角形的对应边相等”的题设和结论互换，得到逆命题为“对应边相等的三角形是全等三角形”。根据全等三角形的判定定理“SSS”（三边对应相等的两个三角形全等），可知这个逆命题是真命题。
6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,边 $AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $D$,交 $AC$ 于点 $E$,连接 $BE$.若 $AC = 9\ cm$,$\triangle BCE$ 的周长为 15 cm,则 $BC$ 的长为
6
cm.答案
6
解析
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE。
∵AC=9cm，
∴AE+EC=AC=9cm，即BE+EC=9cm。
∵△BCE的周长为15cm，
∴BE+EC+BC=15cm。
∴9+BC=15，解得BC=6cm。
6
7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,边 $AB$,$AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于点 $D$,$E$,垂足分别为 $F$,$G$.若 $\triangle ADE$ 的周长为 6 cm,则边 $BC$ 的长为
6
cm.答案
6
解析
∵DF是AB的垂直平分线，
∴AD=BD。
∵EG是AC的垂直平分线，
∴AE=CE。
∵△ADE的周长为6 cm，
∴AD+DE+AE=6 cm。
∴BD+DE+CE=6 cm，即BC=6 cm。
6
8. 如图,线段 $AB$,$BC$ 的垂直平分线 $l_1$,$l_2$ 相交于点 $O$,连接 $AO$,$CO$.若 $\angle 1 = 39^\circ$,则 $\angle AOC$ 的度数为______
78°
.答案
78°
解析
连接OB。∵l₁是AB的垂直平分线，∴OA=OB，设l₁与AB交于点D，则∠ODA=∠ODB=90°，∠AOD=∠BOD；∵l₂是BC的垂直平分线，∴OB=OC，设l₂与BC交于点E，则∠OEB=∠OEC=90°，∠BOE=∠COE。设∠BOD=α，∠BOE=β，则∠AOB=2α，∠BOC=2β。∵l₁与l₂交于点O，∠1=α+β=39°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2α+2β=2(α+β)=2×39°=78°。
9. 如图,$\angle BAC$ 的平分线 $AD$ 与 $BC$ 的垂直平分线 $DG$ 相交于点 $D$,$DE \perp AB$ 于点 $E$,$DF \perp AC$ 于点 $F$.若 $AB = 15$,$AE = 11$,则 $AC$ 的长为______.
答案
解析
连接CD、BD。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC=∠DEB=90°。
∵DG垂直平分BC，
∴CD=BD。
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l} CD=BD\\ DF=DE\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴CF=BE。
∵AB=15，AE=11，
∴BE=AB - AE=15 - 11=4，
∴CF=4。
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=AD\\ DF=DE\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE=11。
∵AF=AC + CF，
∴AC=AF - CF=11 - 4=7。
7
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC=∠DEB=90°。
∵DG垂直平分BC，
∴CD=BD。
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l} CD=BD\\ DF=DE\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴CF=BE。
∵AB=15，AE=11，
∴BE=AB - AE=15 - 11=4，
∴CF=4。
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=AD\\ DF=DE\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE=11。
∵AF=AC + CF，
∴AC=AF - CF=11 - 4=7。
7
10. 如图,$AB = AC$,$DB = DC$,点 $E$ 在直线 $AD$ 上.求证：$BE = CE$.
答案
证明：
因为$AB = AC$，$DB = DC$，
根据线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
所以点$A$在线段$BC$的垂直平分线上，点$D$在线段$BC$的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线，
所以直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线。
又因为点$E$在直线$AD$上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，
所以$BE = CE$。
因为$AB = AC$，$DB = DC$，
根据线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
所以点$A$在线段$BC$的垂直平分线上，点$D$在线段$BC$的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线，
所以直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线。
又因为点$E$在直线$AD$上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，
所以$BE = CE$。
