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2. 如图,点$O在直角三角形ABC$中,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$OM \perp AB于点M$,$ON \perp BC于点N$,若$OM = ON$,则$\angle ABO$为
15°
.答案
15°
解析
∵OM⊥AB，ON⊥BC，OM=ON，∴BO平分∠ABC。∵∠ABC=30°，∴∠ABO=1/2∠ABC=15°。
3. 如图,$DE \perp CA于点E$,$DF \perp CB于点F$,$AD = BD$,$\angle CAD + \angle CBD = 180^{\circ}$,求证：$CD平分\angle ACB$.
答案
证明：
∵DE⊥CA，DF⊥CB，
∴∠AED=∠BFD=90°（垂直定义）。
∵∠CAD + ∠CBD=180°，
∴∠CBD=180° - ∠CAD。
∵∠FBD=180° - ∠CBD（邻补角定义），
∴∠FBD=∠CAD（等量代换），即∠FBD=∠EAD。
在△AED和△BFD中，
∠AED=∠BFD，
∠EAD=∠FBD，
AD=BD，
∴△AED≌△BFD（AAS）。
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
∵DE⊥CA，DF⊥CB，
∴点D在∠ACB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∴CD平分∠ACB。
∵DE⊥CA，DF⊥CB，
∴∠AED=∠BFD=90°（垂直定义）。
∵∠CAD + ∠CBD=180°，
∴∠CBD=180° - ∠CAD。
∵∠FBD=180° - ∠CBD（邻补角定义），
∴∠FBD=∠CAD（等量代换），即∠FBD=∠EAD。
在△AED和△BFD中，
∠AED=∠BFD，
∠EAD=∠FBD，
AD=BD，
∴△AED≌△BFD（AAS）。
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
∵DE⊥CA，DF⊥CB，
∴点D在∠ACB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∴CD平分∠ACB。
4. 如图,已知点$P到AE$,$AD$,$BC$的距离相等,下列说法：①点$P在\angle BAC$的平分线上；②点$P在\angle CBE$的平分线上；③点$P在\angle BCD$的平分线上；④点$P为\angle BAC$,$\angle CBE$,$\angle BCD$的平分线的交点. 其中正确的是
①②③④
.(填序号)答案
①②③④
解析
∵点P到AE、AD的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上（①正确）；∵点P到AE、BC的距离相等，∴点P在∠CBE的平分线上（②正确）；∵点P到AD、BC的距离相等，∴点P在∠BCD的平分线上（③正确）；综上，点P为∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点（④正确）。
5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 80^{\circ}$,$\angle ABC = 40^{\circ}$,若$BE平分\angle ABC$,$CE平分外角\angle ACD$,连接$AE$,求$\angle AEB$的度数.
答案
120°
解析
∵∠BAC=80°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-40°=60°.
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠BAC+∠ABC=80°+40°=120°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD/2=120°/2=60°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC/2=40°/2=20°.
过点E作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为F、G、H.
∵BE平分∠ABC，∴EF=EG（角平分线上的点到两边距离相等）.
∵CE平分∠ACD，∴EG=EH（角平分线上的点到两边距离相等）.
∴EF=EH，∴AE平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角平分线上）.
∴∠BAE=∠BAC/2=80°/2=40°.
在△AEB中，∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-40°-20°=120°.
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-40°=60°.
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠BAC+∠ABC=80°+40°=120°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD/2=120°/2=60°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC/2=40°/2=20°.
过点E作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为F、G、H.
∵BE平分∠ABC，∴EF=EG（角平分线上的点到两边距离相等）.
∵CE平分∠ACD，∴EG=EH（角平分线上的点到两边距离相等）.
∴EF=EH，∴AE平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角平分线上）.
∴∠BAE=∠BAC/2=80°/2=40°.
在△AEB中，∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-40°-20°=120°.
6. 如图,$AE \perp AB$,$AF \perp AC$,$AE = AB$,$AF = AC$.
(1)图中$EC$,$BF$有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论.
(2)连接$AM$,求证：$MA平分\angle EMF$.
(1)图中$EC$,$BF$有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论.
(2)连接$AM$,求证：$MA平分\angle EMF$.
答案
(1) EC=BF且EC⊥BF.
证明：
∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°.
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°+∠BAC，∠BAF=∠FAC+∠BAC=90°+∠BAC，∴∠EAC=∠BAF.
在△EAC和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AB \\ ∠EAC=∠BAF \\ AC=AF\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAF(SAS)，∴EC=BF，∠AEC=∠ABF.
设EC与BF交于点M，在△EAB中，∠EAB=90°，∴∠AEC+∠AEB=90°（此处应为∠AEC+∠EBA的余角，修正：在△EOM和△BOA中，∠E=∠B，∠EOA=∠BOB，∴∠EMB=∠EAB=90°），∴∠EMB=90°，即EC⊥BF.
(2) 证明：
过点A作AG⊥EC于G，AH⊥BF于H.
∵△EAC≌△BAF，∴S△EAC=S△BAF，EC=BF.
∵S△EAC=$\frac{1}{2}$·EC·AG，S△BAF=$\frac{1}{2}$·BF·AH，
∴$\frac{1}{2}$·EC·AG=$\frac{1}{2}$·BF·AH，又EC=BF，∴AG=AH.
∵AG⊥EM，AH⊥FM，∴点A在∠EMF的平分线上，即MA平分∠EMF.
证明：
∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°.
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°+∠BAC，∠BAF=∠FAC+∠BAC=90°+∠BAC，∴∠EAC=∠BAF.
在△EAC和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AB \\ ∠EAC=∠BAF \\ AC=AF\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAF(SAS)，∴EC=BF，∠AEC=∠ABF.
设EC与BF交于点M，在△EAB中，∠EAB=90°，∴∠AEC+∠AEB=90°（此处应为∠AEC+∠EBA的余角，修正：在△EOM和△BOA中，∠E=∠B，∠EOA=∠BOB，∴∠EMB=∠EAB=90°），∴∠EMB=90°，即EC⊥BF.
(2) 证明：
过点A作AG⊥EC于G，AH⊥BF于H.
∵△EAC≌△BAF，∴S△EAC=S△BAF，EC=BF.
∵S△EAC=$\frac{1}{2}$·EC·AG，S△BAF=$\frac{1}{2}$·BF·AH，
∴$\frac{1}{2}$·EC·AG=$\frac{1}{2}$·BF·AH，又EC=BF，∴AG=AH.
∵AG⊥EM，AH⊥FM，∴点A在∠EMF的平分线上，即MA平分∠EMF.
