4. 运用完全平方公式计算：
(1) $(x + 7)^2$；(2) $(1.5m - \frac{2}{3}n)^2$。

(1)
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，对于$(x + 7)^2$，其中$a=x$，$b = 7$，则有：
$(x + 7)^2=x^2+2× x×7 + 7^2=x^2 + 14x+49$。
(2)
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，对于$(1.5m-\frac{2}{3}n)^2$，其中$a = 1.5m$，$b=\frac{2}{3}n$，则有：
$(1.5m-\frac{2}{3}n)^2=(1.5m)^2-2×1.5m×\frac{2}{3}n+(\frac{2}{3}n)^2=2.25m^2 - 2mn+\frac{4}{9}n^2$。

5. 化简：(1) $2(a + 1)^2 + (a + 1)(1 - 2a)$；
(2) $(2x + 1)^2 - (x + 3)(x - 3)$。

(1) $3a + 3$；(2) $3x^2 + 4x + 10$

(1)
$\begin{aligned}&2(a + 1)^2 + (a + 1)(1 - 2a)\\=&2(a^2 + 2a + 1) + [a(1 - 2a) + 1(1 - 2a)]\\=&2a^2 + 4a + 2 + (a - 2a^2 + 1 - 2a)\\=&2a^2 + 4a + 2 + (-2a^2 - a + 1)\\=&2a^2 + 4a + 2 - 2a^2 - a + 1\\=&(2a^2 - 2a^2) + (4a - a) + (2 + 1)\\=&3a + 3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(2x + 1)^2 - (x + 3)(x - 3)\\=&(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 9)\\=&4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 9\\=&(4x^2 - x^2) + 4x + (1 + 9)\\=&3x^2 + 4x + 10\end{aligned}$

6. 若 $x^2 + 4x - 4 = 0$,则 $3(x - 2)^2 - 6(x + 1)(x - 1)$ 的值为()
A.-6
B.6
C.18
D.30

B

$\begin{aligned}&3(x - 2)^2 - 6(x + 1)(x - 1)\\=&3(x^2 - 4x + 4) - 6(x^2 - 1)\\=&3x^2 - 12x + 12 - 6x^2 + 6\\=&-3x^2 - 12x + 18\\=&-3(x^2 + 4x) + 18\end{aligned}$
因为 $x^2 + 4x - 4 = 0$，所以 $x^2 + 4x = 4$，代入上式得：
$-3×4 + 18 = -12 + 18 = 6$

7. 若 $(x + y)^2 = 19$,$(x - y)^2 = 3$,则 $xy$ 的值为()
A.4
B.16
C.8
D.15

A

已知 $(x + y)^2 = 19$，$(x - y)^2 = 3$，
根据完全平方公式展开：
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 19$，
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 3$。
将两式相减：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 19 - 3$，
$4xy = 16$，
解得 $xy = 4$。

8. 已知 $(x - 2025)^2 + (x - 2027)^2 = 34$,则 $(x - 2026)^2$ 的值是 $\underline{}$。

16

设$y = x - 2026$，则$x - 2025 = y + 1$，$x - 2027 = y - 1$。
原方程化为$(y + 1)^2 + (y - 1)^2 = 34$。
展开得$y^2 + 2y + 1 + y^2 - 2y + 1 = 34$，即$2y^2 + 2 = 34$。
移项得$2y^2 = 32$，解得$y^2 = 16$。
因为$y = x - 2026$，所以$(x - 2026)^2 = 16$。

9. 先化简,再求值：
(1) $[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (2b)$,其中 $a = 2$,$b = -1$；
(2) $(3a - 1)^2 - 2a(4a - 1)$,其中 $a$ 满足 $a^2 - 4a + 3 = 0$。

(1)
首先，根据完全平方公式和平方差公式展开：
$(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$，
$(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$，
将上述两个结果代入原式得：
$[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (2b)$
$= [4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + b^2] ÷ (2b)$
$= (4ab + 2b^2) ÷ (2b)$
$= 2a + b$
当 $a = 2$，$b = -1$ 时，
原式 $= 2 × 2 + (-1) = 3$。
(2)
首先，根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开：
$(3a - 1)^2 = 9a^2 - 6a + 1$，
$2a(4a - 1) = 8a^2 - 2a$，
将上述两个结果代入原式得：
$(3a - 1)^2 - 2a(4a - 1)$
$= 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 2a$
$= a^2 - 4a + 1$
由于 $a^2 - 4a + 3 = 0$，可以得到：
$a^2 - 4a = -3$，
代入上述化简后的式子得：
原式 $= -3 + 1 = -2$。

10. 阅读下列材料。
若 $x$ 满足 $(9 - x)(x - 4) = 4$,求 $(4 - x)^2 + (x - 9)^2$ 的值。
解：设 $9 - x = a$,$x - 4 = b$,则 $(9 - x)(x - 4) = ab = 4$,$a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$,
故 $(4 - x)^2 + (x - 9)^2 = (9 - x)^2 + (x - 4)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2× 4 = 17$。
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1) 若 $x$ 满足 $(5 - x)(x - 2) = 2$,求 $(5 - x)^2 + (x - 2)^2$ 的值。
(2) 如图,已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $x$,$E$,$F$ 分别是 $AD$,$DC$ 上的点,且 $AE = 1$,$CF = 3$,长方形 $EMFD$ 的面积是 48,分别以 $MF$,$DF$ 为边作正方形。
① $MF = \underline{\quad\quad}$,$DF = \underline{\quad\quad}$；(用含 $x$ 的式子表示)
② 求阴影部分的面积。

(1)
(2)①；
②

(1)设 $5 - x = a$，$x - 2 = b$，
则$(5 - x)(x - 2)$
$= ab$
$= 2$
$a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3$
故$(5 - x)^2 + (x - 2)^2$
$ = a^2 + b^2$
$ = (a + b)^2 - 2ab$
$ = 3^2 - 2 × 2$
$ = 5$
(2)① $x - 1$；$x - 3$
②由题意，得 $(x - 1)(x - 3) = 48$
设 $x - 1 = m$，$x - 3 = n$，
则$mn = 48$，$m - n = (x - 1) - (x - 3) = 2$
阴影部分面积 $S = m^2 + n^2$
$S=(m - n)^2 + 2mn$
$= 2^2 + 2 × 48$
$ = 100$
故阴影部分面积为$100$。