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15. 有六张正面分别标有数字0,1,2,3,4,5的不透明卡片,它们除了数字不同外,其余全部相同。现将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,若将卡片上的数字记为a,则使关于x的方程$\frac{1-ax}{x-2}+2= \frac{1}{2-x}$有正整数解的概率为______
$\frac{1}{6}$
.答案
解：解方程$\frac{1 - ax}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$
方程两边同乘$x - 2$得：$1 - ax + 2(x - 2) = -1$
化简得：$1 - ax + 2x - 4 = -1$
$(2 - a)x = 2$
解得$x = \frac{2}{2 - a}$（$a \neq 2$）
要使方程有正整数解，则$\frac{2}{2 - a}$为正整数且$x \neq 2$（分母不为0）
$\frac{2}{2 - a}$为正整数，$2 - a$为2的正因数，即$2 - a = 1$或$2 - a = 2$
当$2 - a = 1$时，$a = 1$，$x = 2$（舍去，因为$x = 2$使分母为0）
当$2 - a = 2$时，$a = 0$，$x = 1$（符合题意）
卡片数字为0,1,2,3,4,5，共6种等可能结果，使方程有正整数解的$a = 0$，共1种
概率为$\frac{1}{6}$
答案：$\frac{1}{6}$
方程两边同乘$x - 2$得：$1 - ax + 2(x - 2) = -1$
化简得：$1 - ax + 2x - 4 = -1$
$(2 - a)x = 2$
解得$x = \frac{2}{2 - a}$（$a \neq 2$）
要使方程有正整数解，则$\frac{2}{2 - a}$为正整数且$x \neq 2$（分母不为0）
$\frac{2}{2 - a}$为正整数，$2 - a$为2的正因数，即$2 - a = 1$或$2 - a = 2$
当$2 - a = 1$时，$a = 1$，$x = 2$（舍去，因为$x = 2$使分母为0）
当$2 - a = 2$时，$a = 0$，$x = 1$（符合题意）
卡片数字为0,1,2,3,4,5，共6种等可能结果，使方程有正整数解的$a = 0$，共1种
概率为$\frac{1}{6}$
答案：$\frac{1}{6}$
16. 如图所示的正方形内有一个最大的圆形,随机在正方形内撒点,撒点总数为100,落在圆外为17,通过这一数据可以估计π的近似值为
3.32
.答案
解：设正方形边长为2a，则圆半径为a。
正方形面积：$(2a)^2=4a^2$，圆面积：$\pi a^2$。
落在圆内点数：$100 - 17 = 83$，
由几何概型得：$\frac{\pi a^2}{4a^2} \approx \frac{83}{100}$，
即$\frac{\pi}{4} \approx 0.83$，解得$\pi \approx 3.32$。
答案：3.32
正方形面积：$(2a)^2=4a^2$，圆面积：$\pi a^2$。
落在圆内点数：$100 - 17 = 83$，
由几何概型得：$\frac{\pi a^2}{4a^2} \approx \frac{83}{100}$，
即$\frac{\pi}{4} \approx 0.83$，解得$\pi \approx 3.32$。
答案：3.32
17. 某中学在课后服务时间里,开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动。端午节前夕,学校计划举办课后服务成果展,准备从这4个社团中随机抽取2个社团进行汇报展示。请用画树状图或列表的方法,求选中的2个社团恰好是B和C的概率.
答案
【解析】：
本题考查的是利用列表法或树状图法求概率。
首先，我们需要列出所有可能的社团组合，然后找出满足条件（即选中的2个社团恰好是B和C）的组合，最后根据概率的定义求解。
在这个问题中，我们有4个社团：音乐（A）、体操（B）、诵读（C）、书法（D）。
我们需要从这4个社团中随机抽取2个社团。
因此，所有可能的社团组合为：$(A, B), (A, C), (A, D), (B, A), (B, C), (B, D), (C, A), (C, B), (C, D), (D, A), (D, B), (D, C)$，
一共有12种可能的组合。
其中，满足条件（即选中的2个社团恰好是B和C）的组合有2种：$(B, C), (C, B)$。
所以，根据概率的定义，我们可以计算出选中2个社团恰好是B和C的概率为：
$P(选中B和C) = \frac{满足条件的组合数}{所有可能的组合数} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$，
所以答案为$\frac{1}{6}$。
【答案】：
通过列表法或树状图法，我们可以得到所有可能的社团组合共有12种,其中满足条件的组合有2种,因此选中2个社团恰好是B和C的概率为$\frac{1}{6}$。
本题考查的是利用列表法或树状图法求概率。
首先，我们需要列出所有可能的社团组合，然后找出满足条件（即选中的2个社团恰好是B和C）的组合，最后根据概率的定义求解。
在这个问题中，我们有4个社团：音乐（A）、体操（B）、诵读（C）、书法（D）。
我们需要从这4个社团中随机抽取2个社团。
因此，所有可能的社团组合为：$(A, B), (A, C), (A, D), (B, A), (B, C), (B, D), (C, A), (C, B), (C, D), (D, A), (D, B), (D, C)$，
一共有12种可能的组合。
其中，满足条件（即选中的2个社团恰好是B和C）的组合有2种：$(B, C), (C, B)$。
所以，根据概率的定义，我们可以计算出选中2个社团恰好是B和C的概率为：
$P(选中B和C) = \frac{满足条件的组合数}{所有可能的组合数} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$，
所以答案为$\frac{1}{6}$。
【答案】：
通过列表法或树状图法，我们可以得到所有可能的社团组合共有12种,其中满足条件的组合有2种,因此选中2个社团恰好是B和C的概率为$\frac{1}{6}$。
18. 一个不透明的布袋中装有质地、大小均相同的四个小球,小球上分别标有数字1,2,3,4。甲、乙两人玩摸球游戏,规则为：两人同时从布袋中各随机摸出1个小球,若两小球上的数字之和为奇数,则甲胜；若两小球上的数字之和为偶数,则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法,求甲获胜的概率.
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由.
(1)请用画树状图或列表的方法,求甲获胜的概率.
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由.
答案
【解析】：
本题主要考查概率的计算以及游戏公平性的判断。
(1)为了求甲获胜的概率，我们需要先列出所有可能的摸球组合，然后计算两小球数字之和为奇数的组合数，最后除以总组合数。
(2)为了判断游戏是否公平，我们需要比较甲获胜的概率和乙获胜的概率。
【答案】：
(1)解：
首先，我们列出所有可能的摸球组合：
甲摸到的数字\乙摸到的数字 | 1 | 2 | 3 | 4
---------------------------|---|---|---|---
1 |1+1|1+2|1+3|1+4
2 |2+1|2+2|2+3|2+4
3 |3+1|3+2|3+3|3+4
4 |4+1|4+2|4+3|4+4
总共有 $4 × 4 = 16$ 种组合。
接下来，我们找出和为奇数的组合：
(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)
共有 8 种。
因此，甲获胜的概率为：
$P(甲胜) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
(2)解：
乙获胜的组合为和为偶数的组合，即：
(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)
也是 8 种。
因此，乙获胜的概率为：
$P(乙胜) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
由于 $P(甲胜) = P(乙胜) = \frac{1}{2}$，
所以这个游戏规则对甲、乙双方是公平的。
本题主要考查概率的计算以及游戏公平性的判断。
(1)为了求甲获胜的概率，我们需要先列出所有可能的摸球组合，然后计算两小球数字之和为奇数的组合数，最后除以总组合数。
(2)为了判断游戏是否公平，我们需要比较甲获胜的概率和乙获胜的概率。
【答案】：
(1)解：
首先，我们列出所有可能的摸球组合：
甲摸到的数字\乙摸到的数字 | 1 | 2 | 3 | 4
---------------------------|---|---|---|---
1 |1+1|1+2|1+3|1+4
2 |2+1|2+2|2+3|2+4
3 |3+1|3+2|3+3|3+4
4 |4+1|4+2|4+3|4+4
总共有 $4 × 4 = 16$ 种组合。
接下来，我们找出和为奇数的组合：
(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)
共有 8 种。
因此，甲获胜的概率为：
$P(甲胜) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
(2)解：
乙获胜的组合为和为偶数的组合，即：
(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)
也是 8 种。
因此，乙获胜的概率为：
$P(乙胜) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
由于 $P(甲胜) = P(乙胜) = \frac{1}{2}$，
所以这个游戏规则对甲、乙双方是公平的。
