10. 如图所示,一组等距的平行线,点$A$,$B$,$C分别在直线l_{1}$,$l_{6}$,$l_{4}$上,$AB交l_{3}于点D$,$AC交l_{3}于点E$,$BC交l_{5}于点F$. 若$\triangle DEF$的面积为2,则$\triangle ABC$的面积为().
A.$\frac{39}{4}$
B.$\frac{25}{4}$
C.$\frac{15}{2}$
D.8

解：设相邻两条平行线间的距离为1，以$l_{1}$为x轴建立平面直角坐标系，设$A(a,0)$，$B(b,5)$，$C(c,3)$。
直线$AB$的解析式：由$A(a,0)$，$B(b,5)$，斜率$k_{AB}=\frac{5-0}{b-a}=\frac{5}{b-a}$，方程为$y=\frac{5}{b-a}(x-a)$。$l_{3}$（$y=2$）与$AB$交于$D$，令$y=2$，得$2=\frac{5}{b-a}(x-a)$，$x=a+\frac{2(b-a)}{5}$，$D\left(a+\frac{2(b-a)}{5},2\right)$。
直线$AC$的解析式：由$A(a,0)$，$C(c,3)$，斜率$k_{AC}=\frac{3-0}{c-a}=\frac{3}{c-a}$，方程为$y=\frac{3}{c-a}(x-a)$。$l_{3}$（$y=2$）与$AC$交于$E$，令$y=2$，得$2=\frac{3}{c-a}(x-a)$，$x=a+\frac{2(c-a)}{3}$，$E\left(a+\frac{2(c-a)}{3},2\right)$。
直线$BC$的解析式：由$B(b,5)$，$C(c,3)$，斜率$k_{BC}=\frac{3-5}{c-b}=\frac{-2}{c-b}$，方程为$y-5=\frac{-2}{c-b}(x-b)$。$l_{5}$（$y=4$）与$BC$交于$F$，令$y=4$，得$4-5=\frac{-2}{c-b}(x-b)$，$-1=\frac{-2}{c-b}(x-b)$，$x=b+\frac{c-b}{2}=\frac{b+c}{2}$，$F\left(\frac{b+c}{2},4\right)$。
$\triangle DEF$面积为2，$D$、$E$纵坐标为2，$DE$长为$\left|a+\frac{2(c-a)}{3}-\left(a+\frac{2(b-a)}{5}\right)\right|=\left|\frac{2(c-a)}{3}-\frac{2(b-a)}{5}\right|=\left|\frac{10(c-a)-6(b-a)}{15}\right|=\left|\frac{10c - 10a - 6b + 6a}{15}\right|=\left|\frac{10c - 6b - 4a}{15}\right|$。$F$到$DE$（$y=2$）距离为$4 - 2 = 2$。$\frac{1}{2} × |DE| × 2 = |DE| = 2$，即$\left|\frac{10c - 6b - 4a}{15}\right| = 2$，$|10c - 6b - 4a| = 30$。
$\triangle ABC$面积，用坐标公式：$\frac{1}{2}|a(5 - 3) + b(3 - 0) + c(0 - 5)|=\frac{1}{2}|2a + 3b - 5c|=\frac{1}{2}|-(5c - 3b - 2a)|=\frac{1}{2}|5c - 3b - 2a|$。由$|10c - 6b - 4a| = 30$得$|2(5c - 3b - 2a)| = 30$，$|5c - 3b - 2a| = 15$，故$\triangle ABC$面积为$\frac{1}{2} × 15 = \frac{15}{2}$。
答案：C

11. 3与27的比例中项是.

【解析】：
本题主要考查比例中项的定义及计算。比例中项的定义是，如果a:b = b:c，那么b就是a和c的比例中项，即$b^2 = ac$。本题中给出了3和27作为比例的两端，需要找到一个数，使其满足比例中项的定义。设比例为$3:x = x:27$，根据比例中项的定义，我们可以列出等式$x^2 = 3 × 27$，然后解这个方程来找到x的值。
【答案】：
解：设比例中项为$x$，则根据比例中项的定义，有
$x^2 = 3 × 27$
$x^2 = 81$
从这个方程中，我们可以解出$x$的两个可能值：
$x = \pm 9$
故答案为：$\pm 9$。

12. 如图所示,$\angle DAB= \angle CAE$,再补充一个条件：,使得$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$.

【解析】：
本题考查相似三角形的判定定理。
题目已知条件为$\angle DAB=\angle CAE$，我们需要找到一个额外的条件使得$\triangle ABC$和$\triangle ADE$相似。
根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似。
我们已经知道$\angle DAB=\angle CAE$，因此，我们需要补充的条件应使得另一组对应角相等，或者两组对应边的比相等且夹角相等。
观察图形，我们可以看到，如果$\angle B=\angle D$或者$\angle C=\angle AED$，那么根据相似三角形的判定定理（AA判定），$\triangle ABC$和$\triangle ADE$就会相似。
同样，我们也可以通过边的关系来判定，如果$ \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$且$\angle DAB=\angle CAE$（SAS判定），那么$\triangle ABC$和$\triangle ADE$也会相似。
但题目只要求补充一个条件，所以我们选择最直接的角度相等条件。
【答案】：
$\angle B=\angle D$（答案不唯一，$\angle C=\angle AED$或$ \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$等也可）。

13. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 2BC$,以点$B$为圆心,$BC$长为半径画弧,与$AC交于点D$. 若$AC = 1\space cm$,则$CD= $$cm$.

解：设 $ BC = x $，因为 $ AB = AC = 2BC $，且 $ AC = 1\space cm $，所以 $ 2x = 1 $，解得 $ x = \frac{1}{2}\space cm $，即 $ BC = BD = \frac{1}{2}\space cm $，$ AB = 1\space cm $。
设 $ CD = y $，则 $ AD = AC - CD = 1 - y $。
在 $ \triangle ABC $ 中，由余弦定理得：$ \cos C = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{(\frac{1}{2})^2 + 1^2 - 1^2}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{1}{4}}{1} = \frac{1}{4} $。
在 $ \triangle BCD $ 中，由余弦定理得：$ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C $，即 $ (\frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 + y^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot y \cdot \frac{1}{4} $。
化简得：$ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + y^2 - \frac{y}{4} $，移项得 $ y^2 - \frac{y}{4} = 0 $，解得 $ y(y - \frac{1}{4}) = 0 $，所以 $ y = 0 $（舍去）或 $ y = \frac{1}{4} $。
故 $ CD = \frac{1}{4}\space cm $。
$\frac{1}{4}$

14. 如图所示,取一张长为$a$、宽为$b$的矩形纸片,将它对折两次后得到一张小矩形纸片. 若要使小矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的边$a$,$b$应满足的条件是.

解：由图可知，对折两次均沿长度为$a$的边的中点进行对折。
第一次对折后，矩形的长为$b$，宽为$\frac{a}{2}$；
第二次对折后，小矩形的长为$\frac{a}{2}$，宽为$\frac{b}{2}$。
因为小矩形与原矩形相似，所以它们的对应边成比例。
原矩形长为$a$，宽为$b$；小矩形长为$\frac{a}{2}$，宽为$\frac{b}{2}$。
分两种情况：
情况一：$\frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}}$，化简得$\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$，此式恒成立，但需考虑另一种对应情况。
情况二：$\frac{a}{b}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}}$，即$\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$，交叉相乘得$a^2 = b^2$，解得$a = b$（$a=-b$舍去，边长为正数）。
又因为对折后小矩形的长和宽需与原矩形对应，结合图形实际比例，第一种情况中$\frac{a}{2}＞\frac{b}{2}$时，小矩形长为$\frac{a}{2}$，宽为$\frac{b}{2}$，原矩形长为$a$，宽为$b$，应满足$\frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}}$不改变比例，而要使相似成立且有意义，实际应为$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{2}}$（第一次对折后宽为$\frac{a}{2}$，第二次对折后长为$\frac{a}{2}$，宽为$\frac{b}{2}$，正确对应应为原矩形长$a$对应小矩形长$\frac{a}{2}$，原矩形宽$b$对应小矩形宽$\frac{b}{2}$不成立，应为原矩形长$a$对应小矩形宽$\frac{b}{2}$，原矩形宽$b$对应小矩形长$\frac{a}{2}$），即$\frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}}$错误，正确比例为$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{2}}$，解得$a^2 = 2b^2$，$a = \sqrt{2}b$（$a=-\sqrt{2}b$舍去）。
综上，正确比例为$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{2}}$，解得$a = \sqrt{2}b$。
故原矩形纸片的边$a$，$b$应满足的条件是$a = \sqrt{2}b$。
答案：$a = \sqrt{2}b$

15. 如图所示,$AB是\odot O$的直径,点$C$在圆上,直线$l经过点C$,且$l// AB$,$P为直线l$上一个动点,若$AC = 4$,$BC = 3$,以$P$,$A$,$C为顶点的三角形与\triangle ABC$相似,则$PC$的长为.

1. 首先，根据勾股定理求$AB$的长度：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
已知$AC = 4$，$BC = 3$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，即$AB=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=5$。
因为$l// AB$，所以$\angle PCA=\angle CAB$。
2. 然后，分情况讨论相似三角形：
情况一：当$\triangle PCA\sim\triangle CAB$时：
根据相似三角形的性质$\frac{PC}{CA}=\frac{CA}{AB}$。
已知$AC = 4$，$AB = 5$，代入可得$\frac{PC}{4}=\frac{4}{5}$，解得$PC=\frac{16}{5}$。
情况二：当$\triangle PCA\sim\triangle BAC$时：
根据相似三角形的性质$\frac{PC}{BA}=\frac{CA}{AC}$（此时$\frac{PC}{AB}=\frac{AC}{AC}=1$），即$PC = AB$，但这种情况不符合$l// AB$（因为若$PC = AB$且$l// AB$，则四边形$ABCP$是平行四边形，$\angle ACB=\angle CAP = 90^{\circ}$，$P$不在圆上，舍去）；
重新考虑相似比，因为$\angle PCA=\angle CAB$，当$\triangle PCA\sim\triangle BCA$时，$\frac{PC}{BC}=\frac{CA}{AB}$。
已知$AC = 4$，$BC = 3$，$AB = 5$，代入$\frac{PC}{3}=\frac{4}{5}$，解得$PC=\frac{12}{5}$；
当$\triangle PCA\sim\triangle ABC$时，$\frac{PC}{AB}=\frac{AC}{BC}$，$PC=\frac{AC\cdot AB}{BC}=\frac{4×5}{3}=\frac{20}{3}$（舍去，因为$l// AB$，根据圆的性质和相似三角形的边的关系，这种情况不成立）；
当$\triangle PCA\sim\triangle CBA$时，$\frac{PC}{BC}=\frac{AC}{BA}$，$PC=\frac{AC\cdot BC}{AB}$，$PC=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$；当$\triangle PCA\sim\triangle CAB$时，$PC=\frac{16}{5}$。
所以$PC$的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$。