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7. 用公式法解下列方程:
(1)$-4x^{2}+12x= 9;$
(2)$x(x-3)= 4;$
(3)$x^{2}-3\sqrt {2}x+2= 0;$
(4)$(x-1)(2x+1)= 2.$
(1)$-4x^{2}+12x= 9;$
(2)$x(x-3)= 4;$
(3)$x^{2}-3\sqrt {2}x+2= 0;$
(4)$(x-1)(2x+1)= 2.$
答案
(1) 解：
原方程为 $-4x^{2} + 12x = 9$，
移项得 $-4x^{2} + 12x - 9 = 0$，
两边同时除以-1，得 $4x^{2} - 12x + 9 = 0$，
其中，$a = 4$，$b = -12$，$c = 9$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-12)^{2} - 4 × 4 × 9 = 0$，
因为 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，
根据求根公式，得 $x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$，
所以 $x_{1} = x_{2} = \frac{3}{2}$。
(2) 解：
原方程为 $x(x - 3) = 4$，
展开得 $x^{2} - 3x - 4 = 0$，
其中，$a = 1$，$b = -3$，$c = -4$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 × 1 × (-4) = 25$，
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式，得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{2}$，
所以 $x_{1} = 4$，$x_{2} = -1$。
(3) 解：
原方程为 $x^{2} - 3\sqrt{2}x + 2 = 0$，
其中，$a = 1$，$b = -3\sqrt{2}$，$c = 2$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3\sqrt{2})^{2} - 4 × 1 × 2 = 10$，
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式，得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{10}}{2}$，
所以 $x_{1} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$，$x_{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$。
(4) 解：
原方程为 $(x - 1)(2x + 1) = 2$，
展开得 $2x^{2} - x - 3 = 0$，
其中，$a = 2$，$b = -1$，$c = -3$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 2 × (-3) = 25$，
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式，得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{4}$，
所以 $x_{1} = \frac{3}{2}$，$x_{2} = -1$。
原方程为 $-4x^{2} + 12x = 9$，
移项得 $-4x^{2} + 12x - 9 = 0$，
两边同时除以-1，得 $4x^{2} - 12x + 9 = 0$，
其中，$a = 4$，$b = -12$，$c = 9$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-12)^{2} - 4 × 4 × 9 = 0$，
因为 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，
根据求根公式，得 $x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$，
所以 $x_{1} = x_{2} = \frac{3}{2}$。
(2) 解：
原方程为 $x(x - 3) = 4$，
展开得 $x^{2} - 3x - 4 = 0$，
其中，$a = 1$，$b = -3$，$c = -4$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 × 1 × (-4) = 25$，
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式，得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{2}$，
所以 $x_{1} = 4$，$x_{2} = -1$。
(3) 解：
原方程为 $x^{2} - 3\sqrt{2}x + 2 = 0$，
其中，$a = 1$，$b = -3\sqrt{2}$，$c = 2$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3\sqrt{2})^{2} - 4 × 1 × 2 = 10$，
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式，得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{10}}{2}$，
所以 $x_{1} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$，$x_{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$。
(4) 解：
原方程为 $(x - 1)(2x + 1) = 2$，
展开得 $2x^{2} - x - 3 = 0$，
其中，$a = 2$，$b = -1$，$c = -3$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 2 × (-3) = 25$，
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式，得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{4}$，
所以 $x_{1} = \frac{3}{2}$，$x_{2} = -1$。
8. 已知$\triangle ABC$的两边AB,AC的长是关于x的方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2= 0$的两个实数根,第三边BC的长为5,则k取何值时,$\triangle ABC$是以BC为斜边的直角三角形?
答案
要使△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则需满足$AB^2 + AC^2 = BC^2$，其中$BC = 5$，即$AB^2 + AC^2 = 25$。
步骤1：求方程两根之和与两根之积
方程$x^2 - (2k + 3)x + k^2 + 3k + 2 = 0$中，$a = 1$，$b = -(2k + 3)$，$c = k^2 + 3k + 2$。
设$AB$、$AC$为方程两根，则：
$AB + AC = 2k + 3$，$AB \cdot AC = k^2 + 3k + 2$。
步骤2：利用勾股定理建立方程
$AB^2 + AC^2 = (AB + AC)^2 - 2AB \cdot AC$，代入得：
$(2k + 3)^2 - 2(k^2 + 3k + 2) = 25$。
步骤3：化简并解方程
展开化简：
$4k^2 + 12k + 9 - 2k^2 - 6k - 4 = 25$
$2k^2 + 6k - 20 = 0$
$k^2 + 3k - 10 = 0$
因式分解：$(k + 5)(k - 2) = 0$，解得$k = -5$或$k = 2$。
步骤4：检验合理性
$k = -5$时，$AB + AC = 2(-5) + 3 = -7 ＜ 0$，边长不能为负，舍去。
$k = 2$时，$AB + AC = 7 ＞ 0$，$AB \cdot AC = 12 ＞ 0$，符合题意。
结论
$k = 2$。
$\boxed{2}$
步骤1：求方程两根之和与两根之积
方程$x^2 - (2k + 3)x + k^2 + 3k + 2 = 0$中，$a = 1$，$b = -(2k + 3)$，$c = k^2 + 3k + 2$。
设$AB$、$AC$为方程两根，则：
$AB + AC = 2k + 3$，$AB \cdot AC = k^2 + 3k + 2$。
步骤2：利用勾股定理建立方程
$AB^2 + AC^2 = (AB + AC)^2 - 2AB \cdot AC$，代入得：
$(2k + 3)^2 - 2(k^2 + 3k + 2) = 25$。
步骤3：化简并解方程
展开化简：
$4k^2 + 12k + 9 - 2k^2 - 6k - 4 = 25$
$2k^2 + 6k - 20 = 0$
$k^2 + 3k - 10 = 0$
因式分解：$(k + 5)(k - 2) = 0$，解得$k = -5$或$k = 2$。
步骤4：检验合理性
$k = -5$时，$AB + AC = 2(-5) + 3 = -7 ＜ 0$，边长不能为负，舍去。
$k = 2$时，$AB + AC = 7 ＞ 0$，$AB \cdot AC = 12 ＞ 0$，符合题意。
结论
$k = 2$。
$\boxed{2}$
