7. 当k为何值时,关于x的方程$x^{2}-(2k-1)x= -k^{2}+2k+3,$
(1)有两个不相等的实数根?
(2)有两个相等的实数根?
(3)没有实数根?

(1)$k＞-\frac{13}{4}$；(2)$k=-\frac{13}{4}$；(3)$k＜-\frac{13}{4}$。

将方程$x^{2}-(2k-1)x=-k^{2}+2k+3$化为标准形式，得$x^{2}-(2k-1)x+k^{2}-2k-3=0$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，其中$a=1$，$b=-(2k-1)$，$c=k^{2}-2k-3$。
$\Delta=(2k-1)^{2}-4×1×(k^{2}-2k-3)=4k^{2}-4k+1-4k^{2}+8k+12=4k+13$
（1）当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，即$4k+13＞0$，解得$k＞-\frac{13}{4}$。
（2）当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，即$4k+13=0$，解得$k=-\frac{13}{4}$。
（3）当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，即$4k+13＜0$，解得$k＜-\frac{13}{4}$。

8. 已知关于x的方程$x^{2}-(k+2)x+2k= 0.$
(1)试说明:无论k取任何实数值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长$a= 1$,另两边b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.

(1)证明：方程$x^{2}-(k+2)x+2k=0$中，$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=2k$，判别式$\Delta =b^{2}-4ac=[-(k+2)]^{2}-4×1×2k=k^{2}+4k+4-8k=k^{2}-4k+4=(k-2)^{2}$。因为$(k-2)^{2}\geq0$，即$\Delta\geq0$，所以无论$k$取任何实数值，方程总有实数根。
(2)①当$b=c$时，方程有两个相等实根，$\Delta=0$，即$(k-2)^{2}=0$，$k=2$。此时方程为$x^{2}-4x+4=0$，解得$x_{1}=x_{2}=2$，即$b=c=2$。三角形三边为1，2，2，满足三角形三边关系，周长为$1+2+2=5$。
②当$b=1$或$c=1$时，将$x=1$代入方程得$1-(k+2)+2k=0$，解得$k=1$。此时方程为$x^{2}-3x+2=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$，即$b=1$，$c=2$或$b=2$，$c=1$。三角形三边为1，1，2，不满足三角形三边关系（$1+1=2$），舍去。
综上，$\triangle ABC$的周长为$5$。