1.(深圳)用配方法将代数式$a^{2}+4a-5$变形,结果正确的是 ()
A.$(a+2)^{2}-1$
B.$(a+2)^{2}-5$
C.$(a+2)^{2}+4$
D.$(a+2)^{2}-9$

D。

首先，考虑代数式 $a^2 + 4a - 5$。
为了将其变形为完全平方的形式，需要找到一个数，使得 $a^2 + 4a$ 可以变成一个完全平方。
观察 $a^2 + 4a$，可以尝试加上和减去 $4$（因为 $4$ 是 $4a$ 中系数的一半的平方，即 $2^2 = 4$），从而得到：
$a^2 + 4a - 5 = a^2 + 4a + 4 - 4 - 5$，
这样，前三项就构成了一个完全平方：
$= (a + 2)^2 - 9$。

2.(长沙)已知关于$x的方程x^{2}-kx-6= 0的一个根是x= 3$,则实数$k$的值为 ()
A.1
B.-1
C.2
D.-2

答题卡：
题目：已知关于$x$的方程$x^{2}-kx-6=0$的一个根是$x=3$，则实数$k$的值为 ( )
解答：
1. 将$x=3$代入方程$x^{2}-kx-6=0$，得：
$3^{2} - 3k - 6 = 0$
2. 化简得：
$9 - 3k - 6 = 0$
$3 - 3k = 0$
3. 解得：
$k = 1$
故答案为：A. 1

3.(潍坊)关于$x的方程(a-6)x^{2}-8x+6= 0$有实数根,则整数$a$的最大值是 ()
A.6
B.7
C.8
D.9

分两种情况考虑：
若$a - 6 = 0$，即$a = 6$时，原方程为$-8x + 6 = 0$，
解得$x=\frac{3}{4}$，有实数根。
若$a - 6\neq 0$，即$a\neq 6$时，方程$(a - 6)x^{2}-8x + 6 = 0$是一元二次方程，
根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，这里$a = a - 6$，$b = -8$，$c = 6$，
则$\Delta=(-8)^{2}-4×(a - 6)×6=64 - 24a + 144 = 208 - 24a$。
因为方程有实数根，所以$\Delta\geqslant0$，
即$208 - 24a\geqslant0$，
$24a\leqslant208$，
解得$a\leqslant\frac{26}{3}\approx8.67$。
又因为$a\neq 6$且$a$为整数，所以$a$可以取$7$，$8$。
综合两种情况，整数$a$的取值为$6$，$7$，$8$，所以整数$a$的最大值是$8$。
答案选C。

4.(贵州)若$x^{2}-9= 0$,则$\frac{x^{2}-5x+6}{x-3}$的值为 ()
A.1
B.-5
C.1或-5
D.0

B

由题意得 $x^2 - 9 = 0$，即 $(x+3)(x-3)=0$，解得 $x = 3$ 或 $x = -3$。
当 $x = 3$ 时，分母 $x-3 = 0$，分式无意义。
当 $x = -3$ 时，代入分式 $\frac{x^2 - 5x + 6}{x-3}$：
分子 $x^2 - 5x + 6 = (-3)^2 - 5(-3) + 6 = 9 + 15 + 6 = 30$，
分母 $x-3 = -3-3 = -6$，
所以分式值为 $\frac{30}{-6} = -5$。

5.(眉山)一元二次方程$x^{2}-3x-1= 0与x^{2}-x+3= 0$的所有实数根的和等于 ()
A.2
B.-4
C.4
D.3

1. 对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，当 $\Delta\gt0$ 时，方程有两个不相等的实数根；当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；当 $\Delta\lt0$ 时，方程没有实数根。
对于方程 $x^{2}-3x - 1=0$，其中 $a = 1$，$b=-3$，$c = - 1$，则 $\Delta_{1}=(-3)^{2}-4×1×(-1)=9 + 4=13\gt0$，设其两根为 $x_{1}$，$x_{2}$，根据韦达定理 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$。
对于方程 $x^{2}-x + 3=0$，其中 $a = 1$，$b=-1$，$c = 3$，则 $\Delta_{2}=(-1)^{2}-4×1×3=1 - 12=-11\lt0$，此方程无实数根。
2. 因为方程 $x^{2}-x + 3=0$ 无实数根，所以一元二次方程 $x^{2}-3x - 1=0$ 与 $x^{2}-x + 3=0$ 的所有实数根的和就是方程 $x^{2}-3x - 1=0$ 的两根之和，即 $3$。
答案选D。

6.(潍坊)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-6x+k+1= 0的两个实数根是x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 24$,则$k$的值是 ()
A.8
B.-7
C.6
D.5

1. 根据韦达定理，对于一元二次方程 $x^2 - 6x + k + 1 = 0$，设其两个实数根为 $x_1$ 和 $x_2$，则有：
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = k + 1$
2. 已知 $x_1^2 + x_2^2 = 24$，利用平方和公式：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2$
代入已知条件：
$24 = 6^2 - 2(k + 1)$
$24 = 36 - 2k - 2$
$24 = 34 - 2k$
3. 解方程求 $k$：
$2k = 34 - 24$
$2k = 10$
$k = 5$
4. 验证判别式 $\Delta$ 确保方程有实数根：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k + 1) = 36 - 4k - 4 = 32 - 4k$
当 $k = 5$ 时，$\Delta = 32 - 4 \cdot 5 = 32 - 20 = 12 ＞ 0$，满足条件。
故答案选 D.5。

7.(青岛)已知$\alpha^{2}+\alpha-1= 0$,$\beta^{2}+\beta-1= 0$,且$\alpha\neq\beta$,则$\alpha\beta+\alpha+\beta$的值为 ()
A.2
B.-2
C.-1
D.0

答题卡：
解：
由于 $\alpha^{2} + \alpha - 1 = 0$ 和 $\beta^{2} + \beta - 1 = 0$，且 $\alpha \neq \beta$，
我们可以推断 $\alpha$ 和 $\beta$ 是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根。
根据二次方程的性质，对于方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个根 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足：
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$，
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$，
将方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的系数代入上述公式，得到：
$\alpha + \beta = -1$，
$\alpha\beta = -1$，
所以，$\alpha\beta + \alpha + \beta = -1 + (-1) = -2$。
故答案为：B. $-2$。

8.(潍坊)已知反比例函数$y= \frac{ab}{x}$,当$x＞0$时,$y随x$的增大而增大,则关于$x的方程ax^{2}-2x+b= 0$的根的情况是 ()
A.有两个正根
B.有两个负根
C.有一个正根一个负根
D.没有实数根

因为反比例函数$y = \frac{ab}{x}$当$x ＞ 0$时$y$随$x$增大而增大，所以$ab ＜ 0$。
方程$ax^2 - 2x + b = 0$的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4ab = 4 - 4ab$，由于$ab ＜ 0$，则$-4ab ＞ 0$，故$\Delta = 4 - 4ab ＞ 0$，方程有两个不等实根。
由韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{b}{a}$，因为$ab ＜ 0$，所以$\frac{b}{a} = \frac{ab}{a^2} ＜ 0$，两根之积为负，即两根异号。
综上，方程有一个正根一个负根。
C

9.(淄博)若关于$x的一元二次方程x^{2}+kx+4k^{2}-3= 0的两个实数根分别是x_{1},x_{2}$,且满足$x_{1}+x_{2}= x_{1}x_{2}$,则$k$的值是 ()
A.-1或$\frac{3}{4}$
B.-1
C.$\frac{3}{4}$
D.不存在

C

根据一元二次方程的根与系数关系，对于方程 $x^2 + kx + 4k^2 - 3 = 0$，有：
$x_1 + x_2 = -k$，
$x_1 \cdot x_2 = 4k^2 - 3$。
根据题意 $x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2$，代入得：
$-k = 4k^2 - 3$，
移项得到：
$4k^2 + k - 3 = 0$，
因式分解为：
$(4k - 3)(k + 1) = 0$，
解得：
$k = \frac{3}{4} \quad 或 \quad k = -1$。
验证这两个解是否满足原方程有两个实数根的条件，即判别式 $\Delta \geq 0$。
判别式为：
$\Delta = k^2 - 4(4k^2 - 3) = k^2 - 16k^2 + 12 = 12 - 15k^2$，
当 $k = \frac{3}{4}$ 时，
$\Delta = 12 - 15 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 12 - \frac{135}{16} = \frac{192}{16} - \frac{135}{16} = \frac{57}{16} ＞ 0$，
满足条件。
当 $k = -1$ 时，
$\Delta = 12 - 15(-1)^2 = 12 - 15 = -3 ＜ 0$，
不满足条件。
因此，只有 $k = \frac{3}{4}$ 满足所有条件。