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11. 定义一种新运算$a\triangle b = a + b - 2$,则$(-10)\triangle3= $
-9
。答案
-9 解析:$(-10)\triangle3=-10+3-2=-9$。
12. 一条鲨鱼在水下$55m$的位置垂直往下追逐猎物,当它向下游$42m$后追上猎物,此时猎物做垂死挣扎立刻反向向上游,鲨鱼紧紧尾随,又游了$10m$后将猎物一口吞吃。
(1)求鲨鱼吃掉猎物时所在的位置；
(2)与刚开始鲨鱼的位置相比,鲨鱼的最后位置有什么变化？
(1)求鲨鱼吃掉猎物时所在的位置；
(2)与刚开始鲨鱼的位置相比,鲨鱼的最后位置有什么变化？
答案
解析:本题主要考查利用有理数的加减混合运算解决实际问题。向上游与向下游具有相反意义,若设鲨鱼向上游为正,则向下游为负。求出几个有理数的和,就可以判断鲨鱼吃掉猎物时所在的位置。解:
(1)设鲨鱼向上游为正,在水下55 m记为-55 m。依据题意可知,鲨鱼吃掉猎物时所在的位置是-55-42+10=-97+10=-87(m)。答:鲨鱼在水下87 m处吃掉猎物。
(2)-87-(-55)=-32(m)。答:与刚开始鲨鱼的位置相比,鲨鱼向下游了32 m。
(1)设鲨鱼向上游为正,在水下55 m记为-55 m。依据题意可知,鲨鱼吃掉猎物时所在的位置是-55-42+10=-97+10=-87(m)。答:鲨鱼在水下87 m处吃掉猎物。
(2)-87-(-55)=-32(m)。答:与刚开始鲨鱼的位置相比,鲨鱼向下游了32 m。
13. 已知$\vert a\vert=3$,$\vert b\vert=1$,$\vert c\vert=5$,且$\vert a + b\vert=a + b$,$\vert a + c\vert=-(a + c)$,求$a - b + c$的值。
答案
解:由$|a+b|=a+b$可得a=3,由$|a+c|=-(a+c)$可得c=-5。当b=1时,$a-b+c=3-1+(-5)=-3$;当b=-1时,$a-b+c=3-(-1)+(-5)=-1$。所以$a-b+c$的值是-3或-1。
解析
解:由$|a|=3$得$a=\pm3$，由$|b|=1$得$b=\pm1$，由$|c|=5$得$c=\pm5$。
由$|a+b|=a+b$可得$a+b\geq0$，则$a=3$；
由$|a+c|=-(a+c)$可得$a+c\leq0$，则$c=-5$。
当$b=1$时，$a - b + c=3 - 1 + (-5)=-3$；
当$b=-1$时，$a - b + c=3 - (-1) + (-5)=-1$。
所以$a - b + c$的值是$-3$或$-1$。
由$|a+b|=a+b$可得$a+b\geq0$，则$a=3$；
由$|a+c|=-(a+c)$可得$a+c\leq0$，则$c=-5$。
当$b=1$时，$a - b + c=3 - 1 + (-5)=-3$；
当$b=-1$时，$a - b + c=3 - (-1) + (-5)=-1$。
所以$a - b + c$的值是$-3$或$-1$。
14. 小彬和晓丽做抽卡片游戏,游戏规则如下：
(1)每人抽取$4$张卡片,如果抽到圆圈卡片,那么加上卡片上的数；如果抽到阴影卡片,那么减去卡片上的数。
(2)比较两人所抽$4$张卡片的计算结果,结果大的为胜者。
小彬抽到了如图①所示的$4$张卡片,晓丽抽到了如图②所示的$4$张卡片。
(1)每人抽取$4$张卡片,如果抽到圆圈卡片,那么加上卡片上的数；如果抽到阴影卡片,那么减去卡片上的数。
(2)比较两人所抽$4$张卡片的计算结果,结果大的为胜者。
小彬抽到了如图①所示的$4$张卡片,晓丽抽到了如图②所示的$4$张卡片。
答案
解:小彬的结果是$-(-\frac{1}{2})+(-\frac{3}{2})-(-5)+4=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+5+4=8$。晓丽的结果是$(-\frac{1}{3})-(-\frac{7}{6})-0+5=-\frac{1}{3}+\frac{7}{6}-0+5=5\frac{5}{6}$。因为$8＞5\frac{5}{6}$,所以小彬获胜。
(数学应用)我国古代的“河图”由$3×3$的方格构成,每个格内均有数目不等的点图,每一行、每一列以及每条对角线上的三个点图的点数之和均相等。如图,给出了“河图”的部分点图,你能推算出$M$处所对应的点图吗？试试看。
答案
M处所对应的点图是“
”。解析
设每行、每列、每条对角线的点数之和为$ S $。
第三列三个数分别为$ 0 $（第一行第三列，图中无点）、$ 0 $（第二行第三列，图中无点）、$ 3 $（第三行第三列，图中有3个点），则$ S=0 + 0 + 3=3 $。
第一列三个数分别为$ 4 $（第一行第一列，图中有4个点）、$ 5 $（第二行第一列，图中有5个点）、$ M $（第三行第一列），则$ 4 + 5 + M=S=3 $，解得$ M=3 - 4 - 5=-6 $。
由于点数不能为负数，上述假设错误，重新观察图形，第一行第三列和第二行第三列应为空白（点数为0），第三行第三列有3个点，对角线（从左上到右下）为第一行第一列4个点、第二行第二列（图中有5个点）、第三行第三列3个点，所以$ S=4 + 5 + 3=12 $。
第三列：第一行第三列点数设为$ a $，第二行第三列点数设为$ b $，第三行第三列3个点，$ a + b + 3=12 $，即$ a + b=9 $。
第一行：第一列4个点，第二列（图中有4个点），第三列$ a $，$ 4 + 4 + a=12 $，解得$ a=4 $，则$ b=9 - 4=5 $。
第二行：第一列设为$ c $，第二列5个点，第三列$ b=5 $，$ c + 5 + 5=12 $，解得$ c=2 $。
第三行第一列$ M $，第二列设为$ d $，第三列3个点，$ M + d + 3=12 $，即$ M + d=9 $。
第一列：4（第一行）、$ c=2 $（第二行）、$ M $（第三行），$ 4 + 2 + M=12 $，解得$ M=6 $。
M处所对应的点图是“
”。
第三列三个数分别为$ 0 $（第一行第三列，图中无点）、$ 0 $（第二行第三列，图中无点）、$ 3 $（第三行第三列，图中有3个点），则$ S=0 + 0 + 3=3 $。
第一列三个数分别为$ 4 $（第一行第一列，图中有4个点）、$ 5 $（第二行第一列，图中有5个点）、$ M $（第三行第一列），则$ 4 + 5 + M=S=3 $，解得$ M=3 - 4 - 5=-6 $。
由于点数不能为负数，上述假设错误，重新观察图形，第一行第三列和第二行第三列应为空白（点数为0），第三行第三列有3个点，对角线（从左上到右下）为第一行第一列4个点、第二行第二列（图中有5个点）、第三行第三列3个点，所以$ S=4 + 5 + 3=12 $。
第三列：第一行第三列点数设为$ a $，第二行第三列点数设为$ b $，第三行第三列3个点，$ a + b + 3=12 $，即$ a + b=9 $。
第一行：第一列4个点，第二列（图中有4个点），第三列$ a $，$ 4 + 4 + a=12 $，解得$ a=4 $，则$ b=9 - 4=5 $。
第二行：第一列设为$ c $，第二列5个点，第三列$ b=5 $，$ c + 5 + 5=12 $，解得$ c=2 $。
第三行第一列$ M $，第二列设为$ d $，第三列3个点，$ M + d + 3=12 $，即$ M + d=9 $。
第一列：4（第一行）、$ c=2 $（第二行）、$ M $（第三行），$ 4 + 2 + M=12 $，解得$ M=6 $。
M处所对应的点图是“
”。