登录
9. 用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，应假设 【 】
A.有三个直角
B.有四个直角
C.至少有四个内角是直角
D.至少有五个内角是直角
A.有三个直角
B.有四个直角
C.至少有四个内角是直角
D.至少有五个内角是直角
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。首先提取原命题的结论：“一个多边形最多有四个内角是直角”，“最多有四个”的含义是直角的数量≤4，它的反面就是直角的数量＞4，也就是至少有5个内角是直角。再逐一排除错误选项：A选项有三个直角、B选项有四个直角都符合原结论的情况，不是结论的反面；C选项“至少有四个”包含了四个的情况，也不符合结论的否定，只有D符合要求。
【解析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论为“一个多边形最多有四个内角是直角”，其中“最多有四个”表示直角数量≤4，其反面为直角数量＞4，也就是至少有五个内角是直角。
因此应假设“至少有五个内角是直角”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的假设环节，解题的核心是准确理解“最多n个”这类限定性表述的否定形式，属于反证法的基础题型，熟练掌握反证法的假设规则即可快速作答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。首先提取原命题的结论：“一个多边形最多有四个内角是直角”，“最多有四个”的含义是直角的数量≤4，它的反面就是直角的数量＞4，也就是至少有5个内角是直角。再逐一排除错误选项：A选项有三个直角、B选项有四个直角都符合原结论的情况，不是结论的反面；C选项“至少有四个”包含了四个的情况，也不符合结论的否定，只有D符合要求。
【解析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论为“一个多边形最多有四个内角是直角”，其中“最多有四个”表示直角数量≤4，其反面为直角数量＞4，也就是至少有五个内角是直角。
因此应假设“至少有五个内角是直角”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的假设环节，解题的核心是准确理解“最多n个”这类限定性表述的否定形式，属于反证法的基础题型，熟练掌握反证法的假设规则即可快速作答。
【难度系数】
0.7
10. 用反证法证明“a、b至少有一个是0”时，应假设 【 】
A.a、b都不是0
B.a、b只有一个是0
C.a、b至多有一个是0
D.a、b都是0
A.a、b都不是0
B.a、b只有一个是0
C.a、b至多有一个是0
D.a、b都是0
答案
A
解析
【分析】
首先回忆反证法的解题逻辑：反证法的第一步是对原命题的结论进行否定，即假设原结论不成立。接下来明确本题原命题的结论是“a、b至少有一个是0”，“至少有一个是0”的含义是a、b中存在1个及以上是0，要找它的反面，就是a、b中0的个数为0，也就是两个都不是0，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：使用反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，即否定原结论。
本题原命题的结论为“a、b至少有一个是0”，“至少有一个是0”包含“一个为0、另一个不为0”和“两个都为0”两种情况，其否定为上述两种情况都不成立，即“a、b都不是0”，因此应假设a、b都不是0，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的反设步骤，解题关键是准确掌握“至少有一个”这类常见量词表述的否定形式，属于基础题，掌握反证法基本规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆反证法的解题逻辑：反证法的第一步是对原命题的结论进行否定，即假设原结论不成立。接下来明确本题原命题的结论是“a、b至少有一个是0”，“至少有一个是0”的含义是a、b中存在1个及以上是0，要找它的反面，就是a、b中0的个数为0，也就是两个都不是0，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：使用反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，即否定原结论。
本题原命题的结论为“a、b至少有一个是0”，“至少有一个是0”包含“一个为0、另一个不为0”和“两个都为0”两种情况，其否定为上述两种情况都不成立，即“a、b都不是0”，因此应假设a、b都不是0，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的反设步骤，解题关键是准确掌握“至少有一个”这类常见量词表述的否定形式，属于基础题，掌握反证法基本规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
11. 用反证法证明“若$a ≥ b ＞ 0$，则$a^2 ≥ b^2$”时，应假设：
$a^2 ＜ b^2$
。答案
11. $a^2 ＜ b^2$
解析
【分析】
解答本题首先要明确反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立。首先定位原命题的结论：本题要证明的结论是“$a^2 ≥ b^2$”，接下来需要写出这个结论的反面，不等号“≥”表示大于或等于，它的否定是既不大于也不等于，也就是“＜”，因此直接写出假设内容即可。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题中命题的结论是$a^2 ≥ b^2$，其反面为$a^2 ＜ b^2$，因此应假设$a^2 ＜ b^2$。
【答案】
$a^2 ＜ b^2$
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题的核心是明确反证法第一步是对结论进行否定，而非否定条件，同时要准确掌握常见不等号的否定形式，避免出现否定错误，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立。首先定位原命题的结论：本题要证明的结论是“$a^2 ≥ b^2$”，接下来需要写出这个结论的反面，不等号“≥”表示大于或等于，它的否定是既不大于也不等于，也就是“＜”，因此直接写出假设内容即可。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题中命题的结论是$a^2 ≥ b^2$，其反面为$a^2 ＜ b^2$，因此应假设$a^2 ＜ b^2$。
【答案】
$a^2 ＜ b^2$
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题的核心是明确反证法第一步是对结论进行否定，而非否定条件，同时要准确掌握常见不等号的否定形式，避免出现否定错误，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
12. 小明在用反证法证明“在$△ ABC$中，已知$AB=AC$，求证：$∠ B＜90°$”时，写出了下面的四个推理步骤：①因为$∠ A＞0°$，所以$∠ A+∠ B+∠ C＞180°$，这与三角形的内角和定理相矛盾；②所以$∠ B＜90°$；③假设$∠ B≥90°$；④由$AB=AC$，得$∠ B=∠ C$，所以$∠ C≥90°$。请写出这四个步骤的正确顺序
③④①②
.(只填序号)答案
12. ③④①②
解析
【分析】
解答本题需先明确反证法的基本逻辑流程：第一步反设，即假设原命题的结论不成立；第二步归谬，即结合已知条件推导，得出与定理、公理等矛盾的结果；第三步结论，即由矛盾判定假设错误，原结论成立。按照这个逻辑梳理四个步骤：首先找到反设的内容对应步骤③；再结合已知AB=AC的条件推导对应步骤④；接着推导得出与内角和定理矛盾的结果对应步骤①；最后得出原结论正确对应步骤②，即可排出正确顺序。
【解析】
反证法的证明流程为反设→归谬→结论，按此排序如下：
1. 反设：首先假设命题结论“$∠ B＜90°$”不成立，即③假设$∠ B≥ 90°$；
2. 结合已知推导：已知$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质可得$∠ B=∠ C$，因此推出④$∠ C≥ 90°$；
3. 推导矛盾：三角形的内角$∠ A＞0°$，因此$∠ A+∠ B+∠ C＞0°+90°+90°=180°$，这与三角形内角和为$180°$的定理矛盾，对应步骤①；
4. 得出结论：矛盾说明假设不成立，因此原结论成立，即②所以$∠ B＜90°$。
因此四个步骤的正确顺序为③④①②。
【答案】
③④①②
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的证明逻辑，解题核心是熟记反证法的三步流程，结合已知条件逐步推导即可，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.8
解答本题需先明确反证法的基本逻辑流程：第一步反设，即假设原命题的结论不成立；第二步归谬，即结合已知条件推导，得出与定理、公理等矛盾的结果；第三步结论，即由矛盾判定假设错误，原结论成立。按照这个逻辑梳理四个步骤：首先找到反设的内容对应步骤③；再结合已知AB=AC的条件推导对应步骤④；接着推导得出与内角和定理矛盾的结果对应步骤①；最后得出原结论正确对应步骤②，即可排出正确顺序。
【解析】
反证法的证明流程为反设→归谬→结论，按此排序如下：
1. 反设：首先假设命题结论“$∠ B＜90°$”不成立，即③假设$∠ B≥ 90°$；
2. 结合已知推导：已知$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质可得$∠ B=∠ C$，因此推出④$∠ C≥ 90°$；
3. 推导矛盾：三角形的内角$∠ A＞0°$，因此$∠ A+∠ B+∠ C＞0°+90°+90°=180°$，这与三角形内角和为$180°$的定理矛盾，对应步骤①；
4. 得出结论：矛盾说明假设不成立，因此原结论成立，即②所以$∠ B＜90°$。
因此四个步骤的正确顺序为③④①②。
【答案】
③④①②
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的证明逻辑，解题核心是熟记反证法的三步流程，结合已知条件逐步推导即可，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.8
13. 如图，直线a、b被直线c所截，$∠ 1$、$∠ 2$是同位角，且$∠ 1 ≠ ∠ 2$.求证：a不平行于b. 
（第13题）
（第13题）答案
假设 $a // b$,则 $∠ 1=∠ 2$,这与 $∠ 1 ≠ ∠ 2$ 相矛盾, $\therefore$ 假设不成立. $\therefore a$ 不平行于 $b$
解析
【分析】
本题需要证明“a不平行于b”这类否定性结论，适合采用反证法求解。思路可分为四步：第一步反设，假设原结论不成立，即a平行于b；第二步推导，根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，可得出∠1=∠2；第三步找矛盾，该推导结果和题目已知的∠1≠∠2冲突，说明假设错误；第四步得结论，原命题“a不平行于b”成立。
【解析】
证明：假设$ a // b $，根据“两直线平行，同位角相等”的性质，可得$ ∠ 1 = ∠ 2 $，这与已知条件$ ∠ 1 ≠ ∠ 2 $相矛盾，因此假设不成立，故$ a $不平行于$ b $。
【答案】假设 $ a // b $,则 $ ∠ 1=∠ 2 $,这与 $ ∠ 1 ≠ ∠ 2 $ 相矛盾, $\therefore$ 假设不成立. $\therefore a$ 不平行于 $ b $
【知识点】
反证法；平行线的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，当要证明的结论为否定形式、或直接证明难度较大时，可优先选择反证法，解题关键是掌握反证法的基本步骤：反设结论、推导矛盾、肯定原结论。
【难度系数】
0.7
本题需要证明“a不平行于b”这类否定性结论，适合采用反证法求解。思路可分为四步：第一步反设，假设原结论不成立，即a平行于b；第二步推导，根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，可得出∠1=∠2；第三步找矛盾，该推导结果和题目已知的∠1≠∠2冲突，说明假设错误；第四步得结论，原命题“a不平行于b”成立。
【解析】
证明：假设$ a // b $，根据“两直线平行，同位角相等”的性质，可得$ ∠ 1 = ∠ 2 $，这与已知条件$ ∠ 1 ≠ ∠ 2 $相矛盾，因此假设不成立，故$ a $不平行于$ b $。
【答案】假设 $ a // b $,则 $ ∠ 1=∠ 2 $,这与 $ ∠ 1 ≠ ∠ 2 $ 相矛盾, $\therefore$ 假设不成立. $\therefore a$ 不平行于 $ b $
【知识点】
反证法；平行线的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，当要证明的结论为否定形式、或直接证明难度较大时，可优先选择反证法，解题关键是掌握反证法的基本步骤：反设结论、推导矛盾、肯定原结论。
【难度系数】
0.7
14. 用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角.
求证:
证明:
已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角.
求证:
证明:
答案
求证: $∠ ACD=∠ A+∠ B$. 证明:假设 $∠ ACD ≠ ∠ A+∠ B$,则 $∠ ACD ≠ 180°-∠ ACB$. 又 $\because ∠ ACD+∠ ACB=180°$,即 $∠ ACD=180°-∠ ACB$, $\therefore$ 假设不成立. $\therefore$ 原命题成立,即 $∠ ACD=∠ A+∠ B$
解析
【分析】
使用反证法证明命题需按三步进行：首先明确待证结论，即外角∠ACD等于与它不相邻的两个内角∠A、∠B的和；其次反设结论不成立，即∠ACD≠∠A+∠B；最后结合已有定理推导矛盾：根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=180°-∠ACB，代入假设可推出∠ACD≠180°-∠ACB，再根据邻补角的性质可知∠ACD=180°-∠ACB，二者出现矛盾，即可证明假设不成立，原命题正确。
【解析】
首先确定待证结论为$∠ ACD=∠ A+∠ B$，按反证法步骤推导：
1. 反设：假设$∠ ACD ≠ ∠ A+∠ B$
2. 推导：根据三角形内角和为$180°$，$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，变形得$∠ A+∠ B=180°-∠ ACB$，代入假设可得$∠ ACD ≠ 180°-∠ ACB$；结合邻补角性质，$∠ ACD$与$∠ ACB$和为$180°$，即$∠ ACD=180°-∠ ACB$，二者产生矛盾。
3. 结论：假设不成立，原命题成立。
【答案】
求证: $∠ ACD=∠ A+∠ B$. 证明:假设 $∠ ACD ≠ ∠ A+∠ B$,则 $∠ ACD ≠ 180°-∠ ACB$. 又 $\because ∠ ACD+∠ ACB=180°$,即 $∠ ACD=180°-∠ ACB$, $\therefore$ 假设不成立. $\therefore$ 原命题成立,即 $∠ ACD=∠ A+∠ B$
【知识点】
反证法，三角形内角和定理，邻补角性质
【点评】
本题主要考查反证法的基础应用，解题核心是掌握反证法“反设-推矛盾-肯定原结论”的逻辑步骤，结合已学的几何性质推导矛盾即可完成证明，属于对基础证明方法的考查。
【难度系数】
0.7
使用反证法证明命题需按三步进行：首先明确待证结论，即外角∠ACD等于与它不相邻的两个内角∠A、∠B的和；其次反设结论不成立，即∠ACD≠∠A+∠B；最后结合已有定理推导矛盾：根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=180°-∠ACB，代入假设可推出∠ACD≠180°-∠ACB，再根据邻补角的性质可知∠ACD=180°-∠ACB，二者出现矛盾，即可证明假设不成立，原命题正确。
【解析】
首先确定待证结论为$∠ ACD=∠ A+∠ B$，按反证法步骤推导：
1. 反设：假设$∠ ACD ≠ ∠ A+∠ B$
2. 推导：根据三角形内角和为$180°$，$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，变形得$∠ A+∠ B=180°-∠ ACB$，代入假设可得$∠ ACD ≠ 180°-∠ ACB$；结合邻补角性质，$∠ ACD$与$∠ ACB$和为$180°$，即$∠ ACD=180°-∠ ACB$，二者产生矛盾。
3. 结论：假设不成立，原命题成立。
【答案】
求证: $∠ ACD=∠ A+∠ B$. 证明:假设 $∠ ACD ≠ ∠ A+∠ B$,则 $∠ ACD ≠ 180°-∠ ACB$. 又 $\because ∠ ACD+∠ ACB=180°$,即 $∠ ACD=180°-∠ ACB$, $\therefore$ 假设不成立. $\therefore$ 原命题成立,即 $∠ ACD=∠ A+∠ B$
【知识点】
反证法，三角形内角和定理，邻补角性质
【点评】
本题主要考查反证法的基础应用，解题核心是掌握反证法“反设-推矛盾-肯定原结论”的逻辑步骤，结合已学的几何性质推导矛盾即可完成证明，属于对基础证明方法的考查。
【难度系数】
0.7
