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6. 如图，$△ ABC$为等腰直角三角形，其中斜边$BC=6$.
(1)建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标.
(2)若将$△ ABC$各顶点的纵坐标不变，横坐标都加2，所得三角形与原三角形的位置有何关系？
(1)建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标.
(2)若将$△ ABC$各顶点的纵坐标不变，横坐标都加2，所得三角形与原三角形的位置有何关系？
答案
6.(1)略 (2)向右平移2个单位
解析
【分析】
(1) 建立平面直角坐标系时，优先选择能简化坐标计算的方案，本题可利用等腰直角三角形的对称性，将斜边BC放置在x轴上，取BC的中点为坐标原点，此时A点落在y轴上，再结合等腰直角三角形斜边与斜边上高的数量关系即可求出各顶点坐标，坐标系建立方式不唯一，只要合理即可。
(2) 解答第二问需回忆坐标与图形平移的规律：平面内图形平移时，若所有点纵坐标不变，横坐标加正数，对应图形沿x轴正方向平移，横坐标减正数对应沿x轴负方向平移，即“右加左减”，根据本题横坐标加2的条件即可直接判断位置变化。
【解析】
(1) 示例：取BC的中点为原点O，BC所在直线为x轴，过O作BC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵BC=6，O为BC中点，
∴OB=OC=3，即B(-3,0)，C(3,0)。
∵△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，
∴斜边上的高OA=½BC=3，且A在y轴正半轴，即A(0,3)。
（注：坐标系建立方式不唯一，例如以B为原点，BC在x轴正半轴时，B(0,0)、C(6,0)、A(3,3)也正确）
(2) 根据坐标平移规律：当图形各顶点纵坐标不变，横坐标都加2时，图形上每个点都沿x轴正方向移动2个单位长度，因此所得三角形是原三角形整体向右平移2个单位得到的，形状、大小均和原三角形一致。
【答案】
(1) 答案不唯一，示例如：A(0,3)，B(-3,0)，C(3,0)（合理即可）
(2) 向右平移2个单位
【知识点】
平面直角坐标系的建立；坐标与图形平移；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，一方面考查灵活建立坐标系的能力，建立坐标系时尽量让更多点落在坐标轴上可简化计算；另一方面考查坐标平移规律的应用，“右加左减，上加下减”的平移规律是解决此类问题的核心，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 建立平面直角坐标系时，优先选择能简化坐标计算的方案，本题可利用等腰直角三角形的对称性，将斜边BC放置在x轴上，取BC的中点为坐标原点，此时A点落在y轴上，再结合等腰直角三角形斜边与斜边上高的数量关系即可求出各顶点坐标，坐标系建立方式不唯一，只要合理即可。
(2) 解答第二问需回忆坐标与图形平移的规律：平面内图形平移时，若所有点纵坐标不变，横坐标加正数，对应图形沿x轴正方向平移，横坐标减正数对应沿x轴负方向平移，即“右加左减”，根据本题横坐标加2的条件即可直接判断位置变化。
【解析】
(1) 示例：取BC的中点为原点O，BC所在直线为x轴，过O作BC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵BC=6，O为BC中点，
∴OB=OC=3，即B(-3,0)，C(3,0)。
∵△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，
∴斜边上的高OA=½BC=3，且A在y轴正半轴，即A(0,3)。
（注：坐标系建立方式不唯一，例如以B为原点，BC在x轴正半轴时，B(0,0)、C(6,0)、A(3,3)也正确）
(2) 根据坐标平移规律：当图形各顶点纵坐标不变，横坐标都加2时，图形上每个点都沿x轴正方向移动2个单位长度，因此所得三角形是原三角形整体向右平移2个单位得到的，形状、大小均和原三角形一致。
【答案】
(1) 答案不唯一，示例如：A(0,3)，B(-3,0)，C(3,0)（合理即可）
(2) 向右平移2个单位
【知识点】
平面直角坐标系的建立；坐标与图形平移；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，一方面考查灵活建立坐标系的能力，建立坐标系时尽量让更多点落在坐标轴上可简化计算；另一方面考查坐标平移规律的应用，“右加左减，上加下减”的平移规律是解决此类问题的核心，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7. 在方格纸中，把一个图形先沿水平方向平移$|a|$格（当$a$为正数时，表示向右平移；当$a$为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移$|b|$格（当$b$为正数时，表示向上平移；当$b$为负数时，表示向下平移），得到一个新的图形，我们把这个过程记为$[a,b]$.例如，把
所示的$△ ABC$先向右平移3格，再向下平移4格得到$△ A_1B_1C_1$，可以把这个过程记为$[3,-4]$.若再将$△ A_1B_1C_1$经过$[5,2]$得到$△ A_2B_2C_2$，则$△ ABC$经过平移得到$△ A_2B_2C_2$的过程是（
A.$[2,6]$
B.$[8,-2]$
C.$[8,-6]$
D.$[-8,-1]$
所示的$△ ABC$先向右平移3格，再向下平移4格得到$△ A_1B_1C_1$，可以把这个过程记为$[3,-4]$.若再将$△ A_1B_1C_1$经过$[5,2]$得到$△ A_2B_2C_2$，则$△ ABC$经过平移得到$△ A_2B_2C_2$的过程是（B
）A.$[2,6]$
B.$[8,-2]$
C.$[8,-6]$
D.$[-8,-1]$
答案
7.B
解析
【分析】
要确定△ABC到△A₂B₂C₂的总平移过程，需明确连续两次平移的平移量是可以叠加的：水平方向的总平移量等于两次水平平移量的代数和，竖直方向的总平移量等于两次竖直平移量的代数和，分别计算出两个方向的总平移量，即可得到对应的平移过程。
【解析】
已知△ABC第一次平移过程为$[3,-4]$，第二次平移过程为$[5,2]$。
根据平移量叠加规则：
总水平平移量$a=3+5=8$，即向右平移8格；
总竖直平移量$b=-4+2=-2$，即向下平移2格。
因此△ABC平移得到△A₂B₂C₂的总过程为$[8,-2]$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形平移，平移的性质
【点评】
本题考查平移过程中平移量的计算，解题核心是理解连续两次平移的总平移量为两次平移量的代数和，属于基础题型，熟练掌握平移的坐标变化规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要确定△ABC到△A₂B₂C₂的总平移过程，需明确连续两次平移的平移量是可以叠加的：水平方向的总平移量等于两次水平平移量的代数和，竖直方向的总平移量等于两次竖直平移量的代数和，分别计算出两个方向的总平移量，即可得到对应的平移过程。
【解析】
已知△ABC第一次平移过程为$[3,-4]$，第二次平移过程为$[5,2]$。
根据平移量叠加规则：
总水平平移量$a=3+5=8$，即向右平移8格；
总竖直平移量$b=-4+2=-2$，即向下平移2格。
因此△ABC平移得到△A₂B₂C₂的总过程为$[8,-2]$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形平移，平移的性质
【点评】
本题考查平移过程中平移量的计算，解题核心是理解连续两次平移的总平移量为两次平移量的代数和，属于基础题型，熟练掌握平移的坐标变化规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
▲8. 在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动。则点$P(-2,-3)$经过
6
次这样的运动后到达点$P'(4,9)$。答案
8.6
解析
【分析】
解题时首先明确单次运动的坐标变化规律：根据平移规则，向右平移1个单位则横坐标加1，向上平移2个单位则纵坐标加2，即1次运动后点的横、纵坐标分别增加1、2。接下来分别计算点P到点P'的横坐标总增量、纵坐标总增量，由于每次运动的增量固定，用总增量除以单次运动对应增量即可得到运动次数，且横、纵坐标计算出的次数应一致。
【解析】
首先计算横坐标总变化量：点P横坐标为-2，点P'横坐标为4，总增量为 $ 4 - (-2) = 6 $
已知每次运动横坐标增加1，因此对应次数为 $ 6 ÷ 1 = 6 $ 次
再验证纵坐标总变化量：点P纵坐标为-3，点P'纵坐标为9，总增量为 $ 9 - (-3) = 12 $
已知每次运动纵坐标增加2，对应次数为 $ 12 ÷ 2 = 6 $ 次
两次计算结果一致，故需要6次运动。
【答案】
6
【知识点】
坐标平移规律；有理数运算
【点评】
本题考查坐标平面内点平移的坐标变化规律，解题核心是先确定单次运动对应的坐标增量，计算坐标差时要注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确单次运动的坐标变化规律：根据平移规则，向右平移1个单位则横坐标加1，向上平移2个单位则纵坐标加2，即1次运动后点的横、纵坐标分别增加1、2。接下来分别计算点P到点P'的横坐标总增量、纵坐标总增量，由于每次运动的增量固定，用总增量除以单次运动对应增量即可得到运动次数，且横、纵坐标计算出的次数应一致。
【解析】
首先计算横坐标总变化量：点P横坐标为-2，点P'横坐标为4，总增量为 $ 4 - (-2) = 6 $
已知每次运动横坐标增加1，因此对应次数为 $ 6 ÷ 1 = 6 $ 次
再验证纵坐标总变化量：点P纵坐标为-3，点P'纵坐标为9，总增量为 $ 9 - (-3) = 12 $
已知每次运动纵坐标增加2，对应次数为 $ 12 ÷ 2 = 6 $ 次
两次计算结果一致，故需要6次运动。
【答案】
6
【知识点】
坐标平移规律；有理数运算
【点评】
本题考查坐标平面内点平移的坐标变化规律，解题核心是先确定单次运动对应的坐标增量，计算坐标差时要注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
9.如图,已知点$A(0,2)$,平移线段$AB$,将点$A$平移到点$C(-3,0)$,点$B$平移到点$D(1,-2)$,$CD$交$y$轴于点$E$.
(1)求点$B$的坐标.
★(2)$P$为$x$轴上一动点,若$S_{△ ABP}=5$,求点$P$的坐标.
(1)求点$B$的坐标.
★(2)$P$为$x$轴上一动点,若$S_{△ ABP}=5$,求点$P$的坐标.
答案
9.(1)$B(4,0)$ (2)$P(-1,0)$或$P(9,0)$
解析
【分析】
(1) 利用平移的性质：图形平移时，图形上所有点的横、纵坐标变化量完全相同。先计算点A平移到点C的坐标变化量，再根据点B平移得到点D的规律，反向计算即可得到点B的坐标。
(2) 点P在x轴上，点B也在x轴上，因此△ABP的底为BP的长度，高为点A到x轴的距离，结合三角形面积公式列方程求解即可，注意线段长度用坐标表示时要加绝对值，避免漏解。
【解析】
(1) 已知点$A(0,2)$平移到点$C(-3,0)$，横坐标变化为$-3-0=-3$，纵坐标变化为$0-2=-2$，即平移规律为横坐标减3，纵坐标减2。
设点$B$的坐标为$(x,y)$，点$B$按上述规律平移后得到$D(1,-2)$，因此：
$\begin{cases}x-3=1\\y-2=-2\end{cases}$
解得$x=4$，$y=0$，即点$B$的坐标为$(4,0)$。
(2) 设点$P$的坐标为$(p,0)$，
∵$P$、$B$都在x轴上，$B(4,0)$，
∴线段$BP$的长度为$|p-4|$，
点$A(0,2)$到x轴的距离为2，即△ABP中BP边上的高为2，
由$S_{△ ABP}=5$，代入三角形面积公式得：
$\dfrac{1}{2} × |p-4| × 2 =5$
化简得$|p-4|=5$，
即$p-4=5$或$p-4=-5$，
解得$p=9$或$p=-1$，
因此点$P$的坐标为$(-1,0)$或$(9,0)$。
【答案】
(1)$B(4,0)$；(2)$P(-1,0)$或$P(9,0)$
【知识点】
1. 平移的坐标规律
2. 三角形面积计算
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题考查平移性质与平面直角坐标系中图形面积的综合应用，解题核心是掌握平移时坐标的变化规则，以及用坐标表示线段长度的方法，计算距离类问题时注意考虑绝对值，防止漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 利用平移的性质：图形平移时，图形上所有点的横、纵坐标变化量完全相同。先计算点A平移到点C的坐标变化量，再根据点B平移得到点D的规律，反向计算即可得到点B的坐标。
(2) 点P在x轴上，点B也在x轴上，因此△ABP的底为BP的长度，高为点A到x轴的距离，结合三角形面积公式列方程求解即可，注意线段长度用坐标表示时要加绝对值，避免漏解。
【解析】
(1) 已知点$A(0,2)$平移到点$C(-3,0)$，横坐标变化为$-3-0=-3$，纵坐标变化为$0-2=-2$，即平移规律为横坐标减3，纵坐标减2。
设点$B$的坐标为$(x,y)$，点$B$按上述规律平移后得到$D(1,-2)$，因此：
$\begin{cases}x-3=1\\y-2=-2\end{cases}$
解得$x=4$，$y=0$，即点$B$的坐标为$(4,0)$。
(2) 设点$P$的坐标为$(p,0)$，
∵$P$、$B$都在x轴上，$B(4,0)$，
∴线段$BP$的长度为$|p-4|$，
点$A(0,2)$到x轴的距离为2，即△ABP中BP边上的高为2，
由$S_{△ ABP}=5$，代入三角形面积公式得：
$\dfrac{1}{2} × |p-4| × 2 =5$
化简得$|p-4|=5$，
即$p-4=5$或$p-4=-5$，
解得$p=9$或$p=-1$，
因此点$P$的坐标为$(-1,0)$或$(9,0)$。
【答案】
(1)$B(4,0)$；(2)$P(-1,0)$或$P(9,0)$
【知识点】
1. 平移的坐标规律
2. 三角形面积计算
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题考查平移性质与平面直角坐标系中图形面积的综合应用，解题核心是掌握平移时坐标的变化规则，以及用坐标表示线段长度的方法，计算距离类问题时注意考虑绝对值，防止漏解。
【难度系数】
0.7
