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5.若$△ ABC$三条边的长度分别为$m,n,p$，且$|m-n|+(n-p)^2=0$，则$△ ABC$为(
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
B
)。A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
答案
5. B 解析
∵|m−n|+(n−p)²=0，
∴m−n=0,n−p=0，
∴m=n,n=p，
∴m=n=p，
∴△ABC 为等边三角形。
故选 B。
∵|m−n|+(n−p)²=0，
∴m−n=0,n−p=0，
∴m=n,n=p，
∴m=n=p，
∴△ABC 为等边三角形。
故选 B。
解析
【分析】
首先观察已知等式，等式中包含绝对值和平方项，根据已学知识，绝对值和平方数都具有非负性，即它们的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数各自为0才能满足条件，由此可以推导得到三角形三边的数量关系，再结合三角形按边分类的判定规则，即可确定三角形的类型。
【解析】
∵ 绝对值和平方数均为非负数，且$|m−n|+(n−p)^2=0$，
∴ $m−n=0$，$n−p=0$，
∴ $m=n$，$n=p$，
∴ $m=n=p$，即三角形的三条边长度相等，
∴ $△ABC$为等边三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，结合非负数的性质与三角形分类的知识点进行考查，解题核心是掌握“若干个非负数的和为0，则每个非负数的取值都为0”的结论，同时要注意区分等边三角形和等腰三角形的从属关系，避免误选。
【难度系数】
0.9
首先观察已知等式，等式中包含绝对值和平方项，根据已学知识，绝对值和平方数都具有非负性，即它们的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数各自为0才能满足条件，由此可以推导得到三角形三边的数量关系，再结合三角形按边分类的判定规则，即可确定三角形的类型。
【解析】
∵ 绝对值和平方数均为非负数，且$|m−n|+(n−p)^2=0$，
∴ $m−n=0$，$n−p=0$，
∴ $m=n$，$n=p$，
∴ $m=n=p$，即三角形的三条边长度相等，
∴ $△ABC$为等边三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，结合非负数的性质与三角形分类的知识点进行考查，解题核心是掌握“若干个非负数的和为0，则每个非负数的取值都为0”的结论，同时要注意区分等边三角形和等腰三角形的从属关系，避免误选。
【难度系数】
0.9
6. 假定有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有
3
对.答案
6. 3 解析 以线段 BC 为公共边的“共边三角形”有△ABC，△DBC，△EBC，故组成 3 对“共边三角形”。
解析
【分析】
解题首先要明确“共边三角形”的定义：有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，本题要求公共边为BC。首先第一步需要先从图中找出所有以BC为边的三角形，再将这些三角形两两组合，组合的数量就是所求的共边三角形对数，计数时要注意不重复、不遗漏。
【解析】
首先识别图中以BC为边的三角形，共有3个，分别是△ABC、△DBC、△EBC。
接下来对这3个三角形进行两两配对：
1. △ABC和△DBC，公共边为BC，符合要求；
2. △ABC和△EBC，公共边为BC，符合要求；
3. △DBC和△EBC，公共边为BC，符合要求。
综上，符合要求的共边三角形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
三角形的识别，新定义理解，计数原理
【点评】
本题属于新定义类的基础题型，重点考查对新定义的解读能力和几何图形的识别能力，解题时先锁定所有符合“含BC边”的三角形，再进行组合计数即可，注意避免重复或漏数。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确“共边三角形”的定义：有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，本题要求公共边为BC。首先第一步需要先从图中找出所有以BC为边的三角形，再将这些三角形两两组合，组合的数量就是所求的共边三角形对数，计数时要注意不重复、不遗漏。
【解析】
首先识别图中以BC为边的三角形，共有3个，分别是△ABC、△DBC、△EBC。
接下来对这3个三角形进行两两配对：
1. △ABC和△DBC，公共边为BC，符合要求；
2. △ABC和△EBC，公共边为BC，符合要求；
3. △DBC和△EBC，公共边为BC，符合要求。
综上，符合要求的共边三角形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
三角形的识别，新定义理解，计数原理
【点评】
本题属于新定义类的基础题型，重点考查对新定义的解读能力和几何图形的识别能力，解题时先锁定所有符合“含BC边”的三角形，再进行组合计数即可，注意避免重复或漏数。
【难度系数】
0.8
7.如图,以A,B,C,D,E五个点中的任意三个点为顶点画三角形.
(1)一共可以画出几个三角形？用符号表示这些三角形.
(2)以AB为一边可以画出哪几个三角形？以C为顶点可以画出哪几个三角形？
(3)从画出的三角形中分别找出1个直角三角形和1个钝角三角形.
(1)一共可以画出几个三角形？用符号表示这些三角形.
(2)以AB为一边可以画出哪几个三角形？以C为顶点可以画出哪几个三角形？
(3)从画出的三角形中分别找出1个直角三角形和1个钝角三角形.
答案
解 （1）10 个，△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CDE。
（2）以 AB 为一边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE；
以 C 为顶点的三角形有△ABC，△ACD，△ACE，△BCD，△BCE，△CDE。
（3）找出的三角形分别为△ABD，△ABC。（答案不唯一）
（2）以 AB 为一边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE；
以 C 为顶点的三角形有△ABC，△ACD，△ACE，△BCD，△BCE，△CDE。
（3）找出的三角形分别为△ABD，△ABC。（答案不唯一）
解析
【分析】
本题围绕三角形的计数和分类设问，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先判断5个点中没有三点共线的情况，因此任意选3个点都能构成三角形，按照固定顶点依次组合的顺序列举，就能避免重复和遗漏，算出总个数。
2. 第(2)问：以AB为边的三角形，只需确定除A、B外的第三个顶点即可；以C为顶点的三角形，只需从剩余4个点中选2个作为另外两个顶点，按顺序列举即可。
3. 第(3)问：结合网格的直角特征，根据直角三角形、钝角三角形的定义筛选即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 首先确认A、B、C、D、E五个点中无三点共线，因此任选3个点均可构成三角形。按顺序枚举所有组合：
先选A为第一个顶点，搭配其余点可得△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE；
再选B为第一个顶点（排除已和A组合的情况），可得△BCD、△BCE、△BDE；
最后选C为第一个顶点（排除已和A、B组合的情况），可得△CDE；
合计共10个三角形。
(2) 以AB为一边时，第三个顶点只能是C、D、E三个点，因此对应三角形为△ABC、△ABD、△ABE；
以C为顶点时，另外两个顶点从A、B、D、E中任选2个，组合后对应三角形为△ABC、△ACD、△ACE、△BCD、△BCE、△CDE。
(3) 观察网格中边的位置关系：△ABD中AB水平、BD竖直，∠ABD为直角，属于直角三角形；△ABC中∠ABC大于90°，属于钝角三角形，答案不唯一，符合定义即可。
【答案】
(1)10个，△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CDE。
(2)以AB为一边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE；
以C为顶点的三角形有△ABC，△ACD，△ACE，△BCD，△BCE，△CDE。
(3)示例：直角三角形△ABD，钝角三角形△ABC。（答案不唯一）
【知识点】
三角形的定义；三角形的分类；有序计数
【点评】
本题侧重考查三角形的基础概念，解题的核心是按固定顺序枚举，避免出现重复计数或漏数的问题，同时要能结合图形特征判断三角形的类型，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8
本题围绕三角形的计数和分类设问，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先判断5个点中没有三点共线的情况，因此任意选3个点都能构成三角形，按照固定顶点依次组合的顺序列举，就能避免重复和遗漏，算出总个数。
2. 第(2)问：以AB为边的三角形，只需确定除A、B外的第三个顶点即可；以C为顶点的三角形，只需从剩余4个点中选2个作为另外两个顶点，按顺序列举即可。
3. 第(3)问：结合网格的直角特征，根据直角三角形、钝角三角形的定义筛选即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 首先确认A、B、C、D、E五个点中无三点共线，因此任选3个点均可构成三角形。按顺序枚举所有组合：
先选A为第一个顶点，搭配其余点可得△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE；
再选B为第一个顶点（排除已和A组合的情况），可得△BCD、△BCE、△BDE；
最后选C为第一个顶点（排除已和A、B组合的情况），可得△CDE；
合计共10个三角形。
(2) 以AB为一边时，第三个顶点只能是C、D、E三个点，因此对应三角形为△ABC、△ABD、△ABE；
以C为顶点时，另外两个顶点从A、B、D、E中任选2个，组合后对应三角形为△ABC、△ACD、△ACE、△BCD、△BCE、△CDE。
(3) 观察网格中边的位置关系：△ABD中AB水平、BD竖直，∠ABD为直角，属于直角三角形；△ABC中∠ABC大于90°，属于钝角三角形，答案不唯一，符合定义即可。
【答案】
(1)10个，△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CDE。
(2)以AB为一边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE；
以C为顶点的三角形有△ABC，△ACD，△ACE，△BCD，△BCE，△CDE。
(3)示例：直角三角形△ABD，钝角三角形△ABC。（答案不唯一）
【知识点】
三角形的定义；三角形的分类；有序计数
【点评】
本题侧重考查三角形的基础概念，解题的核心是按固定顺序枚举，避免出现重复计数或漏数的问题，同时要能结合图形特征判断三角形的类型，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8
8.已知$△ ABC$.
(1)如图①,在边BC上取一个点D,连接AD,则图中共有多少个三角形?
(2)如图②,在边BC上取两个点D,E,连接AD,AE,则图中共有多少个三角形?
(3)如图③,在边BC上取三个点D,E,F,连接AD,AE,AF,则图中共有多少个三角形?
(4)如图④,在边BC上取n个点D,E,F,…,连接AD,AE,AF,…,则图中共有多少个三角形?
(1)如图①,在边BC上取一个点D,连接AD,则图中共有多少个三角形?
(2)如图②,在边BC上取两个点D,E,连接AD,AE,则图中共有多少个三角形?
(3)如图③,在边BC上取三个点D,E,F,连接AD,AE,AF,则图中共有多少个三角形?
(4)如图④,在边BC上取n个点D,E,F,…,连接AD,AE,AF,…,则图中共有多少个三角形?
答案
解 （1）2+1=3(个)。
（2）3+2+1=6(个)。
（3）4+3+2+1=10(个)。
（4）由前 3 问可推导得(n+1)+n+(n−1)+…+1= [(n+1)+1](n+1)/2 = (n+2)(n+1)/2 (个)。
（2）3+2+1=6(个)。
（3）4+3+2+1=10(个)。
（4）由前 3 问可推导得(n+1)+n+(n−1)+…+1= [(n+1)+1](n+1)/2 = (n+2)(n+1)/2 (个)。
解析
【分析】
所有三角形都共用顶点A，因此三角形的个数与底边BC上的线段条数完全相等，只需计算BC边上的线段总数即可得到三角形总数。计数时按顺序以BC上每个点为左端点统计线段数量再求和；对于n个分点的情况，通过前几问的结果归纳规律，结合求和公式即可推导得到通用结论。
【解析】
(1) 图①中BC边上共有B、D、C3个点，线段总数为$2+1=3$，因此共有3个三角形。
(2) 图②中BC边上共有B、D、E、C4个点，线段总数为$3+2+1=6$，因此共有6个三角形。
(3) 图③中BC边上共有B、D、E、F、C5个点，线段总数为$4+3+2+1=10$，因此共有10个三角形。
(4) 当BC边上取n个点时，BC边上总共有$(n+2)$个点，线段总数为$(n+1)+n+(n-1)+\dots+1$，根据求和公式可得：
$\frac{[(n+1)+1]×(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，即共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个三角形。
【答案】
(1)3个；(2)6个；(3)10个；(4)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个
【知识点】
三角形的定义，图形计数，规律探究
【点评】
本题是典型的图形计数类规律题，解题核心是将三角形计数转化为底边线段计数，避免直接数三角形出现漏数、重复的问题，通过从特殊到一般的推导思路可以快速得到通用公式，掌握这类计数规律可以大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
所有三角形都共用顶点A，因此三角形的个数与底边BC上的线段条数完全相等，只需计算BC边上的线段总数即可得到三角形总数。计数时按顺序以BC上每个点为左端点统计线段数量再求和；对于n个分点的情况，通过前几问的结果归纳规律，结合求和公式即可推导得到通用结论。
【解析】
(1) 图①中BC边上共有B、D、C3个点，线段总数为$2+1=3$，因此共有3个三角形。
(2) 图②中BC边上共有B、D、E、C4个点，线段总数为$3+2+1=6$，因此共有6个三角形。
(3) 图③中BC边上共有B、D、E、F、C5个点，线段总数为$4+3+2+1=10$，因此共有10个三角形。
(4) 当BC边上取n个点时，BC边上总共有$(n+2)$个点，线段总数为$(n+1)+n+(n-1)+\dots+1$，根据求和公式可得：
$\frac{[(n+1)+1]×(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，即共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个三角形。
【答案】
(1)3个；(2)6个；(3)10个；(4)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个
【知识点】
三角形的定义，图形计数，规律探究
【点评】
本题是典型的图形计数类规律题，解题核心是将三角形计数转化为底边线段计数，避免直接数三角形出现漏数、重复的问题，通过从特殊到一般的推导思路可以快速得到通用公式，掌握这类计数规律可以大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
