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例2 如图，已知甲、乙是两个大小完全相同的正方形，请用甲、乙各两个按要求拼成一个大正方形。
(1)阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，在图(1)中完成拼图；
(2)阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形，在图(2)中完成拼图；
(3)阴影部分组成的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形，在图(3)中完成拼图。
[点拨] 此题主要考查利用轴对称及旋转设计图案，正确把握图形的性质是解题关键。
[解] (1)图(1)即为所求。
(2)图(2)即为所求。(答案不唯一)
(3)图(3)即为所求。
(1)阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，在图(1)中完成拼图；
(2)阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形，在图(2)中完成拼图；
(3)阴影部分组成的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形，在图(3)中完成拼图。
[点拨] 此题主要考查利用轴对称及旋转设计图案，正确把握图形的性质是解题关键。
[解] (1)图(1)即为所求。
(2)图(2)即为所求。(答案不唯一)
(3)图(3)即为所求。
答案
(1)如图2所示。(2)如图3所示。(答案不唯一)(3)如图4所示。
解析
【分析】
解题前先明确两个前提：一是我们要使用2个甲、2个乙共4个大小相同的小正方形，拼成2×2的大正方形；二是先回忆两类对称图形的定义：①轴对称图形：沿某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，能和自身完全重合。
对应三个小问的思考路径：
(1)要得到轴对称但非中心对称的图案：先选定一条对称轴（如竖直中线、水平中线均可），将两个带阴影的甲沿这条对称轴对称摆放，同时要保证旋转180°后阴影的位置和原位置不重合即可。
(2)要得到中心对称但非轴对称的图案：摆放两个甲时，保证绕大正方形中心旋转180°后，阴影的位置能和原位置重合，同时调整摆放方式，使图案不存在任何一条能让图形折叠后重合的直线。
(3)要得到同时满足两种对称的图案：摆放两个甲时，既要符合轴对称的要求（沿某条直线折叠重合），也要符合中心对称的要求（旋转180°后重合）即可。
【解析】
我们将拼成的2×2大正方形的四个小格按位置记为左上、右上、左下、右下，按要求设计如下：
(1) 选竖直中线为对称轴，将两个甲分别放在左上、右上格，两个乙放在左下、右下格，此时沿竖直中线折叠，左右阴影完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后，原左上、右上的阴影会转到右下、左下格，和原阴影位置不重合，不是中心对称图形，符合要求。
(2) 将两个甲分别放在左上、右下格，调整甲的摆放角度，使旋转180°后阴影位置完全重合，且不存在任意一条直线能让折叠后阴影重合，此时图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合要求，摆放方式不唯一。
(3) 将两个甲分别放在左上、右下格，调整甲的摆放角度，使图案既可以沿竖直/水平/对角线折叠重合，旋转180°也能重合，此时同时满足两类对称的要求，符合要求。
【答案】
(1)如图2所示。(2)如图3所示。(答案不唯一)(3)如图4所示。
【知识点】
图案设计；轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题属于开放性设计类题目，核心是对轴对称、中心对称图形定义的理解和运用，需要结合定义多尝试摆放，能有效锻炼空间想象能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
解题前先明确两个前提：一是我们要使用2个甲、2个乙共4个大小相同的小正方形，拼成2×2的大正方形；二是先回忆两类对称图形的定义：①轴对称图形：沿某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，能和自身完全重合。
对应三个小问的思考路径：
(1)要得到轴对称但非中心对称的图案：先选定一条对称轴（如竖直中线、水平中线均可），将两个带阴影的甲沿这条对称轴对称摆放，同时要保证旋转180°后阴影的位置和原位置不重合即可。
(2)要得到中心对称但非轴对称的图案：摆放两个甲时，保证绕大正方形中心旋转180°后，阴影的位置能和原位置重合，同时调整摆放方式，使图案不存在任何一条能让图形折叠后重合的直线。
(3)要得到同时满足两种对称的图案：摆放两个甲时，既要符合轴对称的要求（沿某条直线折叠重合），也要符合中心对称的要求（旋转180°后重合）即可。
【解析】
我们将拼成的2×2大正方形的四个小格按位置记为左上、右上、左下、右下，按要求设计如下：
(1) 选竖直中线为对称轴，将两个甲分别放在左上、右上格，两个乙放在左下、右下格，此时沿竖直中线折叠，左右阴影完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后，原左上、右上的阴影会转到右下、左下格，和原阴影位置不重合，不是中心对称图形，符合要求。
(2) 将两个甲分别放在左上、右下格，调整甲的摆放角度，使旋转180°后阴影位置完全重合，且不存在任意一条直线能让折叠后阴影重合，此时图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合要求，摆放方式不唯一。
(3) 将两个甲分别放在左上、右下格，调整甲的摆放角度，使图案既可以沿竖直/水平/对角线折叠重合，旋转180°也能重合，此时同时满足两类对称的要求，符合要求。
【答案】
(1)如图2所示。(2)如图3所示。(答案不唯一)(3)如图4所示。
【知识点】
图案设计；轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题属于开放性设计类题目，核心是对轴对称、中心对称图形定义的理解和运用，需要结合定义多尝试摆放，能有效锻炼空间想象能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
| 变式训练2 | 为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案。图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示。请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图(1)、图(4)、图(5)中画出三种不同的设计图案。（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图(1)、图(2)只能算一种。）
答案
解:如图1所示。(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确设计要求：①仅用圆弧在正方形内部绘制图案，阴影为种植花草区域；②需用到平移、旋转、轴对称中的至少一种几何变换；③设计不能和图(1)(2)属于同一种类型（即不能为四个顶点为圆心的扇形类同设计）。接下来可从不同圆心位置、圆弧组合方式入手设计：可以选择正方形边的中点、正方形中心、对角顶点等作为圆弧的圆心，结合图形变换知识设计不同的圆弧组合，保证三种设计的逻辑有明显区别即可。
【解析】
以下为三种符合要求的设计方案，任选即可，也可设计其他符合要求的图案：
1. （图1位置绘制）：以正方形四条边的中点为圆心，边长的$\frac{1}{2}$为半径，分别向正方形内部作4个半圆，将4个半圆的公共重叠区域涂为阴影，该设计用到轴对称、旋转变换。
2. （图4位置绘制）：以正方形的中心为圆心，取小于$\frac{1}{2}$边长的长度为半径画完整的圆，将圆内部涂为阴影，该设计用到旋转对称。
3. （图5位置绘制）：以正方形的左上、右下两个顶点为圆心，正方形边长为半径，分别在正方形内部作$\frac{1}{4}$圆弧，将两条圆弧围出的区域涂为阴影，该设计用到旋转变换。
【答案】
答案不唯一，设计满足题目要求即可。
【知识点】
1. 图案设计
2. 图形变换的应用
【点评】
本题是开放性作图题，重点考查对平移、旋转、轴对称等图形变换的灵活运用能力，解题思路多元，只要符合题目规则的设计均正确，能很好地锻炼创新思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确设计要求：①仅用圆弧在正方形内部绘制图案，阴影为种植花草区域；②需用到平移、旋转、轴对称中的至少一种几何变换；③设计不能和图(1)(2)属于同一种类型（即不能为四个顶点为圆心的扇形类同设计）。接下来可从不同圆心位置、圆弧组合方式入手设计：可以选择正方形边的中点、正方形中心、对角顶点等作为圆弧的圆心，结合图形变换知识设计不同的圆弧组合，保证三种设计的逻辑有明显区别即可。
【解析】
以下为三种符合要求的设计方案，任选即可，也可设计其他符合要求的图案：
1. （图1位置绘制）：以正方形四条边的中点为圆心，边长的$\frac{1}{2}$为半径，分别向正方形内部作4个半圆，将4个半圆的公共重叠区域涂为阴影，该设计用到轴对称、旋转变换。
2. （图4位置绘制）：以正方形的中心为圆心，取小于$\frac{1}{2}$边长的长度为半径画完整的圆，将圆内部涂为阴影，该设计用到旋转对称。
3. （图5位置绘制）：以正方形的左上、右下两个顶点为圆心，正方形边长为半径，分别在正方形内部作$\frac{1}{4}$圆弧，将两条圆弧围出的区域涂为阴影，该设计用到旋转变换。
【答案】
答案不唯一，设计满足题目要求即可。
【知识点】
1. 图案设计
2. 图形变换的应用
【点评】
本题是开放性作图题，重点考查对平移、旋转、轴对称等图形变换的灵活运用能力，解题思路多元，只要符合题目规则的设计均正确，能很好地锻炼创新思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
例3 阅读材料,并解答问题。
如图所示的8×8网格是由边长为1的小正方形组成的。
请用图(1)中的四个直角三角形,通过你所学过的图形变化,在图(2)、图(3)的方格纸中设计另外两个不同的图案,要求每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形互不重叠。画图要求:
(1)图(2)中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)图(3)中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形又是中心对称图形。
[点拨] 本题考查利用旋转或者轴对称设计图形,关键是理解旋转和轴对称的概念,按照要求作出图形即可。
[解] (1)如图,图(2)是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)如图,图(3)既是轴对称图形又是中心对称图形。
如图所示的8×8网格是由边长为1的小正方形组成的。
请用图(1)中的四个直角三角形,通过你所学过的图形变化,在图(2)、图(3)的方格纸中设计另外两个不同的图案,要求每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形互不重叠。画图要求:
(1)图(2)中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)图(3)中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形又是中心对称图形。
[点拨] 本题考查利用旋转或者轴对称设计图形,关键是理解旋转和轴对称的概念,按照要求作出图形即可。
[解] (1)如图,图(2)是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)如图,图(3)既是轴对称图形又是中心对称图形。
答案
解：
本题答案不唯一，符合要求即可，示例设计如下：
(1) 在图(2)的方格纸中，通过平移、轴对称变换摆放四个直角三角形，得到仅存在1条竖直对称轴，绕任意点旋转180°后都无法与自身重合的图案，满足是轴对称图形但不是中心对称图形的要求，图案样式为：上半部分两个直角三角形拼接成顶角向上的等腰三角轮廓，下半部分两个直角三角形拼接成顶角向下的等腰三角轮廓，整体仅沿竖直线对称。
(2) 在图(3)的方格纸中，通过平移、旋转变换摆放四个直角三角形，得到同时存在水平、竖直两条互相垂直的对称轴，绕网格中心旋转180°后与自身完全重合的菱形图案，满足既是轴对称图形又是中心对称图形的要求。
本题答案不唯一，符合要求即可，示例设计如下：
(1) 在图(2)的方格纸中，通过平移、轴对称变换摆放四个直角三角形，得到仅存在1条竖直对称轴，绕任意点旋转180°后都无法与自身重合的图案，满足是轴对称图形但不是中心对称图形的要求，图案样式为：上半部分两个直角三角形拼接成顶角向上的等腰三角轮廓，下半部分两个直角三角形拼接成顶角向下的等腰三角轮廓，整体仅沿竖直线对称。
(2) 在图(3)的方格纸中，通过平移、旋转变换摆放四个直角三角形，得到同时存在水平、竖直两条互相垂直的对称轴，绕网格中心旋转180°后与自身完全重合的菱形图案，满足既是轴对称图形又是中心对称图形的要求。
解析
【分析】
解题时首先明确两类对称图形的判定规则：①轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两侧的部分可以完全重合；②中心对称图形：绕某个点旋转180°后，能与原图形完全重合。
针对图(2)的设计要求：需构造仅满足轴对称、不满足中心对称的图案，可先确定1条对称轴（如竖直中线），将四个直角三角形沿这条对称轴对称摆放，同时保证图案旋转180°后无法与自身重合，比如让图案上下部分方向相反、无180°旋转对应关系即可。
针对图(3)的设计要求：需构造同时满足两类对称的图案，可先确定两条互相垂直的对称轴（如水平、竖直中线），将四个直角三角形分区域对称摆放，保证绕网格中心旋转180°后每个三角形都能和对应区域的三角形重合即可。
【解析】
(1) 图(2)图案设计：以方格纸竖直中线为对称轴，先把两个直角三角形对称放在对称轴上半部分，拼接成顶角向上的等腰三角形轮廓；再把剩余两个直角三角形对称放在对称轴下半部分，拼接成顶角向下的等腰三角形轮廓。此时图案沿竖直中线对折完全重合，属于轴对称图形；将图案绕任意点旋转180°后，上下等腰三角形方向互换，无法与原图案重合，不属于中心对称图形，符合要求。
(2) 图(3)图案设计：以方格纸中心为对称中心，水平、竖直中线为两条对称轴，将四个直角三角形分别放在左上、右上、左下、右下四个区域，直角顶点均朝向方格纸中心，拼接成菱形轮廓。此时图案沿水平、竖直中线对折都能完全重合，属于轴对称图形；绕方格纸中心旋转180°后，每个三角形都能和对角区域的三角形完全重合，属于中心对称图形，符合要求。
（注：本题答案不唯一，满足对应对称要求即可）
【答案】
本题答案不唯一，符合要求即可，示例设计如下：
(1) 在图(2)的方格纸中，通过平移、轴对称变换摆放四个直角三角形，得到仅存在1条竖直对称轴，绕任意点旋转180°后都无法与自身重合的图案，满足是轴对称图形但不是中心对称图形的要求，图案样式为：上半部分两个直角三角形拼接成顶角向上的等腰三角轮廓，下半部分两个直角三角形拼接成顶角向下的等腰三角轮廓，整体仅沿竖直线对称。
(2) 在图(3)的方格纸中，通过平移、旋转变换摆放四个直角三角形，得到同时存在水平、竖直两条互相垂直的对称轴，绕网格中心旋转180°后与自身完全重合的菱形图案，满足既是轴对称图形又是中心对称图形的要求。
【知识点】
轴对称图形识别、中心对称图形识别、简单图案设计
【点评】
本题为开放性作图题，核心考查对轴对称、中心对称图形概念的准确理解，只要设计的图案满足对应对称性质即为正确答案，能够有效锻炼空间想象能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两类对称图形的判定规则：①轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两侧的部分可以完全重合；②中心对称图形：绕某个点旋转180°后，能与原图形完全重合。
针对图(2)的设计要求：需构造仅满足轴对称、不满足中心对称的图案，可先确定1条对称轴（如竖直中线），将四个直角三角形沿这条对称轴对称摆放，同时保证图案旋转180°后无法与自身重合，比如让图案上下部分方向相反、无180°旋转对应关系即可。
针对图(3)的设计要求：需构造同时满足两类对称的图案，可先确定两条互相垂直的对称轴（如水平、竖直中线），将四个直角三角形分区域对称摆放，保证绕网格中心旋转180°后每个三角形都能和对应区域的三角形重合即可。
【解析】
(1) 图(2)图案设计：以方格纸竖直中线为对称轴，先把两个直角三角形对称放在对称轴上半部分，拼接成顶角向上的等腰三角形轮廓；再把剩余两个直角三角形对称放在对称轴下半部分，拼接成顶角向下的等腰三角形轮廓。此时图案沿竖直中线对折完全重合，属于轴对称图形；将图案绕任意点旋转180°后，上下等腰三角形方向互换，无法与原图案重合，不属于中心对称图形，符合要求。
(2) 图(3)图案设计：以方格纸中心为对称中心，水平、竖直中线为两条对称轴，将四个直角三角形分别放在左上、右上、左下、右下四个区域，直角顶点均朝向方格纸中心，拼接成菱形轮廓。此时图案沿水平、竖直中线对折都能完全重合，属于轴对称图形；绕方格纸中心旋转180°后，每个三角形都能和对角区域的三角形完全重合，属于中心对称图形，符合要求。
（注：本题答案不唯一，满足对应对称要求即可）
【答案】
本题答案不唯一，符合要求即可，示例设计如下：
(1) 在图(2)的方格纸中，通过平移、轴对称变换摆放四个直角三角形，得到仅存在1条竖直对称轴，绕任意点旋转180°后都无法与自身重合的图案，满足是轴对称图形但不是中心对称图形的要求，图案样式为：上半部分两个直角三角形拼接成顶角向上的等腰三角轮廓，下半部分两个直角三角形拼接成顶角向下的等腰三角轮廓，整体仅沿竖直线对称。
(2) 在图(3)的方格纸中，通过平移、旋转变换摆放四个直角三角形，得到同时存在水平、竖直两条互相垂直的对称轴，绕网格中心旋转180°后与自身完全重合的菱形图案，满足既是轴对称图形又是中心对称图形的要求。
【知识点】
轴对称图形识别、中心对称图形识别、简单图案设计
【点评】
本题为开放性作图题，核心考查对轴对称、中心对称图形概念的准确理解，只要设计的图案满足对应对称性质即为正确答案，能够有效锻炼空间想象能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
