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学习任务 二次函数及相关概念
从具体到抽象
|情境探究|
某商场要销售一种新上市的文具，进价为20元/件，试销售阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。
问题1:若销售单价上涨5元，则每件文具的利润是
问题2:设销售单价上涨x元，该文具的利润为
W元，则W与x之间的关系是什么？
从具体到抽象
|情境探究|
某商场要销售一种新上市的文具，进价为20元/件，试销售阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。
问题1:若销售单价上涨5元，则每件文具的利润是
10
元，每天的销售量是200
件。问题2:设销售单价上涨x元，该文具的利润为
W元，则W与x之间的关系是什么？
答案
问题1:10 200
问题2:由题意,得 W 与 x 之间的关系为W=(25+x-20)(250-10x),即 W=-10x²+200x+1250.
问题2:由题意,得 W 与 x 之间的关系为W=(25+x-20)(250-10x),即 W=-10x²+200x+1250.
解析
【分析】
本题以文具销售的实际场景为背景，解题核心是掌握销售问题的基本数量关系。问题1可直接根据已知条件分步推导：首先单件利润=销售单价-进价，先算出上涨5元后的销售单价，再减进价得到单件利润；再根据“单价每涨1元，销量减少10件”的规律，算出上涨5元后减少的销量，用原销量减去减少的销量即可得到当前销量。问题2列函数关系式的核心公式是“总利润=单件利润×销售数量”，先分别用含x的代数式表示出单价上涨x元后的单件利润、对应销售量，再代入公式展开整理即可得到W与x的关系式。
【解析】
问题1解答：
销售单价上涨5元后，售价为 $25+5=30$ 元，
每件利润 = 售价 - 进价 = $30-20=10$ 元；
单价上涨5元，销售量减少 $10×5=50$ 件，
此时每天的销售量为 $250-50=200$ 件。
问题2解答：
设销售单价上涨$x$元，
则此时单件利润为：$25+x-20=(5+x)$元，
此时每天的销售量为：$(250-10x)$件，
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$W=(25+x-20)(250-10x)$
展开整理得：
$W=(x+5)(250-10x)=-10x^2+200x+1250$
【答案】
问题1：10，200
问题2：$W=-10x^2+200x+1250$
【知识点】
销售利润计算、二次函数解析式列写
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，结合生活中的销售场景，既考查了基础的数量计算能力，也考查了从实际问题中抽象出函数关系的能力，核心是找准总利润、单件利润、销售量三者的对应关系，掌握本题解法可为后续解决函数最值类销售问题打好基础。
【难度系数】
0.8
本题以文具销售的实际场景为背景，解题核心是掌握销售问题的基本数量关系。问题1可直接根据已知条件分步推导：首先单件利润=销售单价-进价，先算出上涨5元后的销售单价，再减进价得到单件利润；再根据“单价每涨1元，销量减少10件”的规律，算出上涨5元后减少的销量，用原销量减去减少的销量即可得到当前销量。问题2列函数关系式的核心公式是“总利润=单件利润×销售数量”，先分别用含x的代数式表示出单价上涨x元后的单件利润、对应销售量，再代入公式展开整理即可得到W与x的关系式。
【解析】
问题1解答：
销售单价上涨5元后，售价为 $25+5=30$ 元，
每件利润 = 售价 - 进价 = $30-20=10$ 元；
单价上涨5元，销售量减少 $10×5=50$ 件，
此时每天的销售量为 $250-50=200$ 件。
问题2解答：
设销售单价上涨$x$元，
则此时单件利润为：$25+x-20=(5+x)$元，
此时每天的销售量为：$(250-10x)$件，
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$W=(25+x-20)(250-10x)$
展开整理得：
$W=(x+5)(250-10x)=-10x^2+200x+1250$
【答案】
问题1：10，200
问题2：$W=-10x^2+200x+1250$
【知识点】
销售利润计算、二次函数解析式列写
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，结合生活中的销售场景，既考查了基础的数量计算能力，也考查了从实际问题中抽象出函数关系的能力，核心是找准总利润、单件利润、销售量三者的对应关系，掌握本题解法可为后续解决函数最值类销售问题打好基础。
【难度系数】
0.8
知识梳理
一般地，形如
一般地，形如
$y=ax^2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)$
的函数，叫作二次函数。其中$x$
是自变量，$a$，$b$，$c$分别是函数解析式的二次项系数
、一次项系数
和常数项
。答案
$y=ax^2+bx+c(a,b,c$ 是常数,$a≠0)$
$x$ 二次项系数 一次项系数 常数项
$x$ 二次项系数 一次项系数 常数项
解析
【分析】
这道题考查二次函数的基础定义，解题时需回忆二次函数的核心构成要素：一是自变量最高次数为2，二是二次项系数不能为0（否则二次项消失，函数就不是二次函数）。先确定二次函数的一般形式，再对应填写自变量和各系数的名称即可。
【解析】
根据二次函数的定义：
1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中要注明a、b、c是常数，且$a≠0$，这是二次函数的必要限制条件；
2. 式子中x是自变量，取值范围一般是全体实数；
3. 按含x的次数对应系数名称：a是$x^2$项的系数，叫二次项系数；b是x项的系数，叫一次项系数；c是不含未知数的项，叫常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c(a,b,c$ 是常数,$a≠0)$；$x$；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
二次函数的概念；二次函数一般式；二次函数系数名称
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查二次函数的基础概念，牢记定义及各项名称即可快速作答，需重点注意一般式中$a≠0$的限制条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数的基础定义，解题时需回忆二次函数的核心构成要素：一是自变量最高次数为2，二是二次项系数不能为0（否则二次项消失，函数就不是二次函数）。先确定二次函数的一般形式，再对应填写自变量和各系数的名称即可。
【解析】
根据二次函数的定义：
1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中要注明a、b、c是常数，且$a≠0$，这是二次函数的必要限制条件；
2. 式子中x是自变量，取值范围一般是全体实数；
3. 按含x的次数对应系数名称：a是$x^2$项的系数，叫二次项系数；b是x项的系数，叫一次项系数；c是不含未知数的项，叫常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c(a,b,c$ 是常数,$a≠0)$；$x$；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
二次函数的概念；二次函数一般式；二次函数系数名称
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查二次函数的基础概念，牢记定义及各项名称即可快速作答，需重点注意一般式中$a≠0$的限制条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
【例1】下列函数中,哪些是二次函数?
(1)$y=x^2 - 2$.
(2)$y=2x - 3$.
(3)$y=x^2 - \sqrt{2}x + 1$.
(4)$y=(x - 5)^2 - x^2$.
(5)$y=(x - 1)(x + 3)$.
解:
【规律方法】
判断函数是不是二次函数的“三步骤”
(1)看形式:看含自变量的代数式是不是整式.
(2)化简:将含自变量的代数式化简.
(3)判断:根据系数、次数要求判断是不是二次函数.
(1)$y=x^2 - 2$.
(2)$y=2x - 3$.
(3)$y=x^2 - \sqrt{2}x + 1$.
(4)$y=(x - 5)^2 - x^2$.
(5)$y=(x - 1)(x + 3)$.
解:
【规律方法】
判断函数是不是二次函数的“三步骤”
(1)看形式:看含自变量的代数式是不是整式.
(2)化简:将含自变量的代数式化简.
(3)判断:根据系数、次数要求判断是不是二次函数.
答案
(1)(3)(5)是二次函数.
解析
【分析】
判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义要点：一是含自变量的代数式为整式，二是化简后自变量的最高次数为2，三是二次项系数不为0。解题时按照“看形式→化简→判断”的三步骤，逐个对5个函数进行分析即可得出结果，注意不能直接看原式的最高次就判定，必须先化简再判断。
【解析】
首先明确二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$是常数，$a\ne0$）的函数叫做二次函数。我们逐个判断：
(1) $y=x^2-2$：表达式是整式，无需化简，自变量最高次数为2，二次项系数为$1\ne0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(2) $y=2x-3$：自变量最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
(3) $y=x^2-\sqrt{2}x+1$：表达式是整式，无需化简，自变量最高次数为2，二次项系数为$1\ne0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(4) 先化简表达式：$y=(x-5)^2-x^2=x^2-10x+25-x^2=-10x+25$，化简后自变量最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
(5) 先化简表达式：$y=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$，化简后自变量最高次数为2，二次项系数为$1\ne0$，符合二次函数定义，是二次函数。
【答案】
(1)(3)(5)是二次函数。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
3. 多项式的次数判断
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题的关键是牢记二次函数的判定要点，尤其要注意必须先将函数表达式化简后再判断最高次数，避免出现直接观察原式误判的情况，比如本题第(4)问如果不化简就容易错判为二次函数。
【难度系数】
0.8
判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义要点：一是含自变量的代数式为整式，二是化简后自变量的最高次数为2，三是二次项系数不为0。解题时按照“看形式→化简→判断”的三步骤，逐个对5个函数进行分析即可得出结果，注意不能直接看原式的最高次就判定，必须先化简再判断。
【解析】
首先明确二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$是常数，$a\ne0$）的函数叫做二次函数。我们逐个判断：
(1) $y=x^2-2$：表达式是整式，无需化简，自变量最高次数为2，二次项系数为$1\ne0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(2) $y=2x-3$：自变量最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
(3) $y=x^2-\sqrt{2}x+1$：表达式是整式，无需化简，自变量最高次数为2，二次项系数为$1\ne0$，符合二次函数定义，是二次函数。
(4) 先化简表达式：$y=(x-5)^2-x^2=x^2-10x+25-x^2=-10x+25$，化简后自变量最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
(5) 先化简表达式：$y=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$，化简后自变量最高次数为2，二次项系数为$1\ne0$，符合二次函数定义，是二次函数。
【答案】
(1)(3)(5)是二次函数。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
3. 多项式的次数判断
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题的关键是牢记二次函数的判定要点，尤其要注意必须先将函数表达式化简后再判断最高次数，避免出现直接观察原式误判的情况，比如本题第(4)问如果不化简就容易错判为二次函数。
【难度系数】
0.8
1.下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（
A.$y=x+9$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$y=2x^2$
D.$y=\frac{1}{x^2}+x^2$
C
）A.$y=x+9$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$y=2x^2$
D.$y=\frac{1}{x^2}+x^2$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来我们按照这三个标准逐一分析每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$y=x+9$中x的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：$y=ax^2+bx+c$没有注明$a≠0$，若$a=0$，则函数变为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数，排除；
C选项：$y=2x^2$符合二次函数定义：是整式，x最高次数为2，二次项系数2≠0，符合要求；
D选项：$y=\frac{1}{x^2}+x^2$中$\frac{1}{x^2}$是分式，整个表达式不是整式，不符合二次函数的要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题关键是牢记二次函数定义的三个核心条件，尤其要注意含参数的二次项系数不能为0，以及二次函数必须是整式函数这两个易错点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来我们按照这三个标准逐一分析每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$y=x+9$中x的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：$y=ax^2+bx+c$没有注明$a≠0$，若$a=0$，则函数变为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数，排除；
C选项：$y=2x^2$符合二次函数定义：是整式，x最高次数为2，二次项系数2≠0，符合要求；
D选项：$y=\frac{1}{x^2}+x^2$中$\frac{1}{x^2}$是分式，整个表达式不是整式，不符合二次函数的要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题关键是牢记二次函数定义的三个核心条件，尤其要注意含参数的二次项系数不能为0，以及二次函数必须是整式函数这两个易错点。
【难度系数】
0.8
