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【例1】某小区有一块长为100 m，宽为80 m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示，阴影区域为绿化区域(四块绿化区域是全等矩形)，空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，其宽度不小于50 m，且不大于60 m。
动区域每平方米的造价为60元，绿化区域每平方米的造价为50元。
(1)设其中一块绿化区域的长为x m，写出工程总造价y(单位：元)与x之间的函数解析式(写出x的取值范围)。
(2)该小区投资不超过46.9万元，能否完成此工程任务？若能，请写出x为整数的所有方案；若不能，请说明理由。(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$)
动区域每平方米的造价为60元，绿化区域每平方米的造价为50元。
(1)设其中一块绿化区域的长为x m，写出工程总造价y(单位：元)与x之间的函数解析式(写出x的取值范围)。
(2)该小区投资不超过46.9万元，能否完成此工程任务？若能，请写出x为整数的所有方案；若不能，请说明理由。(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$)
答案
(1) $y=-40x^2+400x+480\ 000\ (20≤ x≤25)$。
(2)投资不超过46.9万元能完成此工程任务，且符合要求的方案有以下三种。
方案一：一块矩形绿化区域的长为23 m，宽为13 m。
方案二：一块矩形绿化区域的长为24 m，宽为14 m。
方案三：一块矩形绿化区域的长为25 m，宽为15 m。
(2)投资不超过46.9万元能完成此工程任务，且符合要求的方案有以下三种。
方案一：一块矩形绿化区域的长为23 m，宽为13 m。
方案二：一块矩形绿化区域的长为24 m，宽为14 m。
方案三：一块矩形绿化区域的长为25 m，宽为15 m。
解析
【分析】
(1) 首先根据空地总长度和单块绿化矩形的长求出出口宽度，结合出口宽度的限制条件先确定x的取值范围；再根据空地总宽度和出口宽度推导单块绿化矩形的宽；最后根据总造价=活动区域造价+绿化区域造价的等量关系，代入对应量化简即可得到函数解析式。
(2) 先将总投资上限换算为统一单位，代入函数解析式得到关于x的不等式，结合二次函数的性质解不等式，再和x的取值范围取交集，筛选出符合条件的整数x，对应求出绿化矩形的宽，即可判断能否完成任务并得到所有可行方案。
【解析】
(1) 由题意得，四周出口的宽度为$(100-2x)\ \mathrm{m}$，
根据出口宽度要求列不等式：$50\le100-2x\le60$，
解不等式：
由$100-2x\ge50$得$x\le25$，
由$100-2x\le60$得$x\ge20$，
因此$x$的取值范围是$20\le x\le25$。
单块绿化矩形的宽为$\frac{80-(100-2x)}{2}=x-10\ \mathrm{m}$，
绿化区域总面积为$4x(x-10)\ \mathrm{m}^2$，活动区域总面积为$100×80-4x(x-10)=8000-4x(x-10)\ \mathrm{m}^2$，
总造价$y$计算如下：
$\begin{aligned}y&=60×[8000-4x(x-10)]+50×4x(x-10)\\&=480000-240x(x-10)+200x(x-10)\\&=480000-40x(x-10)\\&=-40x^2+400x+480000\end{aligned}$
(2) $46.9$万元$=469000$元，令$y\le469000$，代入解析式得：
$-40x^2+400x+480000\le469000$
整理得$x^2-10x-275\ge0$，
解一元二次方程$x^2-10x-275=0$，判别式$\Delta=(-10)^2+4×275=1200$，
正根为$x=\frac{10+\sqrt{1200}}{2}=5+10\sqrt{3}\approx22.32$，
由于二次函数$y=x^2-10x-275$开口向上，因此不等式的解为$x\ge22.32$（负根不符合实际舍去），
结合$20\le x\le25$且$x$为整数，得$x=23,24,25$，
对应单块绿化矩形的宽为$x-10$，即$13\ \mathrm{m}$、$14\ \mathrm{m}$、$15\ \mathrm{m}$，因此可以完成工程任务，共3种方案。
【答案】
(1) $y=-40x^2+400x+480\ 000\ (20≤ x≤25)$。
(2)投资不超过46.9万元能完成此工程任务，且符合要求的方案有以下三种。
方案一：一块矩形绿化区域的长为23 m，宽为13 m。
方案二：一块矩形绿化区域的长为24 m，宽为14 m。
方案三：一块矩形绿化区域的长为25 m，宽为15 m。
【知识点】
二次函数应用；一元二次不等式；实际问题自变量取值
【点评】
本题结合生活场景考查数学建模能力，解题时需理清各个量的数量关系，注意自变量取值必须符合实际意义，解不等式时可结合二次函数图象性质分析解的范围，是兼顾基础和应用能力的典型应用题。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据空地总长度和单块绿化矩形的长求出出口宽度，结合出口宽度的限制条件先确定x的取值范围；再根据空地总宽度和出口宽度推导单块绿化矩形的宽；最后根据总造价=活动区域造价+绿化区域造价的等量关系，代入对应量化简即可得到函数解析式。
(2) 先将总投资上限换算为统一单位，代入函数解析式得到关于x的不等式，结合二次函数的性质解不等式，再和x的取值范围取交集，筛选出符合条件的整数x，对应求出绿化矩形的宽，即可判断能否完成任务并得到所有可行方案。
【解析】
(1) 由题意得，四周出口的宽度为$(100-2x)\ \mathrm{m}$，
根据出口宽度要求列不等式：$50\le100-2x\le60$，
解不等式：
由$100-2x\ge50$得$x\le25$，
由$100-2x\le60$得$x\ge20$，
因此$x$的取值范围是$20\le x\le25$。
单块绿化矩形的宽为$\frac{80-(100-2x)}{2}=x-10\ \mathrm{m}$，
绿化区域总面积为$4x(x-10)\ \mathrm{m}^2$，活动区域总面积为$100×80-4x(x-10)=8000-4x(x-10)\ \mathrm{m}^2$，
总造价$y$计算如下：
$\begin{aligned}y&=60×[8000-4x(x-10)]+50×4x(x-10)\\&=480000-240x(x-10)+200x(x-10)\\&=480000-40x(x-10)\\&=-40x^2+400x+480000\end{aligned}$
(2) $46.9$万元$=469000$元，令$y\le469000$，代入解析式得：
$-40x^2+400x+480000\le469000$
整理得$x^2-10x-275\ge0$，
解一元二次方程$x^2-10x-275=0$，判别式$\Delta=(-10)^2+4×275=1200$，
正根为$x=\frac{10+\sqrt{1200}}{2}=5+10\sqrt{3}\approx22.32$，
由于二次函数$y=x^2-10x-275$开口向上，因此不等式的解为$x\ge22.32$（负根不符合实际舍去），
结合$20\le x\le25$且$x$为整数，得$x=23,24,25$，
对应单块绿化矩形的宽为$x-10$，即$13\ \mathrm{m}$、$14\ \mathrm{m}$、$15\ \mathrm{m}$，因此可以完成工程任务，共3种方案。
【答案】
(1) $y=-40x^2+400x+480\ 000\ (20≤ x≤25)$。
(2)投资不超过46.9万元能完成此工程任务，且符合要求的方案有以下三种。
方案一：一块矩形绿化区域的长为23 m，宽为13 m。
方案二：一块矩形绿化区域的长为24 m，宽为14 m。
方案三：一块矩形绿化区域的长为25 m，宽为15 m。
【知识点】
二次函数应用；一元二次不等式；实际问题自变量取值
【点评】
本题结合生活场景考查数学建模能力，解题时需理清各个量的数量关系，注意自变量取值必须符合实际意义，解不等式时可结合二次函数图象性质分析解的范围，是兼顾基础和应用能力的典型应用题。
【难度系数】
0.6
