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知识点 分式的混合运算
分式的混合运算,关键是弄清运算顺序.分式的加、减、乘、除及乘方的混合运算顺序与分数的混合运算顺序一样,先算
易错提示
1. 分式的混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理,结果中分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式的前边,必要时分子为多项式时该多项式还得“添加”或者“去”小括号.
2. 注意分式乘方时不要漏乘.
3. 注意分数线有小括号的作用,与整数或整式相加减时,要把整数或整式看成分母为1的整式,通分后再计算.
4. 运算结果要化成最简分式或整式.
5. 在分式混合运算中,除了掌握基本的运算顺序“先乘方,再乘除,最后加减,有括号先算括号里面的”之外,还应注意一些技巧.例如,可根据式子特点,灵活运用乘法分配律等运算律简化运算.同时,要善于对分子、分母进行因式分解,以便约分.
分式的混合运算,关键是弄清运算顺序.分式的加、减、乘、除及乘方的混合运算顺序与分数的混合运算顺序一样,先算
乘方
,再算乘除
,最后算加减
,有括号的要先算括号里面的,且先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.同级运算,按从左到右
的顺序依次进行.在运算过程中要注意正确运用运算法则,灵活运用运算律,使运算简便
.分子或分母是多项式的先分解因式,不能分解的要视为整体.易错提示
1. 分式的混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理,结果中分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式的前边,必要时分子为多项式时该多项式还得“添加”或者“去”小括号.
2. 注意分式乘方时不要漏乘.
3. 注意分数线有小括号的作用,与整数或整式相加减时,要把整数或整式看成分母为1的整式,通分后再计算.
4. 运算结果要化成最简分式或整式.
5. 在分式混合运算中,除了掌握基本的运算顺序“先乘方,再乘除,最后加减,有括号先算括号里面的”之外,还应注意一些技巧.例如,可根据式子特点,灵活运用乘法分配律等运算律简化运算.同时,要善于对分子、分母进行因式分解,以便约分.
答案
分式的混合运算顺序与分数的混合运算顺序一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，同级运算按从左到右的顺序进行，运算中可灵活运用运算律使运算简便。
解析
【分析】
本题考查分式混合运算的基本规则，解题时可类比已掌握的分数混合运算顺序推导：首先明确运算优先级从高到低为乘方、乘除、加减，有括号优先算括号内的内容；同级运算按从左到右的顺序进行；合理使用运算律可简化计算过程，顺着这个逻辑就能准确填出所有空缺。
【解析】
分式的混合运算顺序与分数的混合运算顺序完全一致：
1. 优先级最高的运算为乘方，因此第一空填乘方；
2. 乘方运算后，次一级优先级为乘除运算，因此第二空填乘除；
3. 优先级最低的运算为加减运算，因此第三空填加减；
4. 同级运算（同为乘除或同为加减）时，按从左到右的顺序依次进行，因此第四空填从左到右；
5. 运算过程中灵活运用运算律的目的是简化计算，让运算更简便，因此第五空填简便。
【答案】
乘方；乘除；加减；从左到右；简便
【知识点】
1. 分式混合运算顺序
2. 运算律的应用
【点评】
本题是基础概念识记题，为分式化简、求值等后续运算的核心前提，可结合分数运算顺序对比记忆，降低识记难度，同时要注意运算过程中相关易错点的规避，保证运算结果为最简分式或整式。
【难度系数】
0.9
本题考查分式混合运算的基本规则，解题时可类比已掌握的分数混合运算顺序推导：首先明确运算优先级从高到低为乘方、乘除、加减，有括号优先算括号内的内容；同级运算按从左到右的顺序进行；合理使用运算律可简化计算过程，顺着这个逻辑就能准确填出所有空缺。
【解析】
分式的混合运算顺序与分数的混合运算顺序完全一致：
1. 优先级最高的运算为乘方，因此第一空填乘方；
2. 乘方运算后，次一级优先级为乘除运算，因此第二空填乘除；
3. 优先级最低的运算为加减运算，因此第三空填加减；
4. 同级运算（同为乘除或同为加减）时，按从左到右的顺序依次进行，因此第四空填从左到右；
5. 运算过程中灵活运用运算律的目的是简化计算，让运算更简便，因此第五空填简便。
【答案】
乘方；乘除；加减；从左到右；简便
【知识点】
1. 分式混合运算顺序
2. 运算律的应用
【点评】
本题是基础概念识记题，为分式化简、求值等后续运算的核心前提，可结合分数运算顺序对比记忆，降低识记难度，同时要注意运算过程中相关易错点的规避，保证运算结果为最简分式或整式。
【难度系数】
0.9
例 先化简$(x-\dfrac{x}{x-1})÷\dfrac{x^3-2x^2}{x^2-2x+1}-\dfrac{x}{x+1}$，再选择一个你喜欢的$x$值代入求值。
分析:先根据分式混合运算的法则把原式化简,再选取合适的$x$值代入求值即可。
解:原式$=[\dfrac{x(x-1)}{x-1}-\dfrac{x}{x-1}]·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}-\dfrac{x^2}{x(x+1)}$
$=-\dfrac{1}{x^2+x}$。
由题可知$x≠1,x≠2,x≠-1,x≠0$。
$\therefore$ 当$x=3$时,原式$=-\dfrac{1}{12}$。
方法点拨 把分式化成最简分式是解题的关键,通分、因式分解和约分是基本环节.注意选数时,所选的数要使原式有意义。
分析:先根据分式混合运算的法则把原式化简,再选取合适的$x$值代入求值即可。
解:原式$=[\dfrac{x(x-1)}{x-1}-\dfrac{x}{x-1}]·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}-\dfrac{x^2}{x(x+1)}$
$=-\dfrac{1}{x^2+x}$。
由题可知$x≠1,x≠2,x≠-1,x≠0$。
$\therefore$ 当$x=3$时,原式$=-\dfrac{1}{12}$。
方法点拨 把分式化成最简分式是解题的关键,通分、因式分解和约分是基本环节.注意选数时,所选的数要使原式有意义。
答案
解：
原式$=[\dfrac{x(x-1)}{x-1}-\dfrac{x}{x-1}]·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}-\dfrac{x^2}{x(x+1)}$
$=-\dfrac{1}{x^2+x}$
由原式有意义可知：$x≠1,x≠2,x≠-1,x≠0$。
$\therefore$ 当$x=3$时，原式$=-\dfrac{1}{3^2+3}=-\dfrac{1}{12}$。
原式$=[\dfrac{x(x-1)}{x-1}-\dfrac{x}{x-1}]·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}-\dfrac{x^2}{x(x+1)}$
$=-\dfrac{1}{x^2+x}$
由原式有意义可知：$x≠1,x≠2,x≠-1,x≠0$。
$\therefore$ 当$x=3$时，原式$=-\dfrac{1}{3^2+3}=-\dfrac{1}{12}$。
解析
【分析】
解决本题需遵循分式混合运算的规则逐步计算：首先处理括号内的减法，通过通分将异分母分式转化为同分母分式相减；接着将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母因式分解后约分，简化算式；再将得到的两个分式通分相减，得到最简结果；最后选取x值时要保证原式所有分母、除式都不为0，再代入最简式计算即可。
【解析】
原式$=[\dfrac{x(x-1)}{x-1}-\dfrac{x}{x-1}]·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
约分可得：$\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x}{x+1}$
通分计算：$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}-\dfrac{x^2}{x(x+1)}=\dfrac{x^2-1-x^2}{x(x+1)}=-\dfrac{1}{x^2+x}$
要使原式有意义，需满足分母和除式均不为0，即$x≠1,x≠2,x≠-1,x≠0$。
选取$x=3$代入最简式，得原式$=-\dfrac{1}{3^2+3}=-\dfrac{1}{12}$（x取其他满足条件的值均可）
【答案】
化简结果为$-\dfrac{1}{x^2+x}$，当$x=3$时，原式的值为$-\dfrac{1}{12}$（x取值满足$x≠0,x≠±1,x≠2$即可）
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解与约分
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，重点考查分式运算的基本技能，通分、约分、因式分解是解题的基础环节，解题时需格外注意代入的x值必须保证原式所有部分都有意义，避免出现代入无意义值的错误。
【难度系数】
0.7
解决本题需遵循分式混合运算的规则逐步计算：首先处理括号内的减法，通过通分将异分母分式转化为同分母分式相减；接着将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母因式分解后约分，简化算式；再将得到的两个分式通分相减，得到最简结果；最后选取x值时要保证原式所有分母、除式都不为0，再代入最简式计算即可。
【解析】
原式$=[\dfrac{x(x-1)}{x-1}-\dfrac{x}{x-1}]·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
$=\dfrac{x(x-2)}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x^2(x-2)}-\dfrac{x}{x+1}$
约分可得：$\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x}{x+1}$
通分计算：$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}-\dfrac{x^2}{x(x+1)}=\dfrac{x^2-1-x^2}{x(x+1)}=-\dfrac{1}{x^2+x}$
要使原式有意义，需满足分母和除式均不为0，即$x≠1,x≠2,x≠-1,x≠0$。
选取$x=3$代入最简式，得原式$=-\dfrac{1}{3^2+3}=-\dfrac{1}{12}$（x取其他满足条件的值均可）
【答案】
化简结果为$-\dfrac{1}{x^2+x}$，当$x=3$时，原式的值为$-\dfrac{1}{12}$（x取值满足$x≠0,x≠±1,x≠2$即可）
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解与约分
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，重点考查分式运算的基本技能，通分、约分、因式分解是解题的基础环节，解题时需格外注意代入的x值必须保证原式所有部分都有意义，避免出现代入无意义值的错误。
【难度系数】
0.7
