1.若一个角为$30°$,则它的余角为 （）

A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$150°$

1.B

【分析】
首先回忆余角的定义：互为余角的两个角的和等于90°。要求30°角的余角，只需要用90°减去已知角的度数即可，计算出结果后对应选项就能选出正确答案。
【解析】
解：根据余角的定义，若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。
所以30°角的余角 = 90° - 30° = 60°
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对余角概念的理解与简单应用，解题时注意区分余角和补角的定义，避免混淆概念导致失分。
【难度系数】
0.9

2. 已知∠1与∠2互补，若∠2=29°，则∠1=（）

A.151°
B.61°
C.150°
D.119°

2.A

【分析】
解题时首先回忆补角的定义：如果两个角互为补角，那么这两个角的和为180°。本题已知∠1和∠2互补，同时给出了∠2的度数，只需要用互补两角的总和180°减去∠2的度数，就能求出∠1的度数，再对应选项选择即可。
【解析】
解：根据补角的定义，两个互补的角相加等于180°，已知∠1与∠2互补，可得：
$∠1 + ∠2 = 180°$
将$∠2=29°$代入上式计算：
$∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 29° = 151°$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题考查补角性质的基础应用，只要牢记互补两角的和为180°，代入数值简单计算就能得出正确结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9

3. [2025·宿州埇桥区校级期中]如果一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是。

3.150

【分析】
解题时首先要明确余角、补角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角；如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，根据“余角是这个角的两倍”这一数量关系列方程，先求出这个角的度数，再根据补角的定义计算它的补角即可。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$，则它的余角为$90° - x$。
根据题意列方程：
$90 - x = 2x$
移项得：$3x = 90$
解得：$x = 30°$
根据补角定义，这个角的补角为：$180° - 30° = 150°$
【答案】
150
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题考查余角、补角的相关计算，解题的核心是熟记余角和补角的概念，结合题干给出的等量关系列方程求解，属于基础类题型，掌握相关定义即可轻松作答。
【难度系数】
0.8

4.已知一个锐角的余角比它的补角的$\frac{1}{3}$还少$20°$,则这个锐角的度数为.

4.75°

【分析】
解决这类角度计算问题可采用方程思想：首先设这个锐角的度数为未知数，再根据余角、补角的定义分别表示出该角的余角和补角，接着对照题干给出的“余角比它的补角的$\frac{1}{3}$还少$20°$”的等量关系列方程，最后解方程验证结果即可。
【解析】
解：设这个锐角的度数为$x°$。
根据余角、补角的定义可知：这个角的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$90-x=\frac{1}{3}(180-x)-20$
去括号得：$90-x=60-\frac{1}{3}x-20$
化简右边得：$90-x=40-\frac{1}{3}x$
移项合并同类项得：$-\frac{2}{3}x=-50$
系数化为1得：$x=75$
验证：$75°$是锐角，符合题意。
【答案】
$75°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程应用
【点评】
本题是余角、补角相关的基础常考题型，核心是准确掌握余角、补角的定义，找准等量关系列方程求解，掌握方程思想解决此类问题会更加简单直观。
【难度系数】
0.8

5.若$∠α + ∠β = 90°,∠β + ∠\gamma = 90°$,则$∠α$与$∠\gamma$的关系是（）

A.互余
B.互补
C.相等
D.$∠α = 90° + ∠\gamma$

5.C

【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：两个等式的和都是90°，说明∠α、∠γ都是∠β的余角。我们可以通过等式变形的方法推导二者关系：先分别把∠α、∠γ用含∠β的式子表示出来，再对比两个式子就能得到二者的关系，也可以直接利用余角的性质快速判断。
【解析】
解：已知$∠α + ∠β = 90°$，根据等式的性质，两边同时减去$∠β$，可得：
$∠α = 90° - ∠β$
又已知$∠β + ∠\gamma = 90°$，同理两边同时减去$∠β$，可得：
$∠\gamma = 90° - ∠β$
因此$∠α = ∠\gamma$。
也可根据余角性质“同角的余角相等”直接判断，$∠α$和$∠\gamma$都是$∠β$的余角，故二者相等。
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等；等式的性质
【点评】
本题是余角相关性质的基础应用，解题核心是掌握余角的性质或者熟练对等式进行简单变形。
【难度系数】
0.9

6.(1)如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2=55°，那么∠4=。
(2)已知∠A是∠F的余角，∠F是∠B的余角，若∠A=(x+10)°，∠B=(50−x)°，则∠F为。

6.(1)55° (2)60°

【分析】
（1）本题可根据补角的性质求解：若两个角相等，那么它们的补角也相等。已知∠1=∠3，二者的补角分别为∠2和∠4，因此可直接得出∠2=∠4，代入∠2的度数即可得到∠4的度数。
（2）本题先根据余角的性质：同角的余角相等，得出∠A=∠B，再列一元一次方程求出x的值，最后根据余角的定义计算∠F的度数即可。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补


∴ ∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠4 = 180°
又
∵ ∠1 = ∠3


∴ ∠2 = ∠4（等角的补角相等）


∵ ∠2 = 55°


∴ ∠4 = 55°
(2) 解：
∵ ∠A是∠F的余角，∠F是∠B的余角


∴ ∠A + ∠F = 90°，∠B + ∠F = 90°


∴ ∠A = ∠B（同角的余角相等）
由题意得：$x + 10 = 50 - x$
移项合并得：$2x = 40$，解得$x = 20$


∴ ∠A = $(20 + 10)° = 30°$


∴ ∠F = $90° - ∠A = 90° - 30° = 60°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{55°}$；(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
补角的性质；余角的性质；解一元一次方程
【点评】
本题侧重考查余角、补角的性质应用，解题时先利用角的等量关系建立等式，第二问需结合方程思想求解角度，属于基础巩固类习题，熟练掌握余角补角的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

7. [2024·安庆怀宁期末]如图，$∠ AOC = ∠ BOD = 90°$.
(1)$∠ AOB$与$∠ COD$相等吗？请说明理由.
(2)若$∠ COB = 40°$，$OE$平分$∠ AOB$，求$∠ EOC$的度数.

7.(1)$∠AOB=∠COD$,理由略.
(2)$∠EOC=65°$

【分析】
(1) 要判断∠AOB与∠COD是否相等，结合已知的两个直角∠AOC、∠BOD，可发现两个角都与∠COB相加等于90°，即二者都是∠COB的余角，根据同角的余角相等即可判断二者相等。
(2) 求∠EOC的度数，首先利用∠AOC与∠COB的度数差求出∠AOB的度数，再根据角平分线的定义求出∠BOE的度数，最后通过∠EOC=∠COB+∠BOE即可计算出结果。
【解析】
(1) ∠AOB与∠COD相等，理由如下：
∵ ∠AOC = ∠BOD = 90°，
∴ ∠COD + ∠COB = 90°，∠AOB + ∠COB = 90°，
根据“同角的余角相等”，可得∠AOB = ∠COD。
(2)
∵ ∠AOC = 90°，∠COB = 40°，
∴ ∠AOB = ∠AOC - ∠COB = 90° - 40° = 50°，
∵ OE平分∠AOB，
∴ ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×50° = 25°，
∴ ∠EOC = ∠COB + ∠BOE = 40° + 25° = 65°。
【答案】
(1) ∠AOB=∠COD，理由见解析；(2) ∠EOC=65°
【知识点】
同角的余角相等，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题围绕角度的关系与计算展开，核心是理清图形中各角的和差关系，熟练掌握余角性质和角平分线的定义即可快速解题，是角度计算的典型基础题。
【难度系数】
0.8

8.如果∠A既有余角又有补角，那么∠A的取值范围是 （）

A.$90°＜∠ A＜180°$
B.$0°＜∠ A＜90°$
C.$∠ A=90°$
D.$∠ A=180°$

8.B

【分析】
要确定∠A的取值范围，需先结合余角、补角的定义分别列出∠A有余角、有补角的条件，再取两个条件的公共部分即可。首先，互为余角的两个角和为90°，因此每个角都必须大于0°且小于90°；互为补角的两个角和为180°，因此每个角都必须大于0°且小于180°，同时满足两个条件就能得到∠A的范围。
【解析】
第一步：根据余角的定义，若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。若∠A有余角，则其余角为$90°-∠A$，角度为正角，因此：
$90°-∠A＞0$，解得$∠A＜90°$，同时角度本身大于0°，即$0°＜∠A＜90°$。
第二步：根据补角的定义，若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。若∠A有补角，则其补角为$180°-∠A$，角度为正角，因此：
$180°-∠A＞0$，解得$∠A＜180°$。
第三步：取两个条件的公共范围，可得$0°＜∠A＜90°$，因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是熟练掌握余角和补角的定义，明确余角、补角均为正角，根据定义列不等式求解即可。
【难度系数】
0.9

9.已知∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，下列表示∠β的余角的式子中，不正确的是（）

A.$90° - ∠β$
B.$∠α - 90°$
C.$180° - ∠α$
D.$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$

9.C

【分析】
要判断表示∠β余角的式子是否正确，首先需明确余角、补角的定义：互余的两个角和为90°，互补的两个角和为180°。首先由∠α与∠β互补得到∠α+∠β=180°，∠β的余角的标准形式为90°-∠β，接下来将各个选项利用∠α和∠β的互补关系进行等量代换，判断是否等于90°-∠β即可。
【解析】
已知∠α与∠β互补，根据补角的定义可得：
∠α + ∠β = 180°，即∠α = 180° - ∠β，∠β = 180° - ∠α。
根据余角的定义，∠β的余角为90° - ∠β。
对选项A：90° - ∠β，完全符合余角定义，式子正确，不符合题意；
对选项B：将∠α=180°-∠β代入∠α-90°，得(180°-∠β)-90°=90°-∠β，是∠β的余角，式子正确，不符合题意；
对选项C：180°-∠α=∠β，是∠β本身，不是∠β的余角，式子错误，符合题意；
对选项D：将∠α=180°-∠β代入$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$，得$\frac{1}{2}(180°-∠β -∠β)=\frac{1}{2}(180°-2∠β)=90°-∠β$，是∠β的余角，式子正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度等量代换
【点评】
本题核心是对余角、补角定义的灵活运用，解题时只需紧扣“互补和为180°、互余和为90°”的核心关系，通过代换验证选项即可，属于基础的角度关系应用题。
【难度系数】
0.7

10. 如图，已知$∠ AOB$与$∠ BOC$互余，且$∠ AOB=2∠ BOC$.若$∠ AOE=40°$,请补全图形，并求$∠ BOE$的度数.

10.补图略，$∠BOE$的度数为$20°$或$100°$.

【分析】
首先根据余角的定义，互余的两个角之和为90°，结合已知∠AOB与∠BOC的倍数关系，先求出∠AOB的度数。由于题目未明确射线OE的位置，需分两种情况讨论：①OE在∠AOB内部；②OE在∠AOB外部（与OB分别在OA两侧），再根据角的和差关系分别计算∠BOE的度数即可。
【解析】
解：
∵∠AOB与∠BOC互余，
∴∠AOB + ∠BOC = 90°，
又
∵∠AOB = 2∠BOC，
∴2∠BOC + ∠BOC = 90°，
解得∠BOC = 30°，
∴∠AOB = 2×30° = 60°。
分两种情况讨论：
1. 当射线OE在∠AOB内部时：
∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 60° - 40° = 20°；
2. 当射线OE在∠AOB外部（与OB在OA两侧）时：
∠BOE = ∠AOB + ∠AOE = 60° + 40° = 100°。
（补图：第一种情况OE在OA、OB之间，第二种情况OE在OA另一侧远离OB的位置即可）
【答案】
∠BOE的度数为20°或100°
【知识点】
余角的定义，角的和差计算，分类讨论
【点评】
本题重点考查余角的性质及角的运算，解题关键是注意射线位置不确定时要分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.65

11.[2024·合肥包河区期末]如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线.若∠AOC=∠BOD=60°，∠AOF与∠AOE互余.
(1)判断OF把∠AOC所分成的两个角的大小关系，并说明你的结论；
(2)求∠BOE的度数.

11.(1)$∠AOF=∠COF$,理由略.
(2)$∠BOE=∠BOD+∠DOE=60°+60°=120°$.

【分析】
(1) 要判断OF把∠AOC分成的两个角的大小关系，可先求出两个角的度数：首先根据邻补角的和为180°，结合已知∠AOC的度数求出∠AOD的度数，再利用角平分线的定义求出∠AOE的度数，接着根据互余的定义算出∠AOF的度数，最后用∠AOC的度数减去∠AOF的度数得到∠COF的度数，比较两个角的度数即可得出结论。
(2) 求∠BOE的度数，可先求出∠AOE的度数，再根据平角为180°，用180°减去∠AOE的度数即可，也可直接将∠BOD和∠DOE的度数相加计算结果。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠AOF=∠COF}$，理由如下：
∵直线AB、CD相交于点O，
∴$∠AOC+∠AOD=180°$，
又
∵$∠AOC=60°$，
∴$∠AOD=180°-60°=120°$，
∵OE是$∠AOD$的平分线，
∴$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∵$∠AOF$与$∠AOE$互余，
∴$∠AOF+∠AOE=90°$，
∴$∠AOF=90°-60°=30°$，
∴$∠COF=∠AOC-∠AOF=60°-30°=30°$，
∴$∠AOF=∠COF$。
(2) 由(1)可知OE平分$∠AOD$，
∴$∠DOE=∠AOE=60°$，
又
∵$∠BOD=60°$，
∴$∠BOE=∠BOD+∠DOE=60°+60°=120°$。
【答案】
(1) $∠AOF=∠COF$；
(2) $∠BOE=120°$
【知识点】
余角的定义；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题是相交线中角的计算基础题型，综合考查了余角、角平分线的相关性质，解题核心是理清图中各角之间的数量关系，代入数值准确计算即可。
【难度系数】
0.8