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1.学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直.”小熹说：“用反例就能说明这是假命题.”下列判断正确的是（
A.两人说的都对
B.小铭说的对，小熹说的反例不存在
C.两人说的都不对
D.小铭说的不对，小熹说的反例存在
D
）A.两人说的都对
B.小铭说的对，小熹说的反例不存在
C.两人说的都不对
D.小铭说的不对，小熹说的反例存在
答案
1.D
解析
【分析】
解这道题首先要回忆垂径定理推论的具体内容，明确定理成立的前提条件。第一步先核对小铭的表述是否完整：垂径定理的推论中，平分弦的直径垂直于弦是有前提限制的，小铭的说法没有提及该限制；第二步思考是否存在反例：如果被直径平分的弦本身就是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，以此即可判断两人说法的对错。
【解析】
根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
小铭的表述缺少了“弦不是直径”这一关键限定条件，因此他的说法不成立：当被直径平分的弦本身就是直径时，任意两条直径都互相平分，但它们的夹角可以是任意角度，不一定垂直，这个情况就是该假命题的反例，因此小铭说的不对，小熹说的反例存在，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.垂径定理的推论 2.真假命题判断
【点评】
本题重点考查对垂径定理推论的细节掌握，解题的关键是牢记定理成立的限定条件，不能忽略特殊情况，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要回忆垂径定理推论的具体内容，明确定理成立的前提条件。第一步先核对小铭的表述是否完整：垂径定理的推论中，平分弦的直径垂直于弦是有前提限制的，小铭的说法没有提及该限制；第二步思考是否存在反例：如果被直径平分的弦本身就是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，以此即可判断两人说法的对错。
【解析】
根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
小铭的表述缺少了“弦不是直径”这一关键限定条件，因此他的说法不成立：当被直径平分的弦本身就是直径时，任意两条直径都互相平分，但它们的夹角可以是任意角度，不一定垂直，这个情况就是该假命题的反例，因此小铭说的不对，小熹说的反例存在，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.垂径定理的推论 2.真假命题判断
【点评】
本题重点考查对垂径定理推论的细节掌握，解题的关键是牢记定理成立的限定条件，不能忽略特殊情况，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.7
2.如图，$\odot O$的直径AB与弦CD(不是直径)交于点E，且$CE=DE$，$∠ A=30°$，$OC=4$，那么CD的长为 （
A.$2\sqrt{3}$
B.4
C.$4\sqrt{3}$
D.8
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
C
）A.$2\sqrt{3}$
B.4
C.$4\sqrt{3}$
D.8
（第2题图）（第3题图）
（第4题图）
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路如下：①先观察已知条件：AB是⊙O直径，且CE=DE、CD不是直径，根据垂径定理可推出AB⊥CD，同时得到CD=2CE，只需算出CE长度即可求CD；②已知圆周角∠A=30°，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可算出圆心角∠COB的度数；③在直角三角形COE中，结合OC的长度，利用三角函数即可求出CE的长，进而得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，CE=DE，且CD不是直径，
∴根据垂径定理可得：AB⊥CD，CD=2CE，即∠CEO=90°。
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：∠COB=2∠A=2×30°=60°。
在Rt△COE中，OC=4，∠COE=60°，
∴CE=OC·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题目，解题核心是先通过垂径定理得到垂直关系与线段的倍分关系，再结合圆周角定理得到特殊角，最后在直角三角形中计算线段长度，熟练掌握圆的基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①先观察已知条件：AB是⊙O直径，且CE=DE、CD不是直径，根据垂径定理可推出AB⊥CD，同时得到CD=2CE，只需算出CE长度即可求CD；②已知圆周角∠A=30°，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可算出圆心角∠COB的度数；③在直角三角形COE中，结合OC的长度，利用三角函数即可求出CE的长，进而得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，CE=DE，且CD不是直径，
∴根据垂径定理可得：AB⊥CD，CD=2CE，即∠CEO=90°。
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：∠COB=2∠A=2×30°=60°。
在Rt△COE中，OC=4，∠COE=60°，
∴CE=OC·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题目，解题核心是先通过垂径定理得到垂直关系与线段的倍分关系，再结合圆周角定理得到特殊角，最后在直角三角形中计算线段长度，熟练掌握圆的基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB是$\odot O$的弦，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OC交AB于点D.若$AB=8\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为
5
$\mathrm{cm}.$答案
3.5
解析
【分析】
首先回忆垂径定理的推论：平分弧（非直径的弧）的半径垂直平分该弧所对的弦，由此可判断OC垂直AB，且AD为AB长度的一半。要求圆的半径，我们可以设半径为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形OAD的各边长度，再通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OA，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OC为$\odot O$的半径，
∴$OC⊥ AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OA=r\ \mathrm{cm}$，$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理可得：
$OA^2=OD^2+AD^2$
代入边长得：$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
移项化简得：$4r=20$
解得：$r=5$
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想应用
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，能很好地考查学生对几何性质的运用和方程思想的掌握。
【难度系数】
0.7
首先回忆垂径定理的推论：平分弧（非直径的弧）的半径垂直平分该弧所对的弦，由此可判断OC垂直AB，且AD为AB长度的一半。要求圆的半径，我们可以设半径为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形OAD的各边长度，再通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OA，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OC为$\odot O$的半径，
∴$OC⊥ AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OA=r\ \mathrm{cm}$，$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理可得：
$OA^2=OD^2+AD^2$
代入边长得：$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
移项化简得：$4r=20$
解得：$r=5$
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想应用
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，能很好地考查学生对几何性质的运用和方程思想的掌握。
【难度系数】
0.7
4.如图,已知C是优弧AB的中点.若∠AOC=4∠B,OC=4,则AB=
$4\sqrt{3}$
.答案
4.$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路可分四步梳理：第一步，由圆的半径相等可知△OAB为等腰三角形，可推出∠AOB和∠B的数量关系；第二步，根据C是优弧AB的中点，可得优弧AC、优弧BC对应的圆心角∠AOC和∠BOC相等，结合周角为360°可推出∠AOC和∠AOB的关系；第三步，结合已知∠AOC=4∠B的条件，列方程求出∠B的度数，进而得到∠AOB的度数；第四步，要求弦AB的长，利用垂径定理过O作AB的垂线构造直角三角形，通过三角函数计算线段长度即可得到AB。
【解析】
∵OA、OB、OC都是⊙O的半径，OC=4，
∴OA=OB=OC=4，△OAB为等腰三角形，∠OAB=∠OBA=∠B，
∴∠AOB=180°-2∠B。
∵C是优弧AB的中点，
∴优弧AC=优弧BC，对应圆心角∠AOC=∠BOC。
由周角为360°可得：2∠AOC + ∠AOB=360°，即∠AOC=180°-$\frac{1}{2}$∠AOB。
结合已知∠AOC=4∠B，将∠AOB=180°-2∠B代入得：
$4∠B=180°-\frac{1}{2}(180°-2∠B)$
解得∠B=30°，
∴∠AOB=180°-2×30°=120°。
过O作OD⊥AB于D，根据垂径定理得AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，且∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°。
在Rt△AOD中，AD=OA·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=4$\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；圆心角与弧的关系；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆性质应用的典型题，综合了等腰三角形角度计算、圆心角和弧的对应关系、垂径定理求弦长等考点，解题核心是先通过角度关系求出圆心角∠AOB的度数，再构造直角三角形计算弦长。
【难度系数】
0.7
解题思路可分四步梳理：第一步，由圆的半径相等可知△OAB为等腰三角形，可推出∠AOB和∠B的数量关系；第二步，根据C是优弧AB的中点，可得优弧AC、优弧BC对应的圆心角∠AOC和∠BOC相等，结合周角为360°可推出∠AOC和∠AOB的关系；第三步，结合已知∠AOC=4∠B的条件，列方程求出∠B的度数，进而得到∠AOB的度数；第四步，要求弦AB的长，利用垂径定理过O作AB的垂线构造直角三角形，通过三角函数计算线段长度即可得到AB。
【解析】
∵OA、OB、OC都是⊙O的半径，OC=4，
∴OA=OB=OC=4，△OAB为等腰三角形，∠OAB=∠OBA=∠B，
∴∠AOB=180°-2∠B。
∵C是优弧AB的中点，
∴优弧AC=优弧BC，对应圆心角∠AOC=∠BOC。
由周角为360°可得：2∠AOC + ∠AOB=360°，即∠AOC=180°-$\frac{1}{2}$∠AOB。
结合已知∠AOC=4∠B，将∠AOB=180°-2∠B代入得：
$4∠B=180°-\frac{1}{2}(180°-2∠B)$
解得∠B=30°，
∴∠AOB=180°-2×30°=120°。
过O作OD⊥AB于D，根据垂径定理得AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，且∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°。
在Rt△AOD中，AD=OA·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=4$\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；圆心角与弧的关系；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆性质应用的典型题，综合了等腰三角形角度计算、圆心角和弧的对应关系、垂径定理求弦长等考点，解题核心是先通过角度关系求出圆心角∠AOB的度数，再构造直角三角形计算弦长。
【难度系数】
0.7
5.AB是$\odot O$的弦，$OM⊥ AB$，垂足为$M$，连结$OA$。若$△ AOM$中有一个角是$30°$，$OM=2\sqrt{3}$，则弦$AB$的长为________。
答案
5.12或4
解析
【分析】
首先根据垂径定理可知OM垂直平分AB，因此AB=2AM，只需求出AM的长度即可得到AB的长。已知△AOM是直角三角形，且有一个角为30°，但题目未明确30°角是哪个内角，因此需要分两种情况讨论：①∠OAM=30°；②∠AOM=30°，结合含30°角的直角三角形性质或勾股定理分别计算AM的长度，进而求出AB。
【解析】
∵OM⊥AB，根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{1}{2}AB$，且$∠AMO=90°$，△AOM为直角三角形，分两种情况讨论：
情况1：若$∠OAM=30°$
在Rt△AOM中，∠OAM=30°，30°角所对的直角边为OM，
∴$OA=2OM=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
由勾股定理得：$AM=\sqrt{OA^2 - OM^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=\sqrt{36}=6$
∴$AB=2AM=2×6=12$
情况2：若$∠AOM=30°$
在Rt△AOM中，∠AOM=30°，30°角所对的直角边为AM，
∴$tan∠AOM=\frac{AM}{OM}$，即$AM=OM·tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$
∴$AB=2AM=2×2=4$
综上，弦AB的长为12或4。
【答案】
12或4
【知识点】
垂径定理；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题易错点为未对30°角的位置进行分类讨论，导致漏解。解题时需结合图形特征，全面考虑所有符合条件的情况，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
首先根据垂径定理可知OM垂直平分AB，因此AB=2AM，只需求出AM的长度即可得到AB的长。已知△AOM是直角三角形，且有一个角为30°，但题目未明确30°角是哪个内角，因此需要分两种情况讨论：①∠OAM=30°；②∠AOM=30°，结合含30°角的直角三角形性质或勾股定理分别计算AM的长度，进而求出AB。
【解析】
∵OM⊥AB，根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{1}{2}AB$，且$∠AMO=90°$，△AOM为直角三角形，分两种情况讨论：
情况1：若$∠OAM=30°$
在Rt△AOM中，∠OAM=30°，30°角所对的直角边为OM，
∴$OA=2OM=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
由勾股定理得：$AM=\sqrt{OA^2 - OM^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=\sqrt{36}=6$
∴$AB=2AM=2×6=12$
情况2：若$∠AOM=30°$
在Rt△AOM中，∠AOM=30°，30°角所对的直角边为AM，
∴$tan∠AOM=\frac{AM}{OM}$，即$AM=OM·tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$
∴$AB=2AM=2×2=4$
综上，弦AB的长为12或4。
【答案】
12或4
【知识点】
垂径定理；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题易错点为未对30°角的位置进行分类讨论，导致漏解。解题时需结合图形特征，全面考虑所有符合条件的情况，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
6.下右图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径.
答案
6.解:连结OC,设圆的半径是x,
在Rt△COM中,有$OC^{2}=CM^{2}+OM^{2}$,
即:$x^{2}=2^{2}+(6-x)^{2}$,解得:$x=\frac{10}{3}$,
所以圆的半径长是$\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
遇到圆中弦中点与过圆心的线段结合的问题，首先想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，由此可先得到EM⊥CD，算出CM的长度。要求圆的半径，我们可以设半径为未知数，把直角三角形COM的三边都用含未知数的式子表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连结OC，设⊙O的半径是$ x $。
∵M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O，
∴由垂径定理得$ EM⊥ CD $，$ CM=\frac{1}{2}CD $。
已知$ CD=4 $，
∴$ CM=\frac{1}{2}×4=2 $。
又$ EM=6 $，
∴$ OM=EM-OE=6-x $。
在Rt△COM中，根据勾股定理有$ OC^2=CM^2+OM^2 $，
代入得：$ x^2=2^2+(6-x)^2 $，
展开计算：$ x^2=4+36-12x+x^2 $，
移项化简得$ 12x=40 $，解得$ x=\frac{10}{3} $。
【答案】
⊙O的半径长是$\frac{10}{3}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程法求线段长
【点评】
本题是圆中线段计算的典型基础题，将垂径定理和勾股定理结合，用方程思想求解半径是圆类计算的常用方法，需熟练掌握该类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
遇到圆中弦中点与过圆心的线段结合的问题，首先想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，由此可先得到EM⊥CD，算出CM的长度。要求圆的半径，我们可以设半径为未知数，把直角三角形COM的三边都用含未知数的式子表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连结OC，设⊙O的半径是$ x $。
∵M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O，
∴由垂径定理得$ EM⊥ CD $，$ CM=\frac{1}{2}CD $。
已知$ CD=4 $，
∴$ CM=\frac{1}{2}×4=2 $。
又$ EM=6 $，
∴$ OM=EM-OE=6-x $。
在Rt△COM中，根据勾股定理有$ OC^2=CM^2+OM^2 $，
代入得：$ x^2=2^2+(6-x)^2 $，
展开计算：$ x^2=4+36-12x+x^2 $，
移项化简得$ 12x=40 $，解得$ x=\frac{10}{3} $。
【答案】
⊙O的半径长是$\frac{10}{3}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程法求线段长
【点评】
本题是圆中线段计算的典型基础题，将垂径定理和勾股定理结合，用方程思想求解半径是圆类计算的常用方法，需熟练掌握该类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
