登录
9.如果一个直角三角形的两直角边边长分别为$n^2 -1,2n(n＞1)$，那么它的斜边长是()
A.$2n$
B.$n+1$
C.$n^2 -1$
D.$n^2 +1$
A.$2n$
B.$n+1$
C.$n^2 -1$
D.$n^2 +1$
答案
D
解析
根据勾股定理，直角三角形斜边长的平方等于两直角边长的平方和：
1. 计算两直角边的平方和：
$(n^2-1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1$
2. 对结果因式分解得：$n^4 + 2n^2 +1=(n^2+1)^2$
3. 因为$n＞1$，边长为正，所以斜边长为$n^2+1$。
1. 计算两直角边的平方和：
$(n^2-1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1$
2. 对结果因式分解得：$n^4 + 2n^2 +1=(n^2+1)^2$
3. 因为$n＞1$，边长为正，所以斜边长为$n^2+1$。
10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a + b = 14\ \mathrm{cm}$，$c = 10\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积是()
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
已知$a+b=14\ \mathrm{cm}$，$c=10\ \mathrm{cm}$，将$a+b=14$两边平方得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 196$，
代入$a^2+b^2=c^2=10^2=100$，得$100 + 2ab = 196$，
解得$ab=48$。
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}^2$。
已知$a+b=14\ \mathrm{cm}$，$c=10\ \mathrm{cm}$，将$a+b=14$两边平方得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 196$，
代入$a^2+b^2=c^2=10^2=100$，得$100 + 2ab = 196$，
解得$ab=48$。
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}^2$。
11. 一个等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则这个三角形的面积为()
A.56
B.48
C.40
D.32
A.56
B.48
C.40
D.32
答案
B
解析
设等腰三角形的底边长为$2x$，则腰长为$\frac{32-2x}{2}=16-x$。根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高将原三角形分为两个全等的直角三角形，由勾股定理可得：$(16-x)^2 = x^2 + 8^2$，展开化简得$256-32x+x^2=x^2+64$，解得$x=6$，因此底边长为$2×6=12$，该三角形的面积为$\frac{1}{2}×12×8=48$。
12.一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,它们的关系为$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$,则这个三角形是()
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
答案
C
解析
将等式$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$的左边展开，得到$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$，等式两边同时减去$2ab$，化简可得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定这个三角形是直角三角形。
13. 如图所示,把矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为.
答案
解：设DE的长为x，则AE = AD - DE = 8 - x。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC。
由折叠的性质可得：∠EBD = ∠DBC，
∴ ∠EBD = ∠EDB，
∴ BE = DE = x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入AB=4，AE=8-x，BE=x，得：
$4^2 + (8 - x)^2 = x^2$，
展开整理得：$16 + 64 - 16x + x^2 = x^2$，
即$80 = 16x$，
解得$x=5$。
∴ DE的长为$\boldsymbol{5}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC。
由折叠的性质可得：∠EBD = ∠DBC，
∴ ∠EBD = ∠EDB，
∴ BE = DE = x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入AB=4，AE=8-x，BE=x，得：
$4^2 + (8 - x)^2 = x^2$，
展开整理得：$16 + 64 - 16x + x^2 = x^2$，
即$80 = 16x$，
解得$x=5$。
∴ DE的长为$\boldsymbol{5}$。
14. 如图所示，将一副三角尺叠放在一起，若AB = 14 cm，则阴影部分的面积是cm².
答案
$\boldsymbol{\frac{49}{2}}$（或24.5）
解析
解：
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=14 cm，
∴ $AC = \frac{1}{2}AB = 7\ \mathrm{cm}$。
∵ ∠E=90°，AC⊥BE，DE⊥BE，
∴ AC//DE，
∴ ∠AFC = ∠D = 45°，
∴ △ACF是等腰直角三角形，$CF = AC = 7\ \mathrm{cm}$。
∴ 阴影部分的面积 $S = \frac{1}{2} × AC × CF = \frac{1}{2} × 7 × 7 = \frac{49}{2} = 24.5\ \mathrm{cm}^2$。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=14 cm，
∴ $AC = \frac{1}{2}AB = 7\ \mathrm{cm}$。
∵ ∠E=90°，AC⊥BE，DE⊥BE，
∴ AC//DE，
∴ ∠AFC = ∠D = 45°，
∴ △ACF是等腰直角三角形，$CF = AC = 7\ \mathrm{cm}$。
∴ 阴影部分的面积 $S = \frac{1}{2} × AC × CF = \frac{1}{2} × 7 × 7 = \frac{49}{2} = 24.5\ \mathrm{cm}^2$。
15. 在平静的湖面上,有一枝红莲,高出水面1 m. 一阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面.已知红莲摆动的水平距离为2 m,这里的水深是m.
答案
解：设水深为$ x \, \mathrm{m} $，则红莲的总长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理列方程：
$x^2 + 2^2 = (x+1)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后得：
$2x = 3$
解得：
$x = 1.5$
答：这里的水深是$\boldsymbol{1.5}$ m。
根据勾股定理列方程：
$x^2 + 2^2 = (x+1)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后得：
$2x = 3$
解得：
$x = 1.5$
答：这里的水深是$\boldsymbol{1.5}$ m。
16. 已知两条线段的长分别为5 cm和12 cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当第三条线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$（cm）；
② 当长为12 cm的线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$（cm）。
综上，第三条线段的长为$13$或$\sqrt{119}$ cm。
① 当第三条线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$（cm）；
② 当长为12 cm的线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$（cm）。
综上，第三条线段的长为$13$或$\sqrt{119}$ cm。
