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18. 阅读以下运算过程：$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. 数学中把这种去掉分母中根号的过程叫作“分母有理化”.
请你将下列各式分母有理化.
(1) $\frac{1}{\sqrt{12}}$；
(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$；
(3) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}}$；
(4) $\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}}$.
请你将下列各式分母有理化.
(1) $\frac{1}{\sqrt{12}}$；
(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$；
(3) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}}$；
(4) $\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}}$.
答案
解：
(1) $\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1×\sqrt{12}}{\sqrt{12}×\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{12}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}} = \frac{\sqrt{3}×\sqrt{40}}{\sqrt{40}×\sqrt{40}} = \frac{\sqrt{120}}{40} = \frac{2\sqrt{30}}{40} = \frac{\sqrt{30}}{20}$
(3) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{50}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{300}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
(4) 由二次根式有意义可得$x＞0$，
$\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{15x^3}×\sqrt{5x}}{\sqrt{5x}×\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{75x^4}}{5x} = \frac{5x^2\sqrt{3}}{5x} = x\sqrt{3}$
(1) $\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1×\sqrt{12}}{\sqrt{12}×\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{12}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}} = \frac{\sqrt{3}×\sqrt{40}}{\sqrt{40}×\sqrt{40}} = \frac{\sqrt{120}}{40} = \frac{2\sqrt{30}}{40} = \frac{\sqrt{30}}{20}$
(3) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{50}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{300}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
(4) 由二次根式有意义可得$x＞0$，
$\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{15x^3}×\sqrt{5x}}{\sqrt{5x}×\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{75x^4}}{5x} = \frac{5x^2\sqrt{3}}{5x} = x\sqrt{3}$
19. 使式子$\sqrt{-(x-5)^2}$有意义的实数$x$的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.无数个
A.0
B.1
C.2
D.无数个
答案
B
解析
要使二次根式$\sqrt{-(x-5)^2}$有意义，被开方数需满足$-(x-5)^2 ≥ 0$。根据平方的非负性，对任意实数$x$都有$(x-5)^2 ≥ 0$，因此$-(x-5)^2 ≤ 0$。同时满足$-(x-5)^2 ≥ 0$和$-(x-5)^2 ≤ 0$，可得$-(x-5)^2 = 0$，即$(x-5)^2=0$，解得$x=5$，符合条件的实数$x$仅有1个。
20. 当$a≥0$时，比较$\sqrt{a^2}$，$\sqrt{(-a)^2}$，$-\sqrt{a^2}$的结果，正确的是()
A.$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} ≥ -\sqrt{a^2}$
B.$\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{(-a)^2} ＞ -\sqrt{a^2}$
C.$\sqrt{a^2} ＜ \sqrt{(-a)^2} ＜ -\sqrt{a^2}$
D.$-\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2}$
A.$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} ≥ -\sqrt{a^2}$
B.$\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{(-a)^2} ＞ -\sqrt{a^2}$
C.$\sqrt{a^2} ＜ \sqrt{(-a)^2} ＜ -\sqrt{a^2}$
D.$-\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2}$
答案
A
解析
当$a≥0$时，根据二次根式的性质可得：$\sqrt{a^2}=a$，$\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=a$，因此$\sqrt{a^2}=\sqrt{(-a)^2}$。同时$-\sqrt{a^2}=-a$，由$a≥0$可知$a≥ -a$，因此$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} ≥ -\sqrt{a^2}$。
21.一个直角三角形两条直角边的边长分别为$\sqrt{15}$和$\sqrt{12}$，那么它的斜边长是（）
A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$9$
D.$27$
A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$9$
D.$27$
答案
B
解析
根据勾股定理，直角三角形斜边长的平方等于两条直角边长的平方和，因此斜边长为$\sqrt{(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{12})^2} = \sqrt{15+12} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
22. 把$(a - 1)\sqrt{-\dfrac{1}{a - 1}}$中根号外的$(a - 1)$移入根号内，得()
A.$\sqrt{a - 1}$
B.$\sqrt{1 - a}$
C.$-\sqrt{a - 1}$
D.$-\sqrt{1 - a}$
A.$\sqrt{a - 1}$
B.$\sqrt{1 - a}$
C.$-\sqrt{a - 1}$
D.$-\sqrt{1 - a}$
答案
D
解析
由二次根式有意义的条件可知，被开方数$-\dfrac{1}{a-1}＞0$，因此$a-1＜0$。
将根号外的$a-1$变形为$-(1-a)$，代入原式得：
$\begin{aligned}(a-1)\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}&=-(1-a)\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}\\&=-\sqrt{(1-a)^2·(-\dfrac{1}{a-1})}\\&=-\sqrt{(1-a)^2·\dfrac{1}{1-a}}\\&=-\sqrt{1-a}\end{aligned}$
将根号外的$a-1$变形为$-(1-a)$，代入原式得：
$\begin{aligned}(a-1)\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}&=-(1-a)\sqrt{-\dfrac{1}{a-1}}\\&=-\sqrt{(1-a)^2·(-\dfrac{1}{a-1})}\\&=-\sqrt{(1-a)^2·\dfrac{1}{1-a}}\\&=-\sqrt{1-a}\end{aligned}$
