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6. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图,若$a=3,b=4$,则该三角形的面积为 （
A.$10$
B.$12$
C.$\dfrac{99}{8}$
D.$\dfrac{53}{4}$
B
）A.$10$
B.$12$
C.$\dfrac{99}{8}$
D.$\dfrac{53}{4}$
答案
6.B
解析
【分析】
首先设正方形的边长为x，可推出大直角三角形的两条直角边长分别为3+x、4+x，斜边长为3+4=7。接下来利用勾股定理列出关于x的方程，化简得到$x^2+7x$的值，再将大三角形的面积用含x的代数式表示，整体代入$x^2+7x$的值即可求出面积，无需单独求解x，减少计算量。
【解析】
设正方形的边长为x。
由图可知，大直角三角形的两条直角边长分别为$a+x=3+x$，$b+x=4+x$，斜边长为$a+b=3+4=7$。
根据勾股定理可得：
$(3+x)^2 + (4+x)^2 = 7^2$
展开并化简：
$9+6x+x^2 + 16+8x+x^2 = 49$
$2x^2 +14x +25 = 49$
$2x^2 +14x = 24$
即$x^2 +7x =12$。
大直角三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2}(3+x)(4+x)$
展开得：
$S=\frac{1}{2}(12 +7x +x^2)$
将$x^2 +7x =12$代入上式：
$S=\frac{1}{2}×(12+12)=12$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；整体代入求值
【点评】
本题依托古代勾股定理证明的经典图形，考查勾股定理的应用和代数式的化简技巧，通过整体代入的思想可以避免求解未知数，简化计算过程，体现了数学解题的灵活性。
【难度系数】
0.6
首先设正方形的边长为x，可推出大直角三角形的两条直角边长分别为3+x、4+x，斜边长为3+4=7。接下来利用勾股定理列出关于x的方程，化简得到$x^2+7x$的值，再将大三角形的面积用含x的代数式表示，整体代入$x^2+7x$的值即可求出面积，无需单独求解x，减少计算量。
【解析】
设正方形的边长为x。
由图可知，大直角三角形的两条直角边长分别为$a+x=3+x$，$b+x=4+x$，斜边长为$a+b=3+4=7$。
根据勾股定理可得：
$(3+x)^2 + (4+x)^2 = 7^2$
展开并化简：
$9+6x+x^2 + 16+8x+x^2 = 49$
$2x^2 +14x +25 = 49$
$2x^2 +14x = 24$
即$x^2 +7x =12$。
大直角三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2}(3+x)(4+x)$
展开得：
$S=\frac{1}{2}(12 +7x +x^2)$
将$x^2 +7x =12$代入上式：
$S=\frac{1}{2}×(12+12)=12$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；整体代入求值
【点评】
本题依托古代勾股定理证明的经典图形，考查勾股定理的应用和代数式的化简技巧，通过整体代入的思想可以避免求解未知数，简化计算过程，体现了数学解题的灵活性。
【难度系数】
0.6
7.(2025·苏州模拟)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为$m,n(m＞n)$.若小正方形的面积为$5,(m+n)^2=21$,则大正方形的面积为 (
A.12
B.13
C.14
D.15
B
)A.12
B.13
C.14
D.15
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先明确所求目标：大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，根据勾股定理可知该值为$m^2+n^2$，因此只需计算出$m^2+n^2$的值即可。首先观察图形，小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$m-n$，结合小正方形面积为5，可得$(m-n)^2=5$；再结合已知条件$(m+n)^2=21$，将两个完全平方式展开后相加，即可消去交叉项$mn$，直接求出$m^2+n^2$的值。
【解析】
由赵爽弦图的结构可知，小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形的面积为：
$(m-n)^2=5$
展开得：$m^2-2mn+n^2=5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：
$m^2+2mn+n^2=21$ ②
将①+②可得：
$2m^2+2n^2=5+21=26$
等式两边同时除以2，得：
$m^2+n^2=13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形的面积等于斜边的平方，即$m^2+n^2=13$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，赵爽弦图
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，结合了几何图形性质与代数公式的应用，解题时无需单独求解$m$、$n$的具体值，利用整体思想运算即可快速得到结果，是勾股定理相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先明确所求目标：大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，根据勾股定理可知该值为$m^2+n^2$，因此只需计算出$m^2+n^2$的值即可。首先观察图形，小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$m-n$，结合小正方形面积为5，可得$(m-n)^2=5$；再结合已知条件$(m+n)^2=21$，将两个完全平方式展开后相加，即可消去交叉项$mn$，直接求出$m^2+n^2$的值。
【解析】
由赵爽弦图的结构可知，小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形的面积为：
$(m-n)^2=5$
展开得：$m^2-2mn+n^2=5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：
$m^2+2mn+n^2=21$ ②
将①+②可得：
$2m^2+2n^2=5+21=26$
等式两边同时除以2，得：
$m^2+n^2=13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形的面积等于斜边的平方，即$m^2+n^2=13$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，赵爽弦图
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，结合了几何图形性质与代数公式的应用，解题时无需单独求解$m$、$n$的具体值，利用整体思想运算即可快速得到结果，是勾股定理相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为$ S_1 $，$ S_2 $，$ S_3 $。若$ S_1 + S_2 + S_3 = 54 $，则$ S_2 $的值是
18
。答案
8.18
解析
【分析】
先设每个全等直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再分别用a、b、c表示三个正方形的面积，结合勾股定理推导三个面积之间的关系，最后代入已知的面积和计算$S_2$的值即可。
【解析】
设八个全等的直角三角形的两条直角边长为a、b（$a＞b$），斜边长为c：
1. 正方形ABCD的边长为$a+b$，因此$S_1=(a+b)^2$；
2. 正方形EFGH的边长为直角三角形的斜边c，因此$S_2=c^2$；
3. 正方形MNKT的边长为$a-b$，因此$S_3=(a-b)^2$。
已知$S_1+S_2+S_3=54$，代入上述表达式得：
$(a+b)^2 + c^2 + (a-b)^2 = 54$
展开并化简左边：
$a^2+2ab+b^2 + c^2 + a^2-2ab+b^2 = 2a^2+2b^2 + c^2$
根据勾股定理，直角三角形中$a^2+b^2=c^2$，代入上式得：
$2c^2 + c^2 = 3c^2 = 3S_2$
因此$3S_2=54$，解得$S_2=18$。
【答案】
18
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题是赵爽弦图的变形应用，解题核心是用直角三角形的边长表示三个正方形的面积，结合勾股定理化简得到三个面积的数量关系，无需单独求出各边长即可快速求解。
【难度系数】
0.7
先设每个全等直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再分别用a、b、c表示三个正方形的面积，结合勾股定理推导三个面积之间的关系，最后代入已知的面积和计算$S_2$的值即可。
【解析】
设八个全等的直角三角形的两条直角边长为a、b（$a＞b$），斜边长为c：
1. 正方形ABCD的边长为$a+b$，因此$S_1=(a+b)^2$；
2. 正方形EFGH的边长为直角三角形的斜边c，因此$S_2=c^2$；
3. 正方形MNKT的边长为$a-b$，因此$S_3=(a-b)^2$。
已知$S_1+S_2+S_3=54$，代入上述表达式得：
$(a+b)^2 + c^2 + (a-b)^2 = 54$
展开并化简左边：
$a^2+2ab+b^2 + c^2 + a^2-2ab+b^2 = 2a^2+2b^2 + c^2$
根据勾股定理，直角三角形中$a^2+b^2=c^2$，代入上式得：
$2c^2 + c^2 = 3c^2 = 3S_2$
因此$3S_2=54$，解得$S_2=18$。
【答案】
18
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题是赵爽弦图的变形应用，解题核心是用直角三角形的边长表示三个正方形的面积，结合勾股定理化简得到三个面积的数量关系，无需单独求出各边长即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.把由5个小正方形组成的一字形纸板(如图①)剪开,使剪成的若干块能够拼成一个大正方形,如果剪4刀,应如何剪拼?在图①中画出剪的痕迹,在图②中画出所拼大正方形,要求四个顶点都在格点上.
答案
9.解:如答图所示.
解析
【分析】
解题时先从面积入手：设每个小正方形边长为1，5个小正方形总面积是5，因此拼成的大正方形面积为5，可得边长为$\sqrt{5}$。再结合勾股定理可知，网格中直角边为1、2的直角三角形的斜边长恰好是$\sqrt{5}$，所以我们要剪出带有该长度斜边的图形，再通过拼接得到大正方形，剪的时候保证共剪4刀即可。
【解析】
1. 计算总面积：设每个小正方形边长为1，5个小正方形的总面积为5，因此拼接后的大正方形面积为5，边长为$\sqrt{5}$。
2. 确定剪痕方向：根据勾股定理，直角边为1和2的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，刚好等于大正方形的边长，因此我们需要剪出带有这种斜边的图形。
3. 裁剪：在图①中按答图所示剪4刀：左右两处各剪1刀斜线，剪出两个直角边为1、2的直角三角形，中间位置剪2刀竖直虚线，总共4刀，将纸板分成5块。
4. 拼接：将裁剪得到的5块图形，按答图②的位置拼接，即可得到四个顶点都在格点上、边长为$\sqrt{5}$的大正方形。
【答案】
如答图所示.
【知识点】
勾股定理，图形剪拼，正方形性质
【点评】
本题将勾股定理与图形剪拼相结合，需要先通过面积关系确定大正方形的边长，再利用勾股定理找到对应长度的边，既考查了基础知识点的应用，也锻炼了动手操作和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从面积入手：设每个小正方形边长为1，5个小正方形总面积是5，因此拼成的大正方形面积为5，可得边长为$\sqrt{5}$。再结合勾股定理可知，网格中直角边为1、2的直角三角形的斜边长恰好是$\sqrt{5}$，所以我们要剪出带有该长度斜边的图形，再通过拼接得到大正方形，剪的时候保证共剪4刀即可。
【解析】
1. 计算总面积：设每个小正方形边长为1，5个小正方形的总面积为5，因此拼接后的大正方形面积为5，边长为$\sqrt{5}$。
2. 确定剪痕方向：根据勾股定理，直角边为1和2的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，刚好等于大正方形的边长，因此我们需要剪出带有这种斜边的图形。
3. 裁剪：在图①中按答图所示剪4刀：左右两处各剪1刀斜线，剪出两个直角边为1、2的直角三角形，中间位置剪2刀竖直虚线，总共4刀，将纸板分成5块。
4. 拼接：将裁剪得到的5块图形，按答图②的位置拼接，即可得到四个顶点都在格点上、边长为$\sqrt{5}$的大正方形。
【答案】
如答图所示.
【知识点】
勾股定理，图形剪拼，正方形性质
【点评】
本题将勾股定理与图形剪拼相结合，需要先通过面积关系确定大正方形的边长，再利用勾股定理找到对应长度的边，既考查了基础知识点的应用，也锻炼了动手操作和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图，B，D，C三点在同一条直线上，$∠ ADB=∠ ADC=90°$，$BD=DE$，$∠ DAC=45°$.
(1)试判断线段$AB$，$CE$的关系，并说明理由；
(2)若$BD=a$，$AD=b$，$AB=c$，请利用此图的面积证明勾股定理.
(1)试判断线段$AB$，$CE$的关系，并说明理由；
(2)若$BD=a$，$AD=b$，$AB=c$，请利用此图的面积证明勾股定理.
答案
10.(1)解:AB=CE,AB⊥CE.
理由:延长CE交AB于点F,如答图.
$\because ∠ADC=90°,∠DAC=45°,$
$\therefore ∠ACD=∠DAC=45°,∴AD=CD.$
在$△ ADB$和$△ CDE$中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ADB=∠CDE, \\ DB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ CDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AB=CE,∠BAD=∠DCE.$
$\because ∠BAD+∠ABD=90°,$
$\therefore ∠DCE+∠ABD=90°,∴∠BFC=90°,$
$\therefore AB⊥CE.$
(2)证明:设$EF=x$,
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}+S_{△ ACD},$
$\therefore \frac{1}{2}AB·CF=\frac{1}{2}AB·EF+\frac{1}{2}BD·DE+\frac{1}{2}DC·AD.$
$\because BD=a,AB=c,AD=b,△ ADB≌△ CDE,$
$\therefore AB=CE=c,BD=DE=a,AD=CD=b,$
$\therefore \frac{1}{2}c(c+x)=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2,$
即$c^2+cx=cx+a^2+b^2,$
$\therefore a^2+b^2=c^2.$
解析
【分析】
(1) 判断两条线段的关系需同时考虑数量关系和位置关系：首先由∠ADC=90°、∠DAC=45°可得△ADC是等腰直角三角形，推出AD=CD，结合已知BD=DE、∠ADB=∠CDE=90°，可通过SAS证明△ADB≌△CDE，得到AB和CE的数量关系；再利用全等三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导角的关系即可得到二者的位置关系。
(2) 用面积法证明勾股定理的核心是构建面积等量关系：本题中△ABC的面积等于△ABE、△BDE、△ACD三个小三角形的面积和，分别写出各部分面积的表达式，再代入已知边长和全等得到的相等边长，化简后消去公共项即可推导出勾股定理。
【解析】
(1) 先判断关系并证明：
延长CE交AB于点F，首先根据等腰直角三角形的判定，由∠ADC=90°，∠DAC=45°得AD=CD，再结合已知的BD=DE和直角相等，用SAS证明△ADB≌△CDE，得到AB=CE和对应角相等，再通过角的代换证明∠BFC=90°即可得垂直关系。
(2) 面积法证明勾股定理：
先写出面积等量关系$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}+S_{△ ACD}$，再代入各边的长度表达式，利用全等得到的相等边长替换后，展开式子消去公共项即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
10.(1)解:AB=CE,AB⊥CE.
理由:延长CE交AB于点F,如答图.
$\because ∠ADC=90°,∠DAC=45°,$
$\therefore ∠ACD=∠DAC=45°,∴AD=CD.$
在$△ ADB$和$△ CDE$中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ADB=∠CDE, \\ DB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ CDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AB=CE,∠BAD=∠DCE.$
$\because ∠BAD+∠ABD=90°,$
$\therefore ∠DCE+∠ABD=90°,∴∠BFC=90°,$
$\therefore AB⊥CE.$
(2)证明:设$EF=x$,
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}+S_{△ ACD},$
$\therefore \frac{1}{2}AB·CF=\frac{1}{2}AB·EF+\frac{1}{2}BD·DE+\frac{1}{2}DC·AD.$
$\because BD=a,AB=c,AD=b,△ ADB≌△ CDE,$
$\therefore AB=CE=c,BD=DE=a,AD=CD=b,$
$\therefore \frac{1}{2}c(c+x)=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2,$
即$c^2+cx=cx+a^2+b^2,$
$\therefore a^2+b^2=c^2.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；面积法证勾股定理
【点评】
本题将三角形全等的知识与勾股定理的证明结合，既考查了基础的全等判定、性质应用，也体现了面积法在几何证明中的巧妙性。解题时要注意线段关系需同时考虑数量和位置两方面，不要漏答垂直结论；面积法的关键是找准面积的等量关系，通过化简消去公共项即可得到待证结论。
【难度系数】
0.7
(1) 判断两条线段的关系需同时考虑数量关系和位置关系：首先由∠ADC=90°、∠DAC=45°可得△ADC是等腰直角三角形，推出AD=CD，结合已知BD=DE、∠ADB=∠CDE=90°，可通过SAS证明△ADB≌△CDE，得到AB和CE的数量关系；再利用全等三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导角的关系即可得到二者的位置关系。
(2) 用面积法证明勾股定理的核心是构建面积等量关系：本题中△ABC的面积等于△ABE、△BDE、△ACD三个小三角形的面积和，分别写出各部分面积的表达式，再代入已知边长和全等得到的相等边长，化简后消去公共项即可推导出勾股定理。
【解析】
(1) 先判断关系并证明：
延长CE交AB于点F，首先根据等腰直角三角形的判定，由∠ADC=90°，∠DAC=45°得AD=CD，再结合已知的BD=DE和直角相等，用SAS证明△ADB≌△CDE，得到AB=CE和对应角相等，再通过角的代换证明∠BFC=90°即可得垂直关系。
(2) 面积法证明勾股定理：
先写出面积等量关系$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}+S_{△ ACD}$，再代入各边的长度表达式，利用全等得到的相等边长替换后，展开式子消去公共项即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
10.(1)解:AB=CE,AB⊥CE.
理由:延长CE交AB于点F,如答图.
$\because ∠ADC=90°,∠DAC=45°,$
$\therefore ∠ACD=∠DAC=45°,∴AD=CD.$
在$△ ADB$和$△ CDE$中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ADB=∠CDE, \\ DB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ CDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AB=CE,∠BAD=∠DCE.$
$\because ∠BAD+∠ABD=90°,$
$\therefore ∠DCE+∠ABD=90°,∴∠BFC=90°,$
$\therefore AB⊥CE.$
(2)证明:设$EF=x$,
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}+S_{△ ACD},$
$\therefore \frac{1}{2}AB·CF=\frac{1}{2}AB·EF+\frac{1}{2}BD·DE+\frac{1}{2}DC·AD.$
$\because BD=a,AB=c,AD=b,△ ADB≌△ CDE,$
$\therefore AB=CE=c,BD=DE=a,AD=CD=b,$
$\therefore \frac{1}{2}c(c+x)=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2,$
即$c^2+cx=cx+a^2+b^2,$
$\therefore a^2+b^2=c^2.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；面积法证勾股定理
【点评】
本题将三角形全等的知识与勾股定理的证明结合，既考查了基础的全等判定、性质应用，也体现了面积法在几何证明中的巧妙性。解题时要注意线段关系需同时考虑数量和位置两方面，不要漏答垂直结论；面积法的关键是找准面积的等量关系，通过化简消去公共项即可得到待证结论。
【难度系数】
0.7
