【典例剖析】
如图所示，$∠ CDM$，$∠ FCA$为$△ ACD$的两个外角，$DE$，$CG$分别平分$∠ CDM$，$∠ FCA$，$CG$交$DA$的延长线于点$G$。$DE$交$AC$的延长线于点$E$，$∠ E=∠1$，$∠ G=∠2$，求$∠ ACD$的度数。

解:设$∠ G=x$，则$∠2=x$，
$\therefore ∠ FCG=∠ G+∠2=2x$。
$\because CG$平分$∠ FCA$，$\therefore ∠ FCA=2∠ FCG=4x$，
$\therefore ∠1=∠ FCA=4x$，$\therefore ∠ E=∠1=4x$。
又$\because ∠ CAD=∠ AGC+∠ ACG=3x$，
$\therefore ∠ EDM=∠ EAD+∠ E=7x$。
$\because DE$平分$∠ CDM$，
$\therefore ∠ CDM=2∠ EDM=14x$。
$\because ∠ CDM+∠2=180°$，
$\therefore 14x+x=180°$，解得$x=12°$，
$\therefore ∠ FCA=4x=48°$，
$\therefore ∠ ACD=180°-48°=132°$。
点评:本题在解答过程中构建了方程模型，通过三角形外角的性质构造方程，使求角的推导过程变得简单、一目了然。

解：设∠G=x，则∠2=x，
∴∠FCG=∠G+∠2=2x。
∵CG平分∠FCA，
∴∠FCA=2∠FCG=4x，
∴∠1=∠FCA=4x，
∴∠E=∠1=4x。
又∵∠CAD=∠AGC+∠ACG=3x，
∴∠EDM=∠EAD+∠E=∠CAD+∠E=7x。
∵DE平分∠CDM，
∴∠CDM=2∠EDM=14x。
∵∠CDM+∠2=180°，
∴14x+x=180°，解得x=12°，
∴∠FCA=4x=48°，
∴∠ACD=180°-48°=132°。
答：∠ACD的度数为132°。

【分析】
本题涉及角平分线、三角形外角、邻补角等多个角度关系，适合采用方程思想求解。解题时先设较小的未知角∠G为x，利用已知的等角关系、三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）、角平分线的定义，逐步用含x的式子表示出所有相关角的度数，再根据邻补角和为180°的等量关系列方程求解x，最后通过邻补角的关系计算出∠ACD的度数即可。
【解析】
解：设∠G=x，则∠2=x，
∴∠FCG=∠G+∠2=2x。
∵CG平分∠FCA，
∴∠FCA=2∠FCG=4x，
∴∠1=∠FCA=4x，
∴∠E=∠1=4x。
又
∵∠CAD=∠AGC+∠ACG=x+2x=3x，
∴∠EDM=∠EAD+∠E=∠CAD+∠E=3x+4x=7x。
∵DE平分∠CDM，
∴∠CDM=2∠EDM=14x。
∵∠CDM与∠2互为邻补角，即∠CDM+∠2=180°，
∴14x+x=180°，解得x=12°，
∴∠FCA=4x=4×12°=48°，
∵∠ACD与∠FCA互为邻补角，
∴∠ACD=180°-∠FCA=180°-48°=132°。
【答案】
132°
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是几何角度计算的典型题型，将方程思想融入几何推导中，通过设未知数把复杂的角度关系转化为简单的代数运算，降低了推导难度。解题的关键是熟练掌握相关角度性质，准确找到等量关系列方程。
【难度系数】
0.6