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1. 画一画、填一填。
（1）请在方格纸上（小正方形面积为1 $\mathrm{cm}^2$）画出一个面积是（$\quad$）$\mathrm{cm}^2$的长方形（填20内的合数）。这个数的因数有（$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$）。
（2）在1~20的数中，质数有（$\quad\quad\quad\quad$），合数有（$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$），既是质数又是偶数的有（$\quad\quad\quad\quad$），既是奇数又是合数的有（$\quad\quad\quad\quad$）。
（1）请在方格纸上（小正方形面积为1 $\mathrm{cm}^2$）画出一个面积是（$\quad$）$\mathrm{cm}^2$的长方形（填20内的合数）。这个数的因数有（$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$）。
（2）在1~20的数中，质数有（$\quad\quad\quad\quad$），合数有（$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$），既是质数又是偶数的有（$\quad\quad\quad\quad$），既是奇数又是合数的有（$\quad\quad\quad\quad$）。
答案
1.（2）2、3、5、7、11、13、17、19，4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，2，9、15
解析
【分析】
（1）解题思路：首先明确合数的定义：大于1的自然数中，除了1和它本身还有其他因数的数是合数。我们先任选一个20以内的合数，比如选12（也可选4、6、8等其他符合要求的数）；再根据长方形面积=长×宽，找到两个整数的乘积等于所选合数，将这两个数分别作为长方形的长和宽，对应方格纸的小格边长（每格1cm）画图即可；最后找所选合数的因数，即所有能整除这个数的正整数。
（2）解题思路：先回忆相关定义：①质数：大于1的自然数，只有1和它本身两个因数；②合数：大于1的自然数，除了1和它本身还有其他因数，注意1既不是质数也不是合数；③偶数：能被2整除的数，奇数：不能被2整除的数。再按照定义对1~20的数逐一分类即可。
【解析】
（1）我们选择20以内的合数12作为长方形面积（答案不唯一）：
因为12=3×4，所以长方形可取长4cm、宽3cm，在方格纸上横向占4个小格、纵向占3个小格，画出长方形即可。
找12的因数：12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4，12÷4=3，12÷6=2，12÷12=1，所以12的因数为1、2、3、4、6、12。
（2）对1~20的数按定义分类：
①质数：只有1和自身两个因数的数，为2、3、5、7、11、13、17、19；
②合数：除了1和自身还有其他因数的数，1既不是质数也不是合数，所以合数为4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20；
③既是质数又是偶数：所有偶数里只有2只有1和2两个因数，符合质数定义，所以填2；
④既是奇数又是合数：先找1~20里的奇数，再从中筛选合数，9有因数1、3、9，15有因数1、3、5、15，所以填9、15。
【答案】
（1）示例：12；1、2、3、4、6、12（答案不唯一，合理即可）
（2）2、3、5、7、11、13、17、19；4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20；2；9、15
【知识点】
质数与合数，因数的求法，奇数与偶数
【点评】
本题侧重基础概念的考查，需要准确区分质数、合数、奇数、偶数的定义，牢记1既不是质数也不是合数，第一小问为开放性题目，只要符合要求均可得分，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
（1）解题思路：首先明确合数的定义：大于1的自然数中，除了1和它本身还有其他因数的数是合数。我们先任选一个20以内的合数，比如选12（也可选4、6、8等其他符合要求的数）；再根据长方形面积=长×宽，找到两个整数的乘积等于所选合数，将这两个数分别作为长方形的长和宽，对应方格纸的小格边长（每格1cm）画图即可；最后找所选合数的因数，即所有能整除这个数的正整数。
（2）解题思路：先回忆相关定义：①质数：大于1的自然数，只有1和它本身两个因数；②合数：大于1的自然数，除了1和它本身还有其他因数，注意1既不是质数也不是合数；③偶数：能被2整除的数，奇数：不能被2整除的数。再按照定义对1~20的数逐一分类即可。
【解析】
（1）我们选择20以内的合数12作为长方形面积（答案不唯一）：
因为12=3×4，所以长方形可取长4cm、宽3cm，在方格纸上横向占4个小格、纵向占3个小格，画出长方形即可。
找12的因数：12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4，12÷4=3，12÷6=2，12÷12=1，所以12的因数为1、2、3、4、6、12。
（2）对1~20的数按定义分类：
①质数：只有1和自身两个因数的数，为2、3、5、7、11、13、17、19；
②合数：除了1和自身还有其他因数的数，1既不是质数也不是合数，所以合数为4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20；
③既是质数又是偶数：所有偶数里只有2只有1和2两个因数，符合质数定义，所以填2；
④既是奇数又是合数：先找1~20里的奇数，再从中筛选合数，9有因数1、3、9，15有因数1、3、5、15，所以填9、15。
【答案】
（1）示例：12；1、2、3、4、6、12（答案不唯一，合理即可）
（2）2、3、5、7、11、13、17、19；4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20；2；9、15
【知识点】
质数与合数，因数的求法，奇数与偶数
【点评】
本题侧重基础概念的考查，需要准确区分质数、合数、奇数、偶数的定义，牢记1既不是质数也不是合数，第一小问为开放性题目，只要符合要求均可得分，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
2. 选择合适的数填在下面的集合圈中。想一想，重叠部分应该填哪些数？
3、6、9、12、18、24、2、1、8、4
3、6、9、12、18、24、2、1、8、4
答案
提示：18的因数有3、6、9、18、2、1，24的因数有3、6、12、24、2、1、8、4
解析
【分析】
解题时先回忆因数的定义：若整数a除以非零整数b，商为整数且没有余数，那么b就是a的因数。我们分三步思考：第一步先从给出的数里筛选出所有18的因数，第二步筛选出所有24的因数，第三步找出同时是18和24的因数的数，就是重叠部分要填的内容，最后把仅属于18的因数填在左圈不重叠区域，仅属于24的因数填在右圈不重叠区域即可。
【解析】
1. 找18的因数：逐个验证给出的数能否整除18：
18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷6=3，18÷9=2，18÷18=1，因此给出的数中18的因数有：1、2、3、6、9、18。
2. 找24的因数：逐个验证给出的数能否整除24：
24÷1=24，24÷2=12，24÷3=8，24÷4=6，24÷6=4，24÷8=3，24÷12=2，24÷24=1，因此给出的数中24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。
3. 找公共因数：对比两个因数列表，同时出现的数是1、2、3、6，这部分填在重叠区域；仅属于18的因数是9、18，填在左圈不重叠部分；仅属于24的因数是4、8、12、24，填在右圈不重叠部分。
【答案】
18的因数（左圈不重叠处）：9、18
重叠部分：1、2、3、6
24的因数（右圈不重叠处）：4、8、12、24
【知识点】
因数的认识，公因数的意义
【点评】
本题重点考查对因数和公因数的理解，只要掌握找一个数因数的基本方法，按步骤筛选、区分独有因数和公有因数就能顺利解答，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆因数的定义：若整数a除以非零整数b，商为整数且没有余数，那么b就是a的因数。我们分三步思考：第一步先从给出的数里筛选出所有18的因数，第二步筛选出所有24的因数，第三步找出同时是18和24的因数的数，就是重叠部分要填的内容，最后把仅属于18的因数填在左圈不重叠区域，仅属于24的因数填在右圈不重叠区域即可。
【解析】
1. 找18的因数：逐个验证给出的数能否整除18：
18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷6=3，18÷9=2，18÷18=1，因此给出的数中18的因数有：1、2、3、6、9、18。
2. 找24的因数：逐个验证给出的数能否整除24：
24÷1=24，24÷2=12，24÷3=8，24÷4=6，24÷6=4，24÷8=3，24÷12=2，24÷24=1，因此给出的数中24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。
3. 找公共因数：对比两个因数列表，同时出现的数是1、2、3、6，这部分填在重叠区域；仅属于18的因数是9、18，填在左圈不重叠部分；仅属于24的因数是4、8、12、24，填在右圈不重叠部分。
【答案】
18的因数（左圈不重叠处）：9、18
重叠部分：1、2、3、6
24的因数（右圈不重叠处）：4、8、12、24
【知识点】
因数的认识，公因数的意义
【点评】
本题重点考查对因数和公因数的理解，只要掌握找一个数因数的基本方法，按步骤筛选、区分独有因数和公有因数就能顺利解答，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
3. 孪生质数。
一胎所生的哥俩叫孪生兄弟。其实，质数也有孪生的。数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”（也叫“双生质数”）。请写出三对“孪生质数”。
一胎所生的哥俩叫孪生兄弟。其实，质数也有孪生的。数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”（也叫“双生质数”）。请写出三对“孪生质数”。
3和5、5和7、11和13（答案不唯一）
答案
3和5、5和7、11和13（答案不唯一）
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心概念：①质数的定义：大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数的数；②孪生质数的要求：两个质数的差是2。我们可以先列出100以内比较小的质数，再从中找出相差为2的质数对即可，符合要求的组合有很多，任选3对就行。
【解析】
第一步：回忆质数的定义：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数叫做质数。
第二步：明确孪生质数的规则：两个质数的差值为2。
第三步：列举较小的质数：2、3、5、7、11、13、17、19……
第四步：筛选差值为2的质数对：
①3和5：5-3=2，两个数都只有1和自身两个因数，都是质数，符合要求；
②5和7：7-5=2，两个数都是质数，符合要求；
③11和13：13-11=2，两个数都是质数，符合要求。
除此之外还有17和19、29和31等组合也符合要求，答案不唯一。
【答案】
3和5、5和7、11和13（答案不唯一）
【知识点】
质数的认识、孪生质数的概念
【点评】
这道题属于基础概念应用类题目，核心是对质数概念的掌握，只要能熟练识别常见的较小质数，按照题目要求筛选对应组合即可，答题时注意不要和质数的定义冲突即可。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确两个核心概念：①质数的定义：大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数的数；②孪生质数的要求：两个质数的差是2。我们可以先列出100以内比较小的质数，再从中找出相差为2的质数对即可，符合要求的组合有很多，任选3对就行。
【解析】
第一步：回忆质数的定义：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数叫做质数。
第二步：明确孪生质数的规则：两个质数的差值为2。
第三步：列举较小的质数：2、3、5、7、11、13、17、19……
第四步：筛选差值为2的质数对：
①3和5：5-3=2，两个数都只有1和自身两个因数，都是质数，符合要求；
②5和7：7-5=2，两个数都是质数，符合要求；
③11和13：13-11=2，两个数都是质数，符合要求。
除此之外还有17和19、29和31等组合也符合要求，答案不唯一。
【答案】
3和5、5和7、11和13（答案不唯一）
【知识点】
质数的认识、孪生质数的概念
【点评】
这道题属于基础概念应用类题目，核心是对质数概念的掌握，只要能熟练识别常见的较小质数，按照题目要求筛选对应组合即可，答题时注意不要和质数的定义冲突即可。
【难度系数】
0.8
1.9的最小因数是（
① 1
② 3
③ 9
④ 18
①
），9的最大因数是（③
），9的最小倍数是（③
）。① 1
② 3
③ 9
④ 18
答案
①，③，③
解析
【分析】
解题时先回忆因数、倍数的相关性质：首先明确因数的特点，一个非零自然数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身，据此可以确定9的最小和最大因数；再明确倍数的特点，一个非零自然数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数，据此确定9的最小倍数，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据因数的性质，非零自然数的最小因数是1，最大因数是它本身，因此9的最小因数是1，对应选项①，9的最大因数是9，对应选项③；
根据倍数的性质，非零自然数的最小倍数是它本身，因此9的最小倍数是9，对应选项③。
【答案】
①，③，③
【知识点】
1. 因数的特征
2. 倍数的特征
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对因数、倍数基本性质的掌握，牢记相关概念即可快速作答，是因数与倍数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆因数、倍数的相关性质：首先明确因数的特点，一个非零自然数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身，据此可以确定9的最小和最大因数；再明确倍数的特点，一个非零自然数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数，据此确定9的最小倍数，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据因数的性质，非零自然数的最小因数是1，最大因数是它本身，因此9的最小因数是1，对应选项①，9的最大因数是9，对应选项③；
根据倍数的性质，非零自然数的最小倍数是它本身，因此9的最小倍数是9，对应选项③。
【答案】
①，③，③
【知识点】
1. 因数的特征
2. 倍数的特征
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对因数、倍数基本性质的掌握，牢记相关概念即可快速作答，是因数与倍数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2.食品店运来87个面包，如果要正好装完，每袋可以装（
①2 ②3 ③4 ④5
②
）个。①2 ②3 ③4 ④5
答案
②
解析
【分析】
要使面包正好装完，说明每袋装的面包数能整除87，也就是87除以每袋个数没有余数。我们可以结合2、3、4、5的倍数特征，逐个验证选项中的数是否能整除87，即可找到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项①：2的倍数特征为个位是0、2、4、6、8，87的个位是7，不是2的倍数，87÷2有余数，不符合要求；
2. 选项②：3的倍数特征为各数位数字之和是3的倍数，8+7=15，15是3的倍数，计算得87÷3=29（袋），没有余数，符合正好装完的要求；
3. 选项③：计算得87÷4=21（袋）……3（个），有余数，不符合要求；
4. 选项④：5的倍数特征为个位是0或5，87的个位是7，不是5的倍数，87÷5有余数，不符合要求。
综上只有选项②符合条件。
【答案】
②
【知识点】
整除的意义，2、3、5的倍数特征
【点评】
本题是整除在实际场景中的应用，解题核心是理解“正好装完”即总数量能被每袋数量整除，熟练掌握常见数字的倍数特征可快速解题。
【难度系数】
0.8
要使面包正好装完，说明每袋装的面包数能整除87，也就是87除以每袋个数没有余数。我们可以结合2、3、4、5的倍数特征，逐个验证选项中的数是否能整除87，即可找到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项①：2的倍数特征为个位是0、2、4、6、8，87的个位是7，不是2的倍数，87÷2有余数，不符合要求；
2. 选项②：3的倍数特征为各数位数字之和是3的倍数，8+7=15，15是3的倍数，计算得87÷3=29（袋），没有余数，符合正好装完的要求；
3. 选项③：计算得87÷4=21（袋）……3（个），有余数，不符合要求；
4. 选项④：5的倍数特征为个位是0或5，87的个位是7，不是5的倍数，87÷5有余数，不符合要求。
综上只有选项②符合条件。
【答案】
②
【知识点】
整除的意义，2、3、5的倍数特征
【点评】
本题是整除在实际场景中的应用，解题核心是理解“正好装完”即总数量能被每袋数量整除，熟练掌握常见数字的倍数特征可快速解题。
【难度系数】
0.8
